多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法Word格式.docx
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6x=3,1
x=—
匚6渔皿••：
184=V3.
・・・正六棱柱的底面圆的半径球心到底面的距离，心
・・・外接球的半径R=7^存=1..-.V^=—.
小结本题是运用公式RS求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
欧阳歌谷创编2021年2月1
多面体几何性质法
例2己知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表⑥积杲
A.16/B.20;
rC.24^D.32/T
解设正四棱柱的底廂边长为-外接球的半径为心则有
4*2=16,解得尤=2・
・•・2R=>
?
22+22+42=2书、：
很=來，・・这个球的表面积是
4托R，=24兀.选C.
小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
补形法
例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为石，则其外接球的表面积杲.
解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，.••把这个三棱锥可以补成一个棱长为V3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.
设其外接球的半径为R,则有（2町=（V3）2+（间'
+（V?
）2=9,・・R2=-.
4
故其外接球的表⑥积S=4叔=9兀•
小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为级方、G则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就杲该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为心则有2R=h"
.
寻求轴截廂圆半径法
例4正四棱锥S-ABCD的底直边长和各侧棱长都为血，点
S、A、B、C、D都在同一球面上,则此球的体积为.
解设正四棱锥的底直中心为外接球的球
心为如图3所示，••由球的截面的性质,可得
OO\丄平面A3CD.
面圆，外接圆的半径
又SO丄平WiABCD,•••球心0必在SO1所在的直线上.
就是外接球的半径.
在A4SC中，由SA=SC=V2,AC=29得SA2+SC2=AC2.
AASC是以AC为斜边的RtA・
・・・¥
=1是外接圆的半径，也是外接球的半径•故年.
小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平廂几何问题来研究•这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
确定球心位置法
例5在矩形A8CD中，AB=4,BC=39沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,贝！
］四面体ABCD的外接球的体积为
a125c125厂125,125
A・——7t上5・——nJ.——nD・——n
12963
2021年2月上
解设矩形对角线的交点为O,则由矩形对角线互相平分，可知OA=OB=OC=O£
>
.・・・点O到四面体的四个顶点A、B、C、£
的距离相等，即点O为四⑥体的外接球的球心，如图2所示，••外接球的半径R=OA=-.故V球=芈兀疋=—^.选C.
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出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：
已知在三棱锥A-BCD中，AD丄面ABC,ZBAC=120*,
AB=AD=AC=29求该棱锥的外接球半径。
D
解：
由已知建立空间直角坐标系
由平廂知识變£
设球心坐样族
知X2+y2+Z2=（x-2）2+y2+Z2X2+解得x=iy=~Yz=l所以半径为R=帜£
）52=¥
【结论】：
空间两点间距离公式：
PQ=Jg一吃），+（必一『2）2+（Z]—召）〜
四面体是正四面体
外接球与内切球的圆心为正四副本高上的一个点，
根据勾股定理知，假设正四⑥体的边长为。
时，它的外接球半径为学。
内切球的半径
正方体的内切球:
设正方体的棱长为“，求
（1）内切球半径；
（2）外接球半径；
（3）与棱相切的球半径。
（1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得R氓;
2
（2）与正方体各棱相切的球：
球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆。
为正方形EFGH的外接圆，易得R=牛。
（3）正方体的外接球：
正方体的八个顶点都在球面上，如图
5,以对角廂必.作截廁图得，圆O为矩形"
GC的外接
圆，易得o
乙
构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底⑥中心连线的中点处，由球心、底廁中心及底面—顶点构成的直角三角形便可得球半径。
例题：
已知底廂边长为d正三棱柱ABC-A^C.的六个顶点在球Q上，又知球Q与此正三棱柱的5个⑥都相切，求球0与球Q的体积之比与表面积之比。
分析：
先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
如图6,由题意得两球心0、是重合的，过正三棱柱的—条侧棱必I和它们的球心作截面，设正三棱柱底庖边长为J则R、斗,
O
正三棱柱的高为h=2R产斗a,由
二棱锥的内切、外接球问题
4•正四廁体的外接球和内切球的半径是多少？
运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线.面关系解之。
如图1所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为J由图形的对称性知，点。
也是外接球的球心.设内切球半径为r外接球半径为/?
•
在中，BO2=BE2+EO2,即R2=\—+r2,得
【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为1（h为正四廂体的高），且外接球的半径斗，从而可以通过
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截面图中心△O3E建立棱长与半径之间的关系
多廂体的体积为V,表面积为S,则内切球的半径为：
3V/S
高为h,各面面积均为S的棱锥内任意一点到各表面距离之
和为h
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