数学建模作业6指数增长模型和Logistic模型.docx

1、数学建模作业6指数增长模型和Logistic模型佛山科学技术学院上机报告课程名称 数学建模上机项目 指数增长模型和 Logistic 模型专业班级 姓 名 学 号 一、问题提出人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一。认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。要求：分别建立并求解两个最基本的人口模型，即：指数增长模型和 Logistic 模型，并利用表 1 给出的近两百年的人口统计数据，画出图形拟合数据，对模型做出检验，最后用它预报2000 年的人口。表 1 人口统计数据年（公元）1790180018101820183018401850人口（百万）3.95.37.29

2、.612.917.123.2年（公元）1860187018801890190019101920人口（百万）31.438.650.262.976.092.0106.5年（公元）1930194019501960197019801990人口（百万）123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4模型一：指数增长（ Malthus ）模型：（1） 模型假设常用的计算公式：今年人口 x0, 年增长率 r，k 年后人口为 xk x0（1 r）k 假设：人口增长率 r 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比） 符号说明：x0 t=0时的人口数， x（t）时刻 t的人口数(2

3、)模型建立(显示模型函数的构造过程)由于量大， x(t )可看作连续、可微函数， t到t t 时间内人口的增量为 x(t t) x(t)t rx(t)于是 x(t) 满足微分方程dx1)rxdt x(0) x0(3)模型求解(显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果) 解微分方程( 1)得 x(t) x0ert (2)当t 时， x(t) (r 0) ,即随着时间增加，人口按指数规律无限增长。(4)模型的参数估计要用模型的结果( 2)式来预报人口，必须对常数 r 进行估计，可以用表 1 的数 据通过拟合得到。取 x0 3.9 ，通过( 2)式以及表中 1790-1990 的数据进行最小二 乘法

4、拟合得 r=0.2169. 程序如下： 模型求解：取初始值 x(0)=3.9Matlab 程序： 建立 M 文件 volum.m, 如下： function y=volum(beta,t) y=3.9*exp(beta(1)*t);再建立 r1.m 程序，如下：t=0:1:20;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4;beta0=0.01; beta,r,J=nlinfit(t,x, volum ,beta0);b

5、eta结果为 beta =0.2169(5)模型检验先建立 M 文件 renkou.m ，如下：function x=renkou(beta,t) x=3.9*exp(beta*t);再建立程序 zhishu.m ，如下：t=0:1:20;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4;beta0=0.01;beta=nlinfit(t,x, renkou ,beta0) y=3.9*exp(beta*t);yplot(t,

6、x, * ,t,y)error=abs(y-x)寸90e寸LLreg98909Ng6 寸 80.6L0nol 卜 L SUlUn-OOgg900LgOL 寸C 089 寸l0 LgOLQ9 卜0.99Lnol 6 SUlUn-OO00060nol L SUIUn-OO69L0.Om1af1scl00旳爲|-=;忙|-5二c1m-Rk.il4l6f=- E -2 Err才 4T=WSH-sftMUSHB(4 r+-,q J le*lHHMu 4Qun,J口 83Lr3EnIJoLElgc-EPcJLIl-I+OI密Ilfir86 A9)dx *(76co(9996 LLco)+L=(9996 LLCOHA于 LgB 9.9 对 0寸 OBCO6L、09L LCOLBCO2L 990LOz6 0.9 卜 6Z9 口 09 9CCO寸 LcoBco2 L2L 6ZL 96 CLco9 6cllX o? LOIL& ISi CUrrent Foldrr； CUeirsdminiStratorXDocum rtMATLAComrad WiindOWjIIIIlIn 吩 In ICa pi _*iIf CJiI n&q亏 LU盘4VfeDCIJrrCnt FOldClr