类比、拓展探究题Word下载.doc

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如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°

，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

【分析】

（1）（思路分析）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；

解：

CB的延长线上，a+b

【解法提示】：

（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，

∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，

故答案为：

CB的延长线上，a+b；

（2）（思路分析）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°

，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；

②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据

（1）中的结论即可得到结果；

①CD=BE，

理由：

∵△ABD与△ACE是等边三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°

，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即∠CAD=∠EAB，

在△CAD与△EAB中，，

∴△CAD≌△EAB，

∴CD=BE；

②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，

由

（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，

∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；

（3）（思路分析）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°

得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+3；

如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

2，P（2﹣，）．

（解法提示）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°

得到△PBN，连接AN，

则△APN是等腰直角三角形，

∴PN=PA=2，BN=AM，

∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），

∴OA=2，OB=5，

∴AB=3，

∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，

∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，

最大值=AB+AN，

∵AN=AP=2，

∴最大值为2+3；

如图2，过P作PE⊥x轴于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE=AE=，

∴OE=BO﹣﹣3=2﹣，

∴P（2﹣，）．

【方法指导】对于类比探究题，一般会有三问，每一问都是对前一问的升华和知识迁移应用，因此，在做这类题时，应从第

（1）问开始，逐步进行，对于每一问都不能跳跃.一般地，第

（1）问中，通过操作发现，找出解决问题的方法，可以利用全等或者相似进行求解，注意这一问有时会因为简单而不要求写出求解过程（如：

直接写出结论等），但对于考生而言，最好能不怕麻烦，将其解决过程完全呈现，从而找出其中演变的方法和思路；

对于第

（2）问，通过改变第

（1）问的某个条件来计算求值，这样可以在做第

（1）问的基础上，将变化的条件代入其中，观察其变化的特点；

第（3）问一般是在原题设的情景下，将条件改变，而应用相同的解题思路做题，因此，可以沿用第

（1）问的解题方法，或者反方向思维，找出解决第（3）问的方法加以求解.

试题演练

1.（15长春）在矩形ABCD中，已知AD>

AB.在边AD上取点E，使AE＝AB，连接CE，过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F.

猜想：

如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为________．

探究：

如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G.判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明．

应用：

如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．

第1题图

2.（16郑州二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，∠B＝60°

，D为AB的中点，/EDF＝90°

，DE交AC于点G，DF经过点C．

（1）求/ADE的度数；

（2）如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°

<

α<

60°

），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E1DF1，∠E2DF2，DE1交直线AC于点P，DF1交直线BC于点Q，DE2交直线AC于点M，DF2交直线BC于点N，求的值；

（3）若图1中∠B＝β（60°

β<

90°

），

（2）中的其余条件不变，请直接写出的值（用含β的式子表示）．

3.（16石家庄一模）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°

∠EDF=30°

【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．

在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？

并给出证明．

【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？

，并说明理由．

【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？

其中m的取值范围是什么？

（直接写出结论，不必证明）m．

第1题

4．（16黄石）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．

（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：

△ADF∽△ABC；

（2）如图2，在

（1）的条件下，若α=45°

，求证：

DE2=BD2+CE2；

（3）如图3，若α=45°

，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？

请说明理由．

5.（16·

陕西）问题提出

（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．

问题探究

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？

若存在，求出它周长的最小值；

若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°

，EF=FG=米，∠EHG=45°

，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？

若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；

若不能，请说明理由．

6．（15河南）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°

，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α=0°

时，=　；

②当α=180°

时，=　　．

（2）拓展探究

试判断：

当0°

≤α＜360°

时，的大小有无变化？

请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

7.（16龙东）已知：

点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°

时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？

请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

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