高中数学新教材必修第一册知识点总结.docx

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高中数学新教材必修第一册知识点总结

第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念

1.集合的描述：

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.

2.集合的三个特性：

（1）描述性：

“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明.

（2）整体性：

集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.

（3）广泛性：

组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.

3.集合中元素的三个特性：

（1）确定性：

对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一.

（2）互异性：

一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的.

（3）无序性：

集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.

4.集合的符号表示

通常用大写的字母，，，…表示集合，用小写的字母，，表示集合中的元素.

5.集合的相等

当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合与集合相等记作.

6.元素与集合之间的关系

（1）属于：

如果是集合中的元素，就说属于集合，记作，读作属于.

（2）不属于:

如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作，读作不属于.

7.集合的分类

（1）有限集：

含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程的实数根组成的集合.

（2）无限集：

含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式的解组成的集合.

8.常用数集及其记法

（1）正整数集：

全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作或.

（2）自然数集：

全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作.

（3）整数集：

全体整数组成的集合叫做整数集，记作.

（4）有理数集：

全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作.

（5）实数集：

全体实数组成的集合叫做实数集，记作.

9.集合表示的方法

（1）自然语言：

用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合.

（2）列举法：

把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素一一列举出来并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，把“方程的所有实数根”组成的集合表示为.

（3）描述法：

通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为，其中是集合中的元素代表，则表示集合中的元素所具有的共同特征.

例如，不等式的解集可以表示为

.

1.2集合间的基本关系

1.子集

一般地，对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记为

或（）

读作集合包含于集合（或集合包含集合）.

集合是集合的子集可用图表示如下：

或

关于子集有下面的两个性质：

（1）反身性：

；

（2）传递性：

如果，且，那么.

2.真子集

如果集合，但存在元素，且，我们称集合

是集合的真子集，记为

（或），

读作集合真包含于集合（或集合真包含集合）.

集合是集合的真子集可用图表示如右.

3.集合的相等

如果集合，且，此时集合与集合的元素是

一样的，我们就称集合与集合相等，记为

.

集合与集合相等可用图表示如右.

4.空集

我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即

（1）（是任意一个集合）；

（2）（）.

1.3集合的运算

1.并集

自然语言：

一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”）.

符号语言：

.

图形语言：

理解：

或包括三种情况：

且；且；且.

并集的性质：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5），；

（6）.

2.交集

自然语言：

一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作（读作“交”）.

符号语言：

.

图形语言：

理解：

当与没有公共元素时，不能说与没有交集，只能说与的交集是.

交集的性质：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5），；

（6）.

3.补集

（1）全集的概念：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.

（2）补集的概念

自然语言：

对于一个集合，由属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记为.

符号语言：

图形语言：

补集的性质

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

1.4充分条件与必要条件

1.充分条件与必要条件

一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出.这时，我们就说，由可推出，记作

，

并且说是的充分条件，是的必要条件.

在生活中，是成立的必要条件也可以说成是:

（表示不成立），其实，这与是等价的.但是，在数学中，我们宁愿采用第一种说法.

如果“若，则”为假命题，那么由推不出，记作.此时，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件.

2.充要条件

如果“若，则”和它的逆命题“若则”均是真命题，即既有，又有就记作

.

此时，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件.概括地说，如果，那么与互为充要条件.

“是的充要条件”,也说成“等价于”或“当且仅当”等.

1.5全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

（1）全称量词

短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.

全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为

，，

读作“对任意属于，有成立”.

（2）存在量词

短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.

存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为

，，

读作“存在中的元素，使成立”.

2.全称量词命题和存在量词命题的否定

（1）全称量词命题的否定

全称量词命题：

，，

它的否定：

，.

全称量词命题的否定是存在量词命题.

（2）存在量词命题的否定

存在量词命题：

，，

它的否定：

，.

存在量词命题的否定是全称量词命题.

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质

1.比较原理

；

；

.

2.等式的基本性质

性质1如果，那么；

性质2如果，，那么；

性质3如果，那么；

性质4如果，那么；

性质5如果，，那么.

3.不等式的基本性质

性质1如果，那么；如果，那么.即

性质2如果，，那么.即

，.

性质3如果，那么.

由性质3可得，

.

这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.

性质4如果，，那么；如果，，那么.

性质5如果，，那么.

性质6如果，，那么.

性质7如果，那么（，）.

2.2基本不等式

1.重要不等式

，有

，

当且仅当时，等号成立.

2.基本不等式

如果，，则

，

当且仅当时，等号成立.

叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

3.与基本不等式相关的不等式

（1）当时，有

，

当且仅当时，等号成立.

（2）当，时，有

，

当且仅当时，等号成立.

（3）当时，有

，

当且仅当时，等号成立.

4.利用基本不等式求最值

已知，，那么

（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；

（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

第三章函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示

1.函数的概念

设,是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作

.

其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合的子集.

2.区间：

设,是两个实数，而且，我们规定：

（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；

（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；

（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为：

.

这里的实数，都叫做相应区间的端点.

这些区间的几何表示如下表所示.

定义

名称

符号

数轴表示

闭区间

开区间

半开半闭区间

半开半闭区间

（4）实数集可以表示为,“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”

读作“正无穷大”.

满足，，，的实数的集合，用区间分别表示为，

，.

这些区间的几何表示如下表所示.

定义

符号

数轴表示

注意：

（1）“”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数.

（2）以“”或“”为区间的一端时，这一端点必须用小括号.

3.函数的三要素

（1）定义域；

（2）对应关系；

（3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.

4.函数的相等

如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.

5.函数的表示方法

（1）解析法

用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.

解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系.

（2）图象法

用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.

图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系.

说明：

将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数的定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数的图象.函数的图象在轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在轴上的射影构成的集合就是函数的值域.

函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等.

（3）列表法

通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初中学习过的平方表、立方表