二次函数动点产生的线段最值问题典型例题Word文档下载推荐.doc

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解：

（1）设抛物线的解析式为：

y=ax2+bx+c，

∵抛物线经过A、B、C三点，

∴，解得：

，

∴抛物线的解析式为：

y=-x2+2x+3．

∵y=-x2+2x+3=，

∴该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为（1，4）．

（2）∵点A关于抛物线的对称轴的对称点为B，则AE=BE，

要使AE+CE最小，即BE+CE最小,则B、E、C三点共线

如图，连接BC交抛物线的对称轴于点E，

解法一：

设直线BC的解析式为y=kx+n，

则,解得

∴．当x=1时，，∴点E的坐标为（1，2）

解法二：

设抛物线的对称轴交x轴于点F．

∵EF∥y轴，∴∠BEF=∠BCO，∠BFE=∠BOC

∴△BFE∽△BOC

∴，

∴,

∴

∴点E的坐标为（1，2）

（3）作出点C关于x轴的对称点为C′，则C′（0，-3），OC′=3，

如图，连接C′D交x轴于点P，

∵点C关于x轴的对称点为C′，则PC=PC′，

-

C′

P

要使PD+PC最小，即PD+PC′最小,则D、P、C′三点共线

设直线C′D的解析式为y=kx+n，

∴．当y=0时，，∴

∴点P的坐标为（，0）

（4）∵点A关于抛物线的对称轴的对称点为B，则QB=QA，

要使最大，即最大,则A、C、Q三点共线

如图，连接AC交抛物线的对称轴于点Q，

Q

设直线AC的解析式为y=kx+n，

∴．当x=1时，，

∴点Q的坐标为（1，6）

∵QF∥y轴，∴∠ACO=∠AQF，∠AOC=∠AFQ

∴△AOC∽△AFQ

即当点Q的坐标为（1，6）时，有最大值，最大值为．

【作业1】

（2011菏泽）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．

（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，

∴×

（﹣1）2+b×

（﹣1）﹣2=0，解得b=-

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．

y=x2﹣x﹣2=（x2﹣3x﹣4）=（x﹣）2﹣，

∴顶点D的坐标为（，﹣）．

（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．

当y=0时，x2﹣x﹣2=0，∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）

∴OA=1，OB=4，AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，

连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．

设抛物线的对称轴交x轴于点E．

∵ED∥y轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM．

∴，∴,∴m=

则,解得n=2，

∴．

∴当y=0时，-

【作业2】2011四川广安）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD＝90°

，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（－1，0），B（－1，2），D（3，0），连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点D、M、N．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线上是否存在点P．使得PA＝PC．若存在，求出点P的坐标；

若不存在．请说明理由．

（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，

当点Q在什么位置时有最大？

（1）由题意可得M（0，2），N（－3，2），

∴解得：

（2）∵PA＝PC，∴P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过（－1，2）、（1，0），其所在的直线为y＝－x＋1．

根据题意可列方程组

解得：

∴P1（）、P2（）．

（3）如图所示，延长DC交抛物线的对称轴于点Q，根据题意可知此时点Q满足条件．

由题意可知C（1，2），D（3，0），可求得CD所在的直线的解析式为．

抛物线的对称轴为直线．

∵点Q在直线x＝－1.5上，又在直线上．

∴Q（－1.5，4.5），QE＝QD．

即当点Q的坐标为（－1.5，4.5）时，有最大值，

最大值为．

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