新人教版八年级数学下册期中知识点汇总.docx

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新人教版八年级数学下册期中知识点汇总

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二次根式的知识点汇总

知识点一：

二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：

在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：

因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．

分析：

二次根式应满足两个条件：

第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

知识点二：

取值范围

1、  二次根式有意义的条件：

由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、 二次根式无意义的条件：

因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？

例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？

知识点三：

二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：

因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

例4

（1）已知y=++5，求的值．

（2）若+=0，求a2004+b2004的值

知识点四：

二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：

一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：

二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：

若，则，如：

，.

例1.计算

1．（）22．（3）23．（）24．（）2

例2.在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3

（2）x4-4（3）2x2-3

知识点五：

二次根式的性质

文字语言叙述为：

一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，

即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

例1化简

（1）

（2）（3）（4）

例2填空：

当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．

（1）若=a，则a可以是什么数？

（2）若=-a，则a是什么数？

（3）>a，则a是什么数？

例3当x>2，化简-．

知识点六：

与的异同点

1、不同点：

与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的， ，而

2、相同点：

当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.

知识点七：

二次根式的乘除

1、乘法·＝（a≥0，b≥0）反过来：

=·（a≥0，b≥0）

2、除法=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）

（思考：

b的取值与a相同吗？

为什么？

不相同，因为b在分母，所以不能为0）

例1．计算

（1）4×

（2）×（3）×（4）×

例2化简

（1）

（2）（3）（4）

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1）

（2）×=4××=4×=4=8

例4．计算：

（1）

（2）（3）（4）

例5．化简：

（1）

（2）（3）（4）

例6．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．

3、最简二次根式应满足的条件：

（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；

（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式

（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）

例1．把下列二次根式化为最简二次根式

（1）;

（2）;（3）

4、化简最简二次根式的方法：

（1）把被开方数（或根号下的代数式）化成积的形式，即分解因式；

（2）化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；

（3）将根号内能开得尽方的因数（或因式）开出来．（此步需要特别注意的是：

开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）

5.有理化因式：

一般常见的互为有理化因式有如下几类：

①与；             ②与；

③与；      ④与．

   说明：

利用有理化因式的特点可以将分母有理化．

13、同类二次根式：

被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。

判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。

如与

知识点八：

二次根式的加减

1、二次根式的加减法：

先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。

（合并方法为：

将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。

例1．计算

（1）+

（2）+

分析：

第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

解：

（1）+=2+3=（2+3）=5

（2）+=4+8=（4+8）=12

例2．计算

（1）3-9+3

（2）（+）+（-）

例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．

2、二次根式的混合运算：

先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减

3、二次根式的比较：

（1）若，则有；

（2）若，则有．

  （3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小

例4．比较3与4的大小

【勾股定理】

勾股定理：

直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：

。

常见勾股数：

3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25。

这个一定要牢记于心。

考点一：

勾股定理的直接应用

例1.正方形的面积是2，它的对角线长为（）

A、1B、2C、D、

例2．如图，由Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm，则正方形M与正方形N的面积之和为

考点二：

求第三条边的长

例1．若中，且c=37,a=12，则b=（）

A、50B、35C、34D、26

例2．已知两线段的长为6cm和8cm，当第三条线段取时，这三条线段能组成一个直角三角形。

（提示：

所给的两条变长不一定都为直角边。

）

例3．若一个直角三角形的三边分别为a、b、c,,则（）

A、169B、119C、169或119D、13或25

考点三：

与高、面积有关

例1．两个直角边分别是3和4的直角三角形斜边上的高是

例2．等腰三角形的底边为10cm，周长为36cm，则它的面积是

◆勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。

判断步骤：

（1）比较a、b、c大小，找最长边；

（2）计算两条短边的平方和，看是否与最长边的平方相等。

例1．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面。

（填“合格”或“不合格”）

例2．试判断：

三边长分别是的三角形是不是直角三角形？

【习题】

【勾股定理】

一、选择题

1、把直角三角形的两直角边均扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的几倍？

（）

A、2B、4C、3D、5

2、等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为（）

A．10B.12C.15D.20

3、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如右图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）

A、h≤17cmB、h≥8cmC、15cm≤h≤16cmD、7cm≤h≤16cm

二、填空题

1、如果梯子底端离建筑物5m，那么13m长的梯子可达到建筑物的高度是____________m。

2、如图，一圆柱高，底面半径，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是cm

3．、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的

和为。

4．一个零件的形状如图，按规定这个零件的与都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：

AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,BD=5。

这个零件符合要求吗？

5.如图，南北方向MN为我国领海线，即MN以西是我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方向有一走私船C以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切关注。

反走私艇A和走私船C的距离是13海里，A、B两艇的距离为5海里，反走私艇B测得距离C船12海里，若走私船C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

（精确到分）

四边形知识点总结：

1．四边形的内角和与外角和定理：

（1）四边形的内角和等于360°；

（2）四边形的外角和等于360°.

2．多边形的内角和与外角和定理：

（1）n边形的内角和等于（n-2）180°；

（2）任意多边形的外角和等于360°.

3．平行四边形的性质：

因为ABCD是平行四边形⇒

4.平行四边形的判定：

.

5.矩形的性质：

因为ABCD是矩形⇒

6.矩形的判定：

⇒四边形ABCD是矩形.

7．菱形的性质：

因为ABCD是菱形

⇒

8．菱形的判定：

⇒四边形四边形ABCD是菱形.

9．正方形的性质：

因为ABCD是正方形

⇒

（1）

（2）（3）

10．正方形的判定：

⇒四边形ABCD是正方形.

（3）∵ABCD是矩形

又∵AD=AB

∴四边形ABCD是正方形

例1：

如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：

∠BAE=∠DCF.

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABE=∠CDF，AB=CD.

又∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF.

∴∠BAE=∠DCF.

例2：

如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：

BE=CF.

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=OC.

又∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO=∠CFO=90º.

∵∠BOE=∠COF.

∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.

评注：

本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.

例3如图6，E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF.

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠A=∠C.

∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF.

（2）解析：

四边形MFNE是平行四边形.

∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD，BE=DF.

又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME=FN.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠FBE.

∴∠CFD=∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.

∴四边形MFNE是平行四边形.

评注：

本题是一道猜想型问题.先猜想结论，