学年湘教版数学九年级上册 44 解直角三角形的应用.docx

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学年湘教版数学九年级上册44解直角三角形的应用

4．4　解直角三角形的应用

第1课时　俯角和仰角问题

教学目标

【知识与技能】

比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．

【过程与方法】

通过学习进一步掌握解直角三角形的方法．

【情感态度】

培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．

【教学重点】

应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．

【教学难点】

选用恰当的直角三角形，分析解题思路．

教学过程

一、情景导入，初步认知

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？

你是如何想的？

与同伴进行交流．

【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用．

二、思考探究，获取新知

1．某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离．你能帮他想出一个可行的办法吗？

分析：

如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC.

【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．

2．如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度．（结果精确到1m）

解：

在Rt△ABC中，∠BAC＝25°，AC＝1000m，因此tan25°＝＝

∴BC＝1000×tan25°≈466.3（m），

∴上海东方明珠塔的高度（约）为466.3＋1.7＝468米．

【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣．教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题．

三、运用新知，深化理解

1．如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α＝16°31′，求飞机A到控制点B的距离．（精确到1米）

分析：

利用正弦可求．

解：

在Rt△ABC中sinB＝

∴AB＝＝≈4221（米）

答：

飞机A到控制点B的距离约为4221米．

2．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）?

分析：

在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC.

解：

如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120.

∵tanα＝，tanβ＝，

∴BD＝ADtanα＝120×tan30°＝120×＝40，CD＝ADtanβ＝120×tan60°＝120×＝120.

∴BD＝BD＋CD＝40＋120＝160≈227.1

答：

这栋高楼约高277.1m.

3．如图，在离树BC12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5米，求树高BC.（计算结果可保留根号）

分析：

本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D作DE⊥BC于E，把求CB的问题转化求BE的长，从而可以在△BDE中利用三角函数．

解：

过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形，∴DE＝AC＝12米．CE＝AD＝1.5米．在直角△BED中，∠BDE＝30°，

tan30°＝，

∴BE＝DE·tan30°＝4米．

∴BC＝BE＋CE＝（4＋）米．

4．广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？

（结果保留到0.1米）

分析：

由于气球的高度为PA＋AB＋FD，而AB＝1米，FD＝0.5米，故可设PA＝h米，根据题意，列出关于h的方程可求解．

解：

设AP＝h米，∵∠PFB＝45°，

∴BF＝PB＝（h＋1）米，

∴EA＝BF＋CD＝h＋1＋5＝（h＋6）米，

在Rt△PEA中，PA＝AE·tan30°，

∴h＝（h＋6）tan30°，

∴气球的高度约为PA＋AB＋FD＝8.2＋1＋0.5＝9.7米．

【教学说明】巩固所学知识．要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么．

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．

课后作业

布置作业：

教材“习题4.4”中第2、4、5题．

教学反思

本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决．

第2课时　坡度和方位角问题

教学目标

【知识与技能】

1．了解测量中坡度、坡角的概念；

2．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题．

【过程与方法】

通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题．

【情感态度】

进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．

【教学重点】

能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题．

【教学难点】

能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题．

教学过程

一、情景导入，初步认知

如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大？

显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.

从图形可以看出，＞，即tanA1＞tanA.

【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣．

二、思考探究，获取新知

1．坡度的概念，坡度与坡角的关系．

如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度（或坡比），记作i，即i＝，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式．坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．

2．如图，一山坡的坡度为i＝1∶2，小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？

小刚上升了多少米？

（角度精确到0.01°，长度精确到0.1米）

3．如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？

【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题．学生独立完成．

三、运用新知，深化理解

1．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）．

分析：

引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．

解：

已知：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5.5，∠A＝24°，求AB.

在Rt△ABC中，cosA＝，

∴AB＝＝≈6.0（米）．

答：

斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．

2．同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：

如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）．

解：

作BE⊥AD，CF⊥AD，

在Rt△ABE和Rt△CDF中，

＝，＝

∴AE＝3BE＝3×23＝69（m）．

FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5（m）．

∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5（m）．

因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝≈0.3333，

所以α≈18°26′.

∵＝sinα，

∴AB＝＝≈72.7（m）．

答：

斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．

3．庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i＝1∶，山坡长为240米，南坡的坡角是45°.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？

（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）

解：

过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ADC中，由i＝1∶得tanC＝＝，

∴∠C＝30°.∴AD＝AC＝×240＝120（米）．

在Rt△ABD中，∠B＝45°，

∴AB＝AD＝120（米）．

120÷（240÷24）＝120÷10＝12（米/分钟）

答：

李强以12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A.

4．某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF＝，BF＝3米，BC＝1米，CD＝6米．求：

（1）∠D的度数；

（2）线段AE的长．

解：

（1）∵四边形BCEF是矩形，

∴∠BFE＝∠CEF＝90°，CE＝BF，BC＝FE，

∴∠BFA＝∠CED＝90°，

∵CE＝BF，BF＝3米，

∴CE＝3米，∵CD＝6米，∠CED＝90°，

∴∠D＝30°.

（2）∵sin∠BAF＝，

∴＝，∵BF＝3米，∴AB＝米，

∴AF＝＝米，

∴AE＝米．

5．日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离．

（参考数据：

sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）

分析：

过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC＝x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．

解：

过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x海里．

在Rt△APC中，∵tanA＝，

∴AC＝＝

在Rt△PCB中，∵tanB＝，

∴BC＝＝

∵从上午9时到下午2时要经过五个小时，

∴AC＋BC＝AB＝21×5，

∴＋＝21×5，

解得x＝60.

∵sin∠B＝，

∴PB＝＝＝60×＝100（海里）

∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．

【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容．

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．

课后作业

布置作业：

教材“习题4.1”中第1、6、7题．

教学反思

通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决．

复习与提升

教学目标

【知识与技能】

1．了解锐角三角函数的概念，熟记30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值．

2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数．