高中数学 精讲优练课型 第一章 三角函数 16 三角函数模型的简单应用课时提升作业 新人教版必修4.docx
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高中数学精讲优练课型第一章三角函数16三角函数模型的简单应用课时提升作业新人教版必修4
课时提升作业（十四）三角函数模型的简单应用
（25分钟 60分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1.函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（ ）
A.f（x）=x+sinx
B.f（x）=
C.f（x）=xcosx
D.f（x）=x··
【解析】选C.观察图象知函数为奇函数，排除D，又在x=0时函数有意义，排除B，取x=，由图象知f=0，排除A.
【补偿训练】现有四个函数：
①y=xsinx；②y=xcosx；③y=x|cosx|；④y=x2x的图象（部分）如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是（ ）
A.①④②③ B.①④③②
C.④①②③D.③④②①
【解析】选A.①y=xsinx为偶函数，对应左数第1图；
②y=xcosx为奇函数，但当x>0时，y不恒大于等于0，对应左数第3图；
③y=x|cosx|为奇函数，当x>0时y恒大于等于0，对应左数第4图.
④y=x·2x对应左数第2图，综上知，A正确.
2.（2015·陕西高考）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k，据此函数可知，这段时间水深（单位：
m）的最大值为（ ）
A.5B.6C.8D.10
【解析】选C.不妨设水深的最大值为M，由题意结合函数图象可得3+k=M ①
k-3=2 ②
解之得M=8.
【补偿训练】（2014·武汉高一检测）夏季来临，人们注意避暑，如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=
Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）
A.25℃B.26℃
C.27℃D.28℃
【解析】选C.由题意及函数图象可知，A+B=30，-A+B=10，所以A=10，B=20.
因为=14-6，所以T=16.
因为T=，所以ω=.
所以y=10sin+20.
因为图象经过点（14，30），
所以30=10sin+20，
所以sin=1，所以可取φ=.
所以y=10sin+20，
当x=12时，y=10sin+20=10×+20≈27.07≈27.
3.（2015·武汉高一检测）如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A.m B.m
C.mD.4m
【解析】选A.CD=ADtan30°=5×=，
DE=1.5，
所以树高是CD+DE=m.
4.电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=Asin（ωt+φ）的图象如图所示，则当t=秒时，电流强度是（ ）
A.-5安B.5安
C.5安D.10安
【解析】选A.由图象知A=10，=-=，
所以ω==100π.
所以I=10sin（100πt+φ）.
为五点中的第二个点，
所以100π×+φ=.所以φ=.
所以I=10sin，
当t=秒时，I=-5安.
5.已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（-x）sinx的大致图象是（ ）
【解析】选A.当x∈时，f∈（0，1），
sinx>0，所以y=fsinx>0，排除C、D；
当x∈时f<0，sinx>0，
所以y=fsinx<0，排除B，故选A.
二、填空题（每小题5分，共15分）
6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
【解析】依题意知，a==23，A==5，
所以y=23+5cos，
当x=10时，y=23+5cos=20.5.
答案：
20.5
【补偿训练】某城市一天的温度θ（℃）波动近似按照θ=20-5sin的规律变化，其中t（h）是从该日0：
00开始计时，且t≤24，则这一天的最高气温是________，最低气温是________.
【解析】由0≤t≤24知t+∈，
当t+=，即t=2时，气温最低θ=20-5=15（℃），
当t+=，即t=14时，气温最高θ=20+5=25（℃）.
答案：
25℃ 15℃
7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d=________，其中t∈[0，60].
【解析】当t=0时，d=0，
当0d=2×5sin∠AOB=10sin，
当t=30时，d=10，
当30d=2×5sin∠AOB=10sin=10sin，
当t=60时，d=0，
综上知d=10sin.
答案：
10sin
8.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：
P=Asin+60（美元）（t（天），A>0，ω>0），现采集到下列信息：
最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω的最小值为__________.
【解析】由最高油价为80美元知A=20.
由t=150（天）时达到最低油价知
sin=-1，
所以ωπ·150+=2kπ+（k∈Z）.
ω=+（k∈Z），
又ω>0，所以ω的最小值为.
答案：
三、解答题（每小题10分，共20分）
9.（2014·湖北高考）某实验室一天的温度（单位：
℃）随时间t（单位：
h）的变化近似满足函数关系：
f（t）=10-cost-sint，t∈[0，24）.
（1）求实验室这一天上午8时的温度.
（2）求实验室这一天的最大温差.
【解析】
（1）f（8）=10-cos-sin
=10-cos-sin
=10-×-=10.
故实验室这一天上午8时的温度为10℃.
（2）因为f（t）=10-2
=10-2sin，又0≤t<24，
所以≤t+<，-1≤sin≤1.
当t=2时，sin=1；
当t=14时，sin=-1.
于是f（t）在[0，24）上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
10.如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
（1）求出种群数量y关于时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位，如t=1表示2月1日）.
（2）估计当年3月1日动物种群数量.
【解析】
（1）设动物种群数量y关于t的解析式为
y=Asin（ωt+φ）+b（A>0，ω>0），
则解得A=100，b=800.
又周期T=2×（6-0）=12，
所以ω==，
所以y=100sin+800.
又当t=6时，y=900，
所以900=100sin+800，
所以sin（π+φ）=1，所以sinφ=-1，
所以可取φ=-，
所以y=100sin+800.
（2）当t=2时，y=100sin+800=750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
【补偿训练】如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A>0，ω>0），x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S（3，2）；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=
120°，求A，ω的值和M，P两点间的距离.
【解析】依题意，有A=2，=3，
又T=，所以ω=，
所以y=2sinx，x∈[0，4].
所以当x=4时，y=2sin=3.
所以M（4，3），又P（8，0），
所以MP===5（km）.
即M，P两点间的距离为5km.
（20分钟 40分）
一、选择题（每小题5分，共10分）
1.（2015·唐山高一检测）如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P（x，y），若初始位置为P0，当秒针从P0（注：
此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A.y=sin B.y=sin
C.y=sinD.y=sin
【解析】选C.因为函数的周期T=60，所以ω==，
设函数解析式为y=sin，
因为初始位置为P0，
所以t=0时y=，
所以sinφ=，所以φ可取，
所以y=sin.
2.（2015·都江堰高一检测）如图，半径为1的圆M切直线AB于O点，射线OC从OA出发绕着O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交☉M于点P，记∠PMO为x，弓形ONP的面积S=f（x），那么f（x）的大致图象是（ ）
【解析】选A.由题意得S=f（x）=x-sinx
=（x-sinx），因为f（x）-=-sinx，
所以x∈（0，π）时f（x）-<0，f（x）<，
f（x）的图象在直线y=下方，
x∈（π，2π）时，f（x）->0，f（x）>，
f（x）的图象在直线y=上方，所以A图满足题意.
【补偿训练】如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则d=f（l）的图象大致是（ ）
【解析】选C.设AP中点为C，则d=2AC，
∠AOC=∠AOP=，所以d=2sin.
二、填空题（每小题5分，共10分）
3.（2015·成都高一检测）海水受日月的引力作用，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是港口在某季节每天的时间与水深关系的表格：
时刻
0：
00
3：
00
6：
00
9：
00
12：
00
15：
00
18：
00
21：
00
24：
00
水深
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
选用函数y=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）来模拟港口的水深与时间的关系，如果一条货船的吃水深度是4米，安全条例规定至少有2.25米的安全间隙（船底与海洋底的距离），则该船一天之内在港口内呆的时间总和为________小时.
【解析】由题意可得y=2.5sint+5，则2.5sint+5≥6.25，sint≥，≤t≤，即1≤t≤5，该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，在港口内呆的时间总和为4+4=8（小时）.
答案：
8
4.一种波的波形为函数y=-sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是________.
【解析】函数y=-sinx的周期T=4.且x=3时y=1取得最大值，因此t≥7.
所以正整数t的最小值是7.
答案：
7
三、解答题（每小题10分，共20分）
5.某城市白昼时间的小时数D（t）的表达式为D（t）=3sin+12，其中t表示某天的序号，0≤t≤364，t∈N，t=0表示1月1日，t=1表示1月2日，以此类推.
（1）该城市哪一天白昼时间最长？
哪一天白昼时间最短？
（2）估计该城市一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？
【解析】
（1）令（t-79）=，得t=170.25，又t∈N，故当t=170时，D（t）取得最大值.
又t=170对应的是6月20日（闰年除外）.
所以该城市6月20日这一天白昼时间最长.
令（
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