苏教版八年级数学上册知识点(详细全面精华)Word文档下载推荐.doc
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(1):
要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义;
表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;
“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;
(4):
时刻注意图形中的隐含条件,如“公共角”、“公共边”、“对顶角”
5、全等三角形的判定
边边边:
三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)
边角边:
两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)
角边角:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”)
角角边:
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”)
直角三角形全等的判定:
对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
6、全等变换只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种:
(1)平移变换:
把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
(2)对称变换:
将图形沿某直线翻折180°
,这种变换叫做对称变换。
(3)旋转变换:
将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。
5、证明两个三角形全等的基本思路:
一般来讲,应根据题设并结合图形,先确定两个三角形已知相等的边或角,然后按照判定公理或定理,寻找并证明还缺少的条件.其基本思路是:
1).有两边对应相等,找夹角对应相等,或第三边对应相等.前者利用SAS判定,后者利用SSS判定.
2).有两角对应相等,找夹边对应相等,或任一等角的对边对应相等.前者利用ASA判定,后者利用AAS判定.
3).有一边和该边的对角对应相等,找另一角对应相等.利用AAS判定.
4).有一边和该边的邻角对应相等,找夹等角的另一边对应相等,或另一角对应相等.前者利用SAS判定,后者利用AAS判定.
二、角的平分线:
1、角平分线:
把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线;
2、角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角的两边的距离相等:
①平分线上的点;
②点到边的距离;
3、角平分线的判定定理:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上
4、方法规律
(1)有角平分线,通常向角两边引垂线。
(2)证明点在角的平分线上,关键是要证明这个点到角两边的距离相等,即证明线段相等。
常用方法有:
使用全等三角形,角平分线的性质和利用面积相等,但特别要注意点到角两边的距离。
(3)注意:
证题时可直接应用角平分线性质定理和判定定理,不必去找全等三角形。
第2章 轴对称图形
一、轴对称图形
1.把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
区别:
(1)轴对称是指两个图形间的位置关系,轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形;
(2)轴对称涉及两个图形,轴对称图形是对一个图形而言的.
联系:
(1)定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合;
(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称;
反过来,如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线
1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上
4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等
三、画轴对称图形的步骤:
1、点出关键点。
找出所有的关键点,即图形中所有线段的端点。
2、确定关键点到对称轴的距离。
关键点离对称轴多远,对称点就离对称轴多远。
3、点出对称点。
4、连线。
按照给出的一半图形将所有对称点连接成线段。
5、轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形,这条直线就叫做对称轴。
轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合,关键抓两点:
一是沿某直线折叠,二是两部分互相重合。
四、等腰三角形的性质
1、有关定理及其推论
定理:
等腰三角形有两边相等;
等腰三角形的两个底角相等。
推论1:
等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边,也就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。
推论2:
等边三角形的各角相等,且每一个角都等于60°
.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形;
(二)等腰三角形的判定
1、有关的定理及其推论
定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边相等(等角对等边)
推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2、有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形。
推论3、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(三线合一)
等腰三角形的其他性质:
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。
③等腰三角形的三边关系:
设腰长为a,底边长为b,则b/2<
a
④等腰三角形的三角关系:
设顶角为顶角为∠A,底角为∠B、∠C,则∠A=180°
—2∠B,∠B=∠C=(180°
-∠A)/2
等腰三角形的性质与判定
中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边,平分顶角;
2、等腰三角形两腰上的中线相等,并且它们的交点与底边两端点距离相等。
判定1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形;
2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分这个边的对角),那么这个三角形是等腰三角形
角平分线
1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边;
2、等腰三角形两底角平分线相等,并且它们的交点到底边两端点的距离相等。
判定;
1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边),那么这个三角形是等腰三角形;
2、三角形中两个角的平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形。
高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边;
2、等腰三角形两腰上的高相等,并且它们的交点和底边两端点距离相等。
判定:
1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角),那么这个三角形是等腰三角形;
2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。
角边等边对等角底的一半<
腰长<
周长的一半
等角对等边两边相等的三角形是等腰三角形
4、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。
(2)要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用:
位置关系:
可以证明两条直线平行。
数量关系:
可以证明线段的倍分关系。
常用结论:
任一个三角形都有三条中位线,由此有:
结论1:
三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。
结论2:
三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3:
三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4:
三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5:
三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
第3章 勾股定理
1.勾股定理:
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。
2.勾股定理逆定理:
如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2。
,那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
(例:
勾股定理与勾股定理逆定理)
4.直角三角形的性质
(1)、直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下:
∠C=90°
∠A+∠B=90°
(2)、在直角三角形中,30°
角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
可表示如下:
BC=AB
∠C=90°
(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
可表示如下:
CD=AB=BD=AD
D为AB的中点
5、摄影定理
在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠ACB=90°
CD⊥AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得:
ABCD=ACBC
7、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c有关系,那么这个三角形是直角三角形。
9、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。
可以证明线段的倍分关