北师大版九年级数学一元二次方程的解法Word下载.doc
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难点:
解含有字母系数的方程,灵活应用合适的方法解一元二次方程
教学步骤及教学内容
【一元二次方程的认识】
1.一元二次方程的概念:
只含有一个未知数x,并且可以化为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)的形式的整式方程是一元二次方程
【例】试判断:
关于x的方程(2a—4)x2-2bx+a=0,
(1)何时为一元二次方程?
(2)何时为一元一次方程?
【练习】为何值时,关于的方程是一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式:
把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.
【例】把下列方程变为一般形式
(1)(8-2x)(5-2x)=18
(2)(x+6)2+72=102
【一元二次方程的解法】
一、开平方法:
对于形如或的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解.
形如的方程的解法:
当时,;
当时,方程无实数根。
(1)
(2)(3)
(4)(5)
二、配方法:
通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程,再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤:
①移项:
把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;
②“系数化1”:
根据等式的性质把二次项的系数化为1;
③配方:
将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为的形式;
④求解:
若时,方程的解为,若时,方程无实数解。
【例】
【练习】
1.用适当的数填空:
①、x2+6x+
=(x+
)2;
②、x2-5x+
=(x-
③、x2+x+
④、x2-9x+
)2
2.将二次三项式2x2-3x-5进行配方,其结果为_________.
3.已知4x2-ax+1可变为(2x-b)2的形式,则ab=_______.
4.将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成(x+a)2=b的形式为_______,所以方程的根为_________.
5.若x2+6x+m2是一个完全平方式,则m的值是()
A.3B.-3C.±
3D.以上都不对
6.用配方法将二次三项式a2-4a+5变形,结果是()
A.(a-2)2+1B.(a+2)2-1C.(a+2)2+1D.(a-2)2-1
7.不论x、y为什么实数,代数式x2+y2+2x-4y+7的值()
A.总不小于2B.总不小于7
C.可为任何实数D.可能为负数
8.解方程
(1)
(2)(3)
9.
(1)求2x2-7x+2的最小值;
(2)求-3x2+5x+1的最大值。
三、公式法:
一元二次方程的根
当时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等;
当时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为;
当时,方程无实数根.
公式法的一般步骤:
①把一元二次方程化为一般式;
②确定的值;
③代入中计算其值,判断方程是否有实数根;
④若代入求根公式求值,否则,原方程无实数根。
(因为这样可以减少计算量。
另外,求根公式对于任何一个一元二次方程都适用,其中也包括不完全的一元二次方程。
)
(1);
(2)(3);
(4)
四、因式分解法:
①因式分解法解一元二次方程的依据:
如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,即:
若,则;
②因式分解法的一般步骤:
将方程化为一元二次方程的一般形式;
把方程的左边分解为两个一次因式的积,右边等于0;
令每一个因式都为零,得到两个一元一次方程;
解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。
【例】
(1)
(2)
(3)(4)
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)
五、选用适当方法解一元二次方程
①对于无理系数的一元二次方程,可选用因式分解法,较之别的方法可能要简便的多,只不过应注意二次根式的化简问题。
②方程若含有未知数的因式,选用因式分解较简便,若整理为一般式再解就较为麻烦。
(1)
(2)
(1)
(2)
(3)
六、解含有字母系数的方程
(1)含有字母系数的方程,注意讨论含未知数最高项系数,以确定方程的类型;
(2)对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解,不能用因式分解的可选用别的方法,此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。
(1)
(2)
(3)()
(4)