初中数学突破中考压轴题几何模型之圆的证明与计算常考模型文档格式.docx

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全等转化；

平行转化；

直径转化；

中线转化等；

有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常见手法：

角平分线定理；

等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；

总而言之，要完成两个层次的证明：

①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；

②直线与半径的关系是互相垂直。

在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.

2、与圆有关的计算：

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。

分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。

特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。

其中重要而常见的数学思想方法有：

（1）构造思想：

如：

①构建矩形转化线段；

②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；

③构造垂径定理模型：

弦长一半、弦心距、半径；

④构造勾股定理模型；

⑤构造三角函数.

（2）方程思想：

设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

（3）建模思想：

借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

四、结合图形讲解

3、典型基本图型：

图形1：

如图1：

AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：

（1）在“AC平分∠BAE”；

“AD⊥CD”；

“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。

（2）如图（4）：

若CK⊥AB于K，则：

①CK=CD；

BK=DE；

CK=BE=DC;

②⊿ADC∽⊿ACBAC2=AD•AB

例题讲解

如图1：

AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，在“AC平分∠BAE”；

“AD⊥CD”。

（1）求证：

DC是⊙O的切线

（2）若CK⊥AB于K

①小明通过探究发现CK=BE，你认为是否正确，请说明原因。

②请证明AC2=AD•AB

（4）在

（1）中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD

于E时（如图5），则：

①DE=GB；

②DC=CG；

③AD•BG==DC2

图形2：

如图：

Rt⊿ABC中，∠ACB=90°

。

点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：

（1）在“BO平分∠CBA”;

“BO∥DE”;

“AB是⊙O的切线”;

“BD=BC”。

四个论断中，知一推三。

（2）①G是⊿BCD的内心；

②；

③⊿BCO∽⊿CDEBO•DE=CO•CE=CE2；

图形3：

Rt⊿ABC中，∠ABC=90°

以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：

如右图：

（1）DE切⊙OE是BC的中点；

（2）若DE切⊙O，则：

①DE=BE=CE；

②D、O、B、E四点共圆∠CED=2∠A=∠BOD

③CD·

CA=4BE2

图形特殊化：

在

（1）的条件下

DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；

以AB为直径作⊙O交AC于D，E是BC的中点。

（1）求证：

DE切⊙O

（2）证明：

CD·

图形4：

如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，

基本结论有：

（1）DE⊥ACDE切⊙O；

（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：

①⊿DFC是等腰三角形；

EF=EC；

D是的中点。

1、如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，DE⊥AC于E.

DE为⊙O的切线；

（2）若BC=，AE=1，求的值.

2、直角梯形ABCD中，∠BCD=90°

，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.

⑴求证：

CD为⊙O的切线

⑵若，求的值

3、如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.

EF为⊙O的切线；

（2）若C为弧中点，AC=6，求AE