全国初中数学竞赛试题及答案文档格式.docx
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.
AG
A
B
D
COFMC
NB
4.D显然AB是四条线段中最长的,故AB=9或AB=x。
(1)若AB=9,当CD=x时,92x2(15)2,x35;
当CD=5时,9252(x1)2,x21;
当CD=1时,9212(x5)2,x455.
(2)若AB=x,当CD=9时,x292(15)2,x3;
当CD=5时,x252(19)2,x55;
当CD=1时,x212(59)2,x.
故x可取值的个数为6个.
5.B
设最后一排有k个人,共有n排,那么从后往前各排的人数分别为k,k+1,k+2,…,k+(n-1),由题意可知kn
n(n1)21100,即n2kn1200.
因为k,n都是正整数,且n≥3,所以n<
2k+(n-1),且n与2k+(n-1)的奇偶性不同.将200分解质因数,可知n=5或n=8.当n=5时,k=18;
当n=8时,k=9.共有两种不同方案.
6.
321x2
1x4
2
1x2
4x4
3x4
=
(1
33)4
32
。
7.7
1y
11
1z
zz1
3731x1x1
x
7x34x3
因为4x
xxx
,
所以4(4x3)x(4x3)7x3,解得x从而z
3273
321x2573532353
,y1
1
35
25
于是xyz
8..
1.
根据图中①、②、③的规律,可知图④中三角形的个数为1+4+3×
4+324+334=1+4+12+36+108=161(个).9.62.
如图,延长AD交地面于E,过D作DF⊥CE于F.
因为∠DCF=45°
,∠A=60°
,CD=4m,所以CF=DF=22m,EF=DFtan60°
=26(m).因为
ABBE
tan30
33
,所以ABBE
62
(m).
10.-4.
由于二次函数的图象过点A(-1,4),点B(2,1),所以
ba1,
c32a.abc4,4a2bc1,解得
因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点,所以b24ac0,
即(9a1)(a1)0,由于(a1)4a(32a)0,2a是正整数,故a1,
所以a≥2.又因为b+c=-3a+2≤-4,且当a=2,b=-3,c=-1时,满足题意,故b+c的最大值为-4.
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)
11.如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC
是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作
DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P.
问EP与PD是否相等?
证明你的结论.
解:
DP=PE.证明如下:
因为AB是⊙O的直径,BC是切线,
所以AB⊥BC.
由Rt△AEP∽Rt△ABC,得
EP
BCAE
AB
.①……(6分)
又AD∥OC,所以∠DAE=∠COB,于是Rt△AED∽Rt△OBC.故ED
OBAE
1
2AB2AEAB②……(12分)
由①,②得ED=2EP.
所以DP=PE.……(15分)
12.某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:
小时)如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A城出发到B城的最短路线(要有推理过程),并求出所需费用最少为多少元?
从A城出发到达B城的路线分成如下两类:
3
(1)从A城出发到达B城,经过O城.因为从A城到O城所需最短时间为26小时,从O城到B城所需最短时间为22小时.所以,此类路线所需最短时间为26+22=48(小时).……(5分)
(2)从A城出发到达B城,不经过O城.这时从A城到达B城,必定经过C,D,E城或F,G,H城,所需时间至少为49小时.……(10分)
综上,从A城到达B城所需的最短时间为48小时,所走的路线为:
A→F→O→E→B.……(12分)所需的费用最少为:
80×
48×
1.2=4608(元)…(14分)答:
此人从A城到B城最短路线是A→F→O→E→B,所需的费用最少为4608元……(15分)
13B.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°
(1)当点D在斜边AB内部时,求证:
CD
BD
BC
ADBDAB
(2)当点D与点A重合时,第
(1)小题中的等式是否存在?
请说明理由.(3)当点D在BA的延长线上时,第
(1)小题中的等式是否存在?
请说明理由.
(1)作DE⊥BC,垂足为E.由勾股定理得
E
CBD
(CE
DE)(BE
22
DE)
CEBE
(CEBE)BC.
所以
CDBD
CEBEBC
CEBC
ADAB
BEBC
..
因为DE∥AC,所以故
BDAB
.……(10分)
(2)当点D与点A重合时,第
(1)小题中的等式仍然成立。
此时有
AD=0,CD=AC,BD=AB.
AC
AB
BCBC
1,
ABAB
1.
从而第
(1)小题中的等式成立.……(13分)(3)当点D在BA的延长线上时,第
(1)小题中的等式不成立.作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,则
BC
CE
BE
1
2CEBC
B而
1,
.……(15分)
〖说明〗第(3)小题只要回答等式不成立即可(不成立的理由表述不甚清者不扣分).
14B.已知实数a,b,c满足:
a+b+c=2,abc=4.
(1)求a,b,c中的最大者的最小值;
(2)求abc的最小值.
(1)不妨设a是a,b,c中的最大者,即a≥b,a≥c,由题设知a>
0,且b+c=2-a,bc
4a
4a0
于是b,c是一元二次方程x2(2a)x
(2a)4
的两实根,
≥0,
a4a4a16
(a4)(a4)≥0.所以a≥4.……≥0,(8分)
又当a=4,b=c=-1时,满足题意.
故a,b,c中最大者的最小值为4.……(10分)
(2)因为abc>
0,所以a,b,c为全大于0或一正二负.
1)若a,b,c均大于0,则由
(1)知,a,b,c中的最大者不小于4,这
与a+b+c=2矛盾.
2)若a,b,c为或一正二负,设a>
0,b<
0,c<
0,则
abcabca(2a)2a2,
由
(1)知a≥4,故2a-2≥6,当a=4,b=c=-1时,满足题设条件且使得不等式等号成立。
故abc的最小值为6.……(15分)
13A.如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二次方程x22(k2)xk0(k是整数)的最大整数根.P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切点,点B,C是直线PBC与⊙O的交点.若PA,PB,PC的长都是正整数,且PB的长不是合数,求
PAPBPC
的值.
设方程x22(k2)xk0的两个根为x1,x2,x1≤x2.由根与系数的关系得
P
x1x242k,①x1x2k.②
由题设及①知,x1,x2都是整数.从①,②消去k,得
2x1x2x1x24,(2x11)(2x21)9.
由上式知,x24,且当k=0时,x24,故最大的整数根为4.于是⊙O的直径为4,所以BC≤4.
因为BC=PC-PB为正整数,所以BC=1,2,3或4.……(6分)连结AB,AC,因为∠PAB=∠PCA,所以PAB∽△PCA,
PAPB
PCPA
故PA2PB(PBBC)③……(10分)
(1)当BC=1时,由③得,PA2PB2PB,于是
PB
PA
(PB1)
,矛盾!
(2)当BC=2时,由③得,PA2PB22PB,于是
(3)当BC=3时,由③得,PA2PB23PB,于是
(PAPB)(PAPB)3PB
由于PB不是合数,结合PAPBPAPB,故只可能