九章算术中的二元一次方程组Word文档下载推荐.doc
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增加未知项的个数,创造了线性方程组理论。
值得骄傲的是,早在《九章算术》成书时代,中国古人已对较为复杂的线性方程组问题展开了研究。
而西方直至17世纪相关研究尚处于初级阶段。
1.中国古代的线性方程组
今天教科书中“方程”术语源于英文Equation之翻译(清代数学家李善兰首译),然而中国古代数学中的“方程”并非现代“含有未知数的等式”之涵义。
成书早于《九章算术》的江陵张家山竹简《算数书》记载,“方程”是由“程禾”算法发展而来。
“程禾”就是考核粮食作物的产量。
在《九章算术》的方程章,其前六题皆是测算粮食产量问题,可见一斑。
如第1题:
今有上禾(上等稻)三秉(捆),中禾二秉,下禾一秉,实(谷子)三十九斗;
上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;
上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。
问上、中、下禾一秉各几何?
“方程”的明确定义由刘徽在《九章算术》方程章开篇诠释道:
程,课程也。
群物总杂,各列有数,总言其实,令每行为率。
二物者再程,三物者三程,皆如物数程之,并列为行,故谓之方程。
其中“数”乃群物之数,即诸未知项的系数,“实”是“数”与“物”的线性组合,相当于常数项,“总”则暗示了等量关系。
因而“方程”的每行都可以看作是一个多元一次方程,“方程”各行联立起来就组成了一个线性方程组。
因此,中国古代的“方程”就是现在的线性方程组。
《九章算术》中的算筹图是竖排的(从左至右)。
若用印度-阿拉伯数码,方程章第1题则可表示为:
实乃现代线性方程组的系数排列而成的数表。
若是用现在符号表示则为
其他国家或民族给出联立一次方程组的解法比中国晚不少年,如在印度最早出现在婆罗摩笈多(Brahmagupta,598-660)的著作《婆罗摩修正体系》之中;
而欧洲最早提出三元一次方程组解法者是法国数学家布丢(J.Buteo,1485-1572)。
2.《九章算术》中的二元一次方程组
《九章算术》方程章中共计18道题目,其中关于二元一次方程组的有8题,三元的6题,四元、五元的各2题皆是用直除法求解,该演算法是我国古代求解线性方程组的基本方法,其理论上和现在加减消元法基本一致。
如第2、10题就是典型的二元一次方程组。
2今有上禾七秉,损实一斗,益之下禾二秉,而实一十斗;
下禾八秉,益实一斗与上禾二秉,而实一十斗。
问上、下禾实一秉各几何?
这里的“损实”就是减去,“益实”就是加上,故而“益实”和“损实”是一对互为相反意义的正负概念。
同时在“术”中还给出移项的概念。
解按术计算有:
设上禾每捆打谷斗,下禾每捆打谷斗。
则据题意可得
10今有甲乙二人持钱不知其数。
甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十。
问甲、乙持钱各几何?
题意为:
今有甲乙二人,不知其钱包里有多少钱。
若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;
而甲把其2/3的钱给乙,则乙的钱数也能为50,问甲、乙各有多少钱?
解设甲持钱为,乙持钱为。
依题意得方程组
在《九章算术》中,多是采用分离系数法表示线性方程组,这相当于现在的矩阵(线性方程组系数用数表表示的形式)表示。
而解线性方程组所使用的直除法,与矩阵初等变换相一致(交换两行位置;
某行乘以非零数;
两行相加减)。
另求解线性方程组时中国古人还施行了正负数的乘除法,这是世界数学史上一项重大成就。
尽管在丢番图《算术》中,给出题目:
已知两数之和为100,之差为40,求两数,但在西方直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程组解法法则。
此外,我国古典数学著作《孙子算经》、《张丘建算经》、《数书九章》、《详解九章算法》、《九章算法比类大全》、《算法统宗》等,也介绍了线性方程组解法。
清代数学家梅文鼎(1633-1721)的《方程论》共有90道线性方程组问题,其中未知数个数最多达6个,解法也多是利用加减消元法。
关于著《方程论》的宗旨,梅文鼎曾给友人方中通(1633-1698)解释道,“方子精西学,愚病西儒排西算,著《方程论》,谓虽利氏无以难。
”其大意是,中国古代关于线性方程组的研究成果,是西方数学难以比拟的,故我们完全不必在“西儒”面前妄自菲薄。