截长补短专题Word文档格式.doc

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分析：

因为平角等于180°

，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.

证明：

过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2

图1-2

∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，

在Rt△ADE与Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）,∴∠DAE=∠DCF.

图2-1

又∠BAD+∠DAE=180°

，∴∠BAD+∠DCF=180°

，

即∠BAD+∠BCD=180°

例2.如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.

CD=AD+BC.

图2-2

结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.

在CD上截取CF=BC，如图2-2

在△FCE与△BCE中，

∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1.

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°

，∴∠DCE+∠CDE=90°

∴∠2+∠3=90°

，∠1+∠4=90°

，∴∠3=∠4.

在△FDE与△ADE中，

∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，

∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.

例3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.

∠BAP+∠BCP=180°

与例1相类似，证两个角的和是180°

，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.

图3-1

过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2

∵∠1=∠2，且PD⊥BC，∴PE=PD，

在Rt△BPE与Rt△BPD中，

图3-2

∴Rt△BPE≌Rt△BPD（HL）,∴BE=BD.

∵AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.

在Rt△APE与Rt△CPD中,

∴Rt△APE≌Rt△CPD（SAS）,∴∠PAE=∠PCD

又∵∠BAP+∠PAE=180°

∴∠BAP+∠BCP=180°

图4-1

例4.已知：

如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.

AB=AC+CD.

从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.

方法一（补短法）

图4-2

延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2

∴∠ACB＝2∠E，

∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，

在△ABD与△AED中,

∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.

又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.

方法二（截长法）

图4-3

在AB上截取AF=AC，如图4-3

在△AFD与△ACD中,

∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.

又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB.

∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.

上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。

让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。