全国初中数学竞赛试题及答案文档格式.docx
《全国初中数学竞赛试题及答案文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国初中数学竞赛试题及答案文档格式.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
.
AG
A
B
D
COFMC
NB
4．D显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。
（1）若AB=9，当CD=x时，92x2（15）2，x35；
当CD=5时，9252（x1）2，x21；
当CD=1时，9212（x5）2，x455.
（2）若AB=x，当CD=9时，x292（15）2，x3；
当CD=5时，x252（19）2，x55；
当CD=1时，x212（59）2，x.
故x可取值的个数为6个.
5．B
设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+（n－1），由题意可知kn
n（n1）21100，即n2kn1200.
因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<
2k+（n－1），且n与2k+（n－1）的奇偶性不同.将200分解质因数，可知n=5或n=8.当n=5时，k=18；
当n=8时，k=9.共有两种不同方案.
6．
321x2
1x4
2
1x2
4x4
3x4
＝
（1
33）4
32
。
7．7
1y
11
1z
zz1
3731x1x1
x
7x34x3
因为4x
xxx
，
所以4（4x3）x（4x3）7x3，解得x从而z
3273
321x2573532353
，y1
1
35
25
于是xyz
8．.
1.
根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为1+4+3×
4+324+334=1+4+12+36+108=161（个）.9．62.
如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F.
因为∠DCF=45°
，∠A=60°
，CD=4m，所以CF=DF=22m，EF=DFtan60°
=26（m）.因为
ABBE
tan30
33
，所以ABBE
62
（m）.
10.－4.
由于二次函数的图象过点A（－1，4），点B（2，1），所以
ba1,
c32a.abc4,4a2bc1,解得
因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以b24ac0，
即（9a1）（a1）0，由于（a1）4a（32a）0，2a是正整数，故a1，
所以a≥2.又因为b+c=－3a+2≤－4，且当a=2，b=－3，c=－1时，满足题意，故b+c的最大值为－4.
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC
是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作
DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P.
问EP与PD是否相等？
证明你的结论.
解：
DP=PE.证明如下：
因为AB是⊙O的直径，BC是切线，
所以AB⊥BC.
由Rt△AEP∽Rt△ABC，得
EP
BCAE
AB
.①……（6分）
又AD∥OC，所以∠DAE=∠COB，于是Rt△AED∽Rt△OBC.故ED
OBAE
1
2AB2AEAB②……（12分）
由①，②得ED=2EP.
所以DP=PE.……（15分）
12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：
小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？
从A城出发到达B城的路线分成如下两类：
3
（1）从A城出发到达B城，经过O城.因为从A城到O城所需最短时间为26小时，从O城到B城所需最短时间为22小时.所以，此类路线所需最短时间为26+22=48（小时）.……（5分）
（2）从A城出发到达B城，不经过O城.这时从A城到达B城，必定经过C，D，E城或F，G，H城，所需时间至少为49小时.……（10分）
综上，从A城到达B城所需的最短时间为48小时，所走的路线为：
A→F→O→E→B.……（12分）所需的费用最少为：
80×
48×
1.2=4608（元）…（14分）答：
此人从A城到B城最短路线是A→F→O→E→B，所需的费用最少为4608元……（15分）
13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°
（1）当点D在斜边AB内部时，求证：
CD
BD
BC
ADBDAB
（2）当点D与点A重合时，第
（1）小题中的等式是否存在？
请说明理由.（3）当点D在BA的延长线上时，第
（1）小题中的等式是否存在？
请说明理由.
（1）作DE⊥BC，垂足为E.由勾股定理得
E
CBD
（CE
DE）（BE
22
DE）
CEBE
（CEBE）BC.
所以
CDBD
CEBEBC
CEBC
ADAB
BEBC
..
因为DE∥AC，所以故
BDAB
.……（10分）
（2）当点D与点A重合时，第
（1）小题中的等式仍然成立。
此时有
AD=0，CD=AC，BD=AB.
AC
AB
BCBC
1，
ABAB
1.
从而第
（1）小题中的等式成立.……（13分）（3）当点D在BA的延长线上时，第
（1）小题中的等式不成立.作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则
BC
CE
BE
1
2CEBC
B而
1,
.……（15分）
〖说明〗第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清者不扣分）.
14B．已知实数a，b，c满足：
a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
（2）求abc的最小值.
（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>
0，且b+c=2-a，bc
4a
4a0
于是b，c是一元二次方程x2（2a）x
（2a）4
的两实根，
≥0，
a4a4a16
（a4）（a4）≥0.所以a≥4.……≥0，（8分）
又当a=4，b=c=-1时，满足题意.
故a，b，c中最大者的最小值为4.……（10分）
（2）因为abc>
0，所以a，b，c为全大于0或一正二负.
1）若a，b，c均大于0，则由
（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这
与a+b+c=2矛盾.
2）若a，b，c为或一正二负，设a>
0，b<
0，c<
0，则
abcabca（2a）2a2，
由
（1）知a≥4，故2a-2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立。
故abc的最小值为6.……（15分）
13A．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x22（k2）xk0（k是整数）的最大整数根.P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求
PAPBPC
的值.
设方程x22（k2）xk0的两个根为x1，x2，x1≤x2.由根与系数的关系得
P
x1x242k，①x1x2k.②
由题设及①知，x1，x2都是整数.从①，②消去k，得
2x1x2x1x24，（2x11）（2x21）9.
由上式知，x24，且当k=0时，x24，故最大的整数根为4.于是⊙O的直径为4，所以BC≤4.
因为BC=PC－PB为正整数，所以BC=1，2，3或4.……（6分）连结AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，
PAPB
PCPA
故PA2PB（PBBC）③……（10分）
（1）当BC=1时，由③得，PA2PB2PB，于是
PB
PA
（PB1）
，矛盾！
（2）当BC=2时，由③得，PA2PB22PB，于是
（3）当BC=3时，由③得，PA2PB23PB，于是
（PAPB）（PAPB）3PB
由于PB不是合数，结合PAPBPAPB，故只可能
升级会员 