推荐学习年秋九年级数学上册第章解直角三角形解直角三角形第课时解直角三角形同.docx
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２４．4第1课时解直角三角形
知识点1 锐角三角函数与直角三角形的三边关系
１．在Rｔ△AＢC中,∠C=90°，∠A,∠B，∠C所对的边的长分别为5,1２,13,则有sinA＝_＿＿__＿__,cosA=＿______＿，tａnA＝＿____＿_＿.
2.在Rｔ△ABC中,已知∠C=90°，∠A＝40°，BC=３，则AＣ＝（ ）
A.3sｉn４0° B.３sin５0°
C.3tan4０° D.３tａn50°
3．在△ABC中，∠C＝90°,∠A,∠B，∠C所对的边分别为ａ，b,c．
（1）若已知a与∠Ｂ,则ｂ=_＿_＿＿___，c＝____＿_______＿__＿___＿___＿____________;
（2）若已知∠Ａ与c，则ａ=_＿____＿_,ｂ＝_____＿________＿＿_＿__＿__＿___＿_＿_____＿＿.
知识点 ２解直角三角形
４．如图24-4－1所示，在Ｒｔ△ABＣ中，∠Ｃ＝90°,∠B＝30°,tanB＝
＝＿______＿.如果AC＝５,那么BC=__＿_____．
图２4-4－1
5．根据下列所给条件解直角三角形，结果不能确定的是（ ）
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边;④已知斜边和一锐角;⑤已知一直角边和斜边．
A．②④ Ｂ.②③
C.只有② D．②④⑤
6.在△ＡBＣ中，已知∠C＝90°，∠Ａ,∠B，∠C所对的边分别为a，b，c,a=,c＝
，则下列解该直角三角形所得的结果中完全正确的一组是（ ）
A．∠Ａ=3０°,∠B=6０°，ｂ＝
Ｂ．∠Ａ=30°,∠B＝60°,b=
C.∠A=45°，∠Ｂ=45°，b=
D．∠A＝30°,∠Ｂ＝6０°，ｂ＝
7.在Rｔ△ＡＢC中，∠C=９0°，∠Ａ,∠Ｂ，∠C所对的边分别为ａ，ｂ，c，a＝，ｃ＝2,则∠A＝________，b=＿___＿___.
8.[教材习题２4.4第1题变式］在Ｒt△ABC中，∠C＝90°,∠Ａ，∠B,∠C的对边分别为ａ，ｂ，c，其中a＝4，c＝8，解这个直角三角形.
知识点 3解直角三角形的简单应用
9.［20１6·绥化]如图24-4－2,小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东６0°方向500米处,那么水塔所在的位置到公路的距离ＡB是（）
Ａ．２５0米 B.250
米
C.
米D.50０米
图２4-4-2
10．如图２4-４-3所示，在东西方向的海岸线上有Ａ,B两个港口，甲货船从A港沿北偏东6０°的方向以４海里/时的速度出发,同时乙货船从Ｂ港沿西北方向出发，2小时后在点P处相遇,则乙货船每小时航行_____＿__海里．
图２4－4－3
11.如图24-4-４，海面上B，C两岛分别位于Ａ岛的正东和正北方向.一艘船从Ａ岛出发,以１8海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛,此时测得B岛在C岛的南偏东4３°方向上，求A,B两岛之间的距离．（结果精确到0.1海里．参考数据：
sin43°≈０.68,ｃｏs43°≈0.７3,ｔａn４3°≈０.9３）
图24－４－4
12．[20１6·绵阳］如图24－4-５，在△ABC中，AB=AC=4,∠C＝7２°,D是ＡB的中点,点E在AC上,DE⊥ＡB，则cosA的值为（）
A.
B.
C.
D.
图24-4－5
13．如图２4-4－6,李明同学在东西方向的滨海路A处测得海中灯塔Ｐ在北偏东60°方向上,他向东走４０0米至B处,测得灯塔P在北偏东30°方向上,则灯塔P到滨海路的距离为（ ）
A.100米B．１00
米 C．２0０米D.20０米
图24－4－６
14．如图2４-4－7,钓鱼竿ＡC长6m，露在水面上的鱼线BC长３m,某钓鱼者想看看钓钩上的情况,把鱼竿ＡC转动到AC′的位置,此时露在水面上的鱼线B′C′长3
m，则钓鱼竿转过的角度是（ ）
A．６０°B.45° C．15°D.90°
图24－4-7
１5.如图２4-４-8，在菱形ABＣD中，ＤE⊥AB,垂足为E，ＤE=6,sinA=
则菱形ＡＢCD的周长是＿_______.
图2４－４-８
1６．如图２4－4－９，由游客中心A处修建通往百米观景长廊ＢC的两条栈道AB和AC，若∠B＝５6°,∠Ｃ=45°，则游客中心Ａ到观景长廊ＢＣ的距离ＡＤ的长约为________米.（结果保留整数，参考数据:
sin5６°≈0．８，tan５6°≈１.５）
图24－4－９
17．[2017·德州］如图２4－4－10所示,某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测速仪器测得一辆汽车从Ｂ处行驶到C处所用时间为0.9秒,已知∠B=３０°,∠Ｃ=4５°.
（1）求B，C之间的距离（保留根号）;
（２）如果此路段限速为80km/ｈ,那么这辆汽车是否超速?
请说明理由（参考数据：
≈１．7,
≈１.4）．
图24－4-１0
18．如图2４-4-11,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴、ｙ轴上,点A的坐标为（－１,0）,∠ABＯ=30°，线段ＰQ的端点Ｐ从点O出发，沿△ＯＢA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Ｑ随之在ｘ轴的非负半轴上运动,如果PQ=，那么当点P运动一周时,试求出点Q运动的总路程.
图24－4－11
1.
2.D［解析]由题意知∠B＝90°－∠A＝90°－４0°=５0°．
又∵tanB＝，
∴ＡC=ＢＣ·tanB=3tan５0°．
故选D.
3．
（1）a·ｔａｎＢ
（2）c·sinAc·cｏsA
[解析］（１）∵tａnB＝
∴b=a·tanB;
∵cosB=
，∴c＝
.
（2）∵siｎA＝，∴a=c·ｓinＡ；
∵ｃosA＝,
∴b＝ｃ·cosA．
４．ＡC ＢＣ ５
5.Ｃ[解析] 解直角三角形所给条件中至少应有一条边长.
６．C7.45°
8．解：
∵ａ＝4,ｃ＝8,∴由勾股定理可得ｂ＝4.
∵sinA=
＝
，∴∠A＝30°,∴∠B＝6０°,
故∠Ａ=3０°，∠B=６０°，b＝4
．
9.A
10.2
[解析] 如图,过点Ｐ作PC⊥AB于点C,则∠PAC＝３0°，∠PBC=4５°,PＣ=PＡ＝4海里，PB＝PC＝4
海里,
所以乙货船每小时航行4 ÷2=2（海里）．
１1.解：
根据路程=速度×时间,可得AC＝18×2=36（海里）.在Rt△ＡBC中，利用正切函数的定义可得tan∠ACB=
，由此可知ＡB=AＣ·ｔaｎ∠ACB≈36×0.93≈33.5（海里）．
答:
A,Ｂ两岛之间的距离约为３3.5海里．
12．C [解析] ∵在△ABＣ中,ＡB=AC＝4,∠C=72°,
∴∠ＡＢＣ=∠C=7２°，∠A=36°．
∵D是AB的中点,DE⊥AB,
∴AD=AB＝２,AE=BE，
∴∠ABＥ＝∠Ａ=36°,
∴∠ＥBC=∠ABＣ-∠ＡBＥ=36°，
∴∠BEC=1８0°-∠EＢC－∠C=７2°,
∴∠BEC=∠C,
∴BE=ＢC,∴AＥ＝BＥ＝ＢC.
设AＥ=x，则BＥ=BＣ＝x,CE=4－x.
∵∠EBC＝∠A＝36°,∠C=∠Ｃ，
∴△BＣE∽△AＣB，
∴＝，即=,
解得x＝－2+2
（负值舍去）,
∴AＥ＝－2+2.
在△AＤＥ中，∵∠ＡDE=9０°,
∴coｓA＝
＝
＝.
１3.D ［解析] 如图,过点P作ＰC⊥AB于点C.
根据题意,得∠PＡB＝３0°,∠PBＣ=60°，
∴∠AＰB＝３0°＝∠PAB，
∴BP=AB＝400米．
在Rt△PＢC中，
sin６0°＝,
∴PC=PB·ｓin60°=40０×＝2０0（米）．
14．C[解析]∵ｓin∠CAB=
=＝，∴∠CAB＝4５°．
∵ｓin∠C′AB′=
＝=,∴∠Ｃ′AB′=60°,
∴∠ＣAC′＝60°－45°＝15°,即钓鱼竿转过的角度是1５°.故选C.
1５．40
[解析] ∵DE⊥AB，垂足为Ｅ，
∴△ＡED为直角三角形，
∴ｓinＡ＝，即
=，
∴AＤ=10,
∴菱形ABＣＤ的周长为１0×４＝40.
16.6０ [解析]∵∠B=56°，∠C＝４5°,∠AＤB=∠AＤC=9０°，BC＝BD＋CＤ＝100米，
∴BＤ=
CD＝
，
∴＋=100,解得AD≈60（米）．
１7．［解析]
（1）如图，作ＡD⊥ＢC于点D,则AD=1０m，求出CD,BD的长即可解决问题．
（2）求出汽车的速度即可解决问题,注意统一单位．
解:
（1）如图,作ＡＤ⊥BC于点D，则AＤ=10m.
在Rｔ△ACＤ中，
∵∠C=45°，
∴AD＝CD＝10m.
在Rt△ABD中,∵∠Ｂ=３０°，
∴tan30°＝,
∴ＢD=
=
AＤ＝10 m，
∴BC＝BＤ+ＣD＝（１０
+10）m.
（２）这辆汽车超速．
理由：
∵BＣ=（10
+10）ｍ≈２7 m，
∴这辆汽车的速度≈
=3０m/s=108 km／h．
∵108＞８0，
∴这辆汽车超速．
18．解:
在Ｒｔ△AOB中,
∵∠AＢＯ=3０°,ＡＯ＝1，
∴AB=2,BO=＝
．
（1）当点P从点O运动到点Ｂ处时,如图①②所示，点Ｑ运动的路程为.
（２）如图③所示，点Ｐ从B→C，当点P运动到点C时，ＱＣ⊥AB,则∠ＡＣＱ＝9０°.
∵∠ABO=30°,∴∠BAO=６0°,
∴∠OQD=90°-６0°=30°.
∵cos30°＝
∴AQ=
＝２,
∴OQ＝2－1＝１,
则当点Ｐ从点Ｂ运动到点Ｃ处时,点Q运动的路程为OＱ=1.
（３）当点P从点Ｃ运动到点Ａ处时，如图③所示,点Ｑ运动的路程为QQ′＝2-.
（４）当点Ｐ从点A运动到点O处时，点Q运动的路程为AO＝1.
综上，点Q运动的总路程为＋1＋2－＋１=4.
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