吉林省长春市榆树一中学年高一上学期尖子生第二次考试数学文试题Word格式文档下载.docx
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11．对于幂函数f（x）=，若0＜x1＜x2，则，的大小关系是（）
A．＞B．＜
C．=D．无法确定
12．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围是（）
A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（﹣1，1）
二、填空题
13．方程有四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为__________．
14．平面内有三个点，，，若，则x的值为________.
15．将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是_________.
16．若不等式恒成立，则实数m的取值范围为______．
三、解答题
17．已知向量，，．
（1）求；
（2）求满足的实数m，n；
（3）若，求实数k.
18．已知三个点，，.
（1）求证：
；
（2）若四边形为矩形，求点的坐标及矩形两对角线所成锐角的余弦值.
19．函数的部分图象如图所示.
（1）写出的最小正周期及图中、的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
20．设为奇函数，为常数.
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并说明理由.
21．已知函数.
（1）化简；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求的值.
22．已知二次函数满足，且，.
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数，使得在上的图象恒在曲线的上方？
若存在，求出的取值范围；
若不存在，说明理由.
参考答案
1．D
【分析】
解出集合，再由并集的定义写出即可。
【详解】
由，
则．故选D．
【点睛】
本题主要考查集合的并集，正确求解一元二次不等式，是首要条件。
属于基础题
2．B
【解析】
试题分析：
求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．函数，所以；
对应的函数值分别为：
所以函数的值域为：
故答案为B．
考点：
函数值域
3．A
.
4．C
分子分母同时除以，利用同角三角函数的商关系化简求值即可.
因为，所以，于是有
，故本题选C.
本题考查了同角三角函数的商关系，考查了数学运算能力.
5．A
通过平移得到，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案.
向左平移个单位长度后得到的图像，则其对称中心为,或将选项进行逐个验证,选A.
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
6．D
直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可.
因为，且，
所以，
化为，解得，故选D.
利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：
（1）两向量平行，利用解答；
（2）两向量垂直，利用解答.
7．C
将函数y=sin（x－）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin（x－），再向左平移个单位得到的解析式为y=sin（（x+）－）=y=sin（x－），故选C
8．D
由>
0得：
x∈（−∞,−2）∪（4,+∞），
令t=，则y=lnt，
∵x∈（−∞,−2）时,t=为减函数；
x∈（4,+∞）时,t=为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f（x）=ln（）的单调递增区间是（4,+∞），
故选D.
点睛：
形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.
当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；
当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.
简称为“同增异减”.
9．D
分析:
先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：
令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；
（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
10．B
化简可知,利用同角三角函数的基本关系式,求得,即可得出结果.
又
，
故选:
B.
本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.
11．A
本题考查幂函数图象及性质．该函数在第一象限单调递减，又是偶函数，可画出其大致图象．利用数形结合易得答案为A.
12．B
根据偶函数的性质和函数的单调性可直接判断,
首先函数定义域是R，再者根据和偶函数在区间上单调递增，可得，解得，故选B.
本题是基础题，考查偶函数的性质.
13．
原问题等价于与函数与函数有四个不同的交点，
绘制函数的图象如图所示：
观察可得，实数的取值范围为.
函数零点的求解与判断：
（1）直接求零点：
令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：
利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·
f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：
将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
14．1
利用平面向量共线的坐标表示直接计算即可.
由题意得，，因为，∴，解得.
故答案为：
1.
本题主要考查已知平面向量共线求参数的值的问题，属基础题.
15．y＝sin
∵向右平移个单位，∴用x－代替y＝sinx中的x；
∵各点横坐标伸长到原来的2倍，∴用x代替y＝sin中的x，∴y＝sin
16．
由不等式恒成立，结合二次函数的性质，可得，即可求解m的范围，得到答案．
由题意，不等式恒成立，
可得，即，解得，
∴m的取值范围为．
．
本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，其中解答中熟练应用一元二次函数的性质，列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．
17．
（1）
（2）（3）
（1）由已知向量的坐标即可求出的坐标；
（2）把的坐标求出，再利用向量相等，即可求出实数,.
（3）分别写出与的坐标，再利用向量平行的条件即可求得实数k.
（1）
（2）∵，
∴．
∴解得
（3）∵．
∴,
∴.
本题主要考查的是向量的坐标运算，以及向量相等、向量平行的应用，是基础题.
18．
（1）证明见详解；
（2），矩形两对角线所成锐角的余弦值为.
（1）利用向量垂直证明即可；
（2）设坐标，根据向量相等求点坐标，根据向量夹角求对角线所成锐角余弦值.
解：
（1）由题知，，，所以，所以，所以；
（2）设点的坐标为，则根据四边形为矩形得，即：
，所以，解得，所以；
所以，，
矩形两对角线所成锐角的余弦值为.
本题考查利用向量解决平面几何问题，是中档题.
19．
（1），，；
（2）最大值0，最小值.
（1）由图可得出该三角函数的周期，从而求出；
（2）把看作一个整体，从而求出最大值与最小值.
（1）由题意知：
的最小正周期为，令y=3，则，解得，所以，.
（2）因为，所以，于是
当，即时，取得最大值0；
当，即时，取得最小值.
本小题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的最值等基础知识，考查同学们数形结合、转化与化归的数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
20．
（1）
（2）f（x）在x∈（1,+∞）上是增函数.
（1）由于已知函数是奇函数，根据奇函数的定义可得，结合对数的运算性质解方程可得的值；
（2）由
（1）得函数的解析式，设且，根据对数的性质，判断与的关系，进而根据单调性的定义，可得答案.
试题解析：
（1）∵为奇函数，∴对定义域内的任意都成立，∴，∴，解得或（舍去）
（2）由
（1）知：
∵，设，
设，则，
∴，
∴，∴，
∴在上是增函数
21．
（1）
（2）（3）
（1）利用诱导公式可化简；
（2）代入已知，从而得，结合平方关系可求得值；
（3）同样由诱导公式化已知为，代入平方关系可求得，也即得的值．
（1）.
（2），因为，所以，可得，结合，，所以.
（3）由
（2）得即为，联立，解得，所以.
诱导公式：
公式一：
，公式二：
，公式三：
，公式四：
，公式五：
，公式六：
，这六公式可统一写成：
，，可归纳为：
奇变偶不变，符号看象限．
22．
（1）
（2）
（1）利用待定系数法，设，根据题意列出相应的方程，即可求解；
（2）设，函数的图象恒在曲线的上方等价于恒成立，分离参数恒成立，利用二次函数的性质，即可求解.
（1）设，
因为二次函数满足，所以的图象关于直线对称，
即①
因为，，所以②
，③
联立①②③，解得，，.
故.
（2）设，
的图象恒在曲线的上方等价于恒成立，
即恒成立，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，
则.
故的取值范围为.
本题主要考查了待定系数法求解函数的解析式，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答根据题意转化为恒成立，利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题.
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