数学建模作业6指数增长模型和Logistic模型.docx
《数学建模作业6指数增长模型和Logistic模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模作业6指数增长模型和Logistic模型.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学建模作业6指数增长模型和Logistic模型
佛山科学技术学院
上机报告
课程名称数学建模
上机项目指数增长模型和Logistic模型
专业班级姓名学号
一、问题提出
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一。
认识人口数量的变化规律，作出较准确的
预报，是有效控制人口增长的前提。
要求：
分别建立并求解两个最基本的人口模型，即：
指数增长模型和Logistic模型，并利
用表1给出的近两百年的人口统计数据，画出图形拟合数据，对模型做出检验，最后用它预报
2000年的人口。
表1人口统计数据
年（公元）
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
人口（百万）
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
年（公元）
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
人口（百万）
31.4
38.6
50.2
62.9
76.0
92.0
106.5
年（公元）
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
人口（百万）
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
251.4
模型一：
指数增长（Malthus）模型：
（1）模型假设
常用的计算公式：
今年人口x0,年增长率r，k年后人口为xkx0（1r）k假设：
人口增长率r是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）符号说明：
x0~t=0时的人口数，x（t）~时刻t的人口数
（2）模型建立
（显示模型函数的构造过程）
由于量大，x（t）可看作连续、可微函数，t到tt时间内人口的增量为x（tt）x（t）
trx（t）
于是x（t）满足微分方程
dx
1）
rx
dtx（0）x0
（3）模型求解
（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）解微分方程
（1）得x（t）x0ert
（2）
当t时，x（t）（r0）,即随着时间增加，人口按指数规律无限增长。
（4）模型的参数估计
要用模型的结果
（2）式来预报人口，必须对常数r进行估计，可以用表1的数据通过拟合得到。
取x03.9，通过
（2）式以及表中1790-1990的数据进行最小二乘法拟合得r=0.2169.程序如下：
模型求解：
取初始值x（0）=3.9
Matlab程序：
建立M文件volum.m,如下：
functiony=volum（beta,t）y=3.9*exp（beta
（1）*t）;
再建立r1.m程序，如下：
t=0:
1:
20;
x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4];
beta0=[0.01];[beta,r,J]=nlinfit（t',x','volum',beta0）;
beta
结果为beta=0.2169
（5）模型检验
先建立M文件renkou.m，如下：
functionx=renkou（beta,t）x=3.9*exp（beta*t）;
再建立程序zhishu.m，如下：
t=0:
1:
20;
x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2
131.7150.7179.3204.0226.5251.4];
beta0=0.01;
beta=nlinfit（t',x','renkou',beta0）y=3.9*exp（beta*t）;
y
plot（t,x,'*',t,y）
error=abs（y-x）
寸90e∙寸L
Lr∑e∙g9
8909Ng
6寸80.6
L0⅛no⅛l卜LSUlUn-OO
gg9∞00L
g'OL•寸C089寸l<0LgOLQ
9卜0.9
9L⅛no⅛l6SUlUn-OO
00060
∞⅛no⅛lLSUIUn-OO
69L0.O
m<1af1s"cl00旳"«爲|-<=;忙|-・5
•二⅛c1m-Rk.il∙4l6∙f=Λ∙
-≡^~⅛E-2Er≡r⅛才4・T=W
SH
-s⅛≤ftMUSHB
（4r^+-,⅞qJτle*⅛lHHMuβτ4Qun,J∙
口<一□一回」®+-
dTH咅OPLWdoplm占Sncp口
50CJ.-3oω京上土PLU卫工
E∙r⅛o上IUQJ>83L<Σ≤r3EnIJoα<αLElgc-EP
125.2914155.6324193.3208240.1359298.2879
error=
Columns1through8
图像如下：
根据拟合出的数据和原来数据填写表格，如下：
年
实际人口
指数增长模型
（公元）
（百万）
预测人口（百万）
误差
表2实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
1790
3.9
3.9000
0
1800
5.3
4.8447
0.4553
1810
7.2
6.0181
1.1819
1820
9.6
7.4758
2.1242
1830
12.9
9.2866
3.6134
1840
17.1
11.5360
5.5640
1850
23.2
14.3303
8.8697
1860
31.4
17.8014
13.5986
1870
38.6
22.1132
16.4868
1880
50.2
27.4695
22.7305
1890
62.9
34.1232
28.7768
1900
76.0
42.3885
33.6115
1910
92.0
52.6558
39.3442
1920
106.5
65.4101
41.0899
1930
123.2
81.2537
41.9463
1940
131.7
100.9350
30.7650
1950
150.7
125.3834
25.3166
1960
179.3
155.7538
23.5462
1970
204.0
193.4805
10.5195
1980
226.5
240.3453
13.8453
1990
251.4
298.5617
47.1617
分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长。
而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。
如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少。
于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改。
下面的模型是修改后的阻滞增长模型。
模型二：
Logistic模型（阻滞增长模型）
（1）模型假设
假设1：
人口增长率r为人口x（t）的函数r（x）（减函数），即可假定
r（x）rsx,r,s0（线性函数），r叫做固有增长率。
假设2：
自然资源和环境条件能容纳的最大人口容量为xm
（2）模型建立
r
当xxm时，增长率应为0，即r（xm）0，于是s，代入r（x）rsx，得：
xm
x
r（x）r
（1）（4）
xm
将（3）式代入
（1）式得：
dxx
r
（1）x
dtxm（5）
x（0）x0
（3）模型求解
显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）
解（4）得
xm
1（xm1）ertx0
根据方程（4）作出~x曲线图，如图1所示，由图1看出人口增长率随人口dt
数的变化规律。
根据结果（5）式作出x~t的曲线图，如图2所示，由图2可看出人口数随时间的变化规律。
0t
图2：
阻滞增长模型x~t曲线图
（4）模型的参数估计
通过表1中1790-1990年的数据对r和xm进行拟合，得到r0.2798，xm311.9555。
程序如下：
模型求解：
取初始值x（0）=3.9
Matlab程序：
建立M文件volum1.m,如下：
functiony1=volum1（beta,t）y1=beta
（1）./（1+（（beta
（1）./3.9）-1）.*exp（-beta
（2）*t））;再建立程序rm.m，如下：
t=0:
1:
20;
x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2
131.7150.7179.3204.0226.5251.4];beta0=[100.01]';
[beta,r,J]=nlinfit（t',x','volum1',beta0）;beta
⅛IMSqE迪WI迺二J√存√√√μjln;
X→二G⅛6石7-存∙o-β⅛-6sκ-Hs⅛r（κ66Γr5IIπ〔二目『齐二.気E.芒二』二.m空虽『90二.呂〔静E隐PS「常二E=πI.r-二dg&拄二I肝
M
Pg
R
B
Cl.
Cn
-90
厂；
•
C=?
I
.1-
4L
*
⅜
■
Ur
X
~L-
=T
M
-迦
'L
÷b
P∣ot（t,x,'*'J
WUCha=abs（x-y）
43
⅛9
LAJ
⅝>
■
■
■
I
+
O
I
密
I^lfi
^r86A∙9）dx①*∙（τ76co∖（9996LLco））+L=（9996∙LLCOHA
于LgB9.9对0•寸OBCO∙6∖L、09L∖LCOL
BCO2L9∙90LOz60.9卜6Z9口099CCO寸LcoBco2L2L6ZL9∙6CLco∙96cllXo?
LOIL
§
α
&I
S^i❼CUrrentFoldrr；CΛU¾eirs∖ΛdminiStratorXDocumrπt^∖MATLA
Comrιηa∣∏d∣WiindOW
j
I
⅞
I
I
Il
In»吩□⅛InI・
Capi
Λ∙_*
i—IfCJi
In
&
q
≠≠
亏LU
盘
⅛
4
V
Γ
f
eD
□
CIJrrCntFOldClr—
升级会员 