高考数学一轮 课标通用 第十一章计数原理概率随机变量及其分布117离散型随机变量及其分布列学案理Word文件下载.docx
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p2
pi
pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P（X＝xi）＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
（2）性质
①pi________，i＝1,2,3，…，n；
②
i＝1.
（2）①≥0
3．常见离散型随机变量的分布列
（1）两点分布
1
________
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称p＝P（X＝1）为________．
（2）超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P（X＝k）＝________，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
m
______
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
（1）1－p 成功概率
（2）
（1）[教材习题改编]已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
2
3
n
则k的值为________．
解析：
由
＋
＋…＋
＝1，得k＝1.
（2）[教材习题改编]设随机变量X等可能取1,2,3，…，n，如果P（X<
4）＝0.3，那么n＝________.
10
由题意知
×
3＝0.3，∴n＝10.
[典题1] 设离散型随机变量X的分布列为
4
0.2
0.1
0.3
求：
（1）2X＋1的分布列；
（2）|X－1|的分布列．
[解] 由分布列的性质知，
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为
2X＋1
5
7
9
|X－1|
从而由上表得两个分布列为
（1）2X＋1的分布列为
（2）|X－1|的分布列为
[点石成金] 1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证各个概率值均为非负数．
2．若X是随机变量，则η＝|X－1|等仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列．
考点2 离散型随机变量分布列的求法
离散型随机变量的分布列易错点：
随机变量的取值不全；
分布列的概率之和不为1.
下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的是________．
③
利用离散型随机变量的分布列的性质可排除①，②，④.
离散型随机变量的分布列：
随机变量的取值；
求概率；
列表检验．
某射手射击一次所得环数X的分布列如下：
8
0.4
现该射手进行两次射击，以两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ，则ξ的分布列为________．
0.01
0.24
0.39
0.36
ξ的可能取值为7,8,9,10.P（ξ＝7）＝0.12＝0.01，P（ξ＝8）＝2×
0.1×
0.4＋0.42＝0.24，
P（ξ＝9）＝2×
0.3＋2×
0.4×
0.3＋0.32＝0.39，
P（ξ＝10）＝2×
0.2＋2×
0.3×
0.2＋0.22＝0.36，
∴ξ的分布列为
[典题2] 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件）
频数
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
（1）求当天商店不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．
[解]
（1）P（当天商店不进货）＝P（当天商品销售量为0件）＋P（当天商品销售量为1件）＝
＝
.
（2）由题意知，X的可能取值为2,3.
P（X＝2）＝P（当天商品销售量为1件）＝
；
P（X＝3）＝P（当天商品销售量为0件）＋P（当天商品销售量为2件）＋P（当天商品销售量为3件）＝
所以X的分布列为
[点石成金] 求离散型随机变量分布列的步骤
考点3 超几何分布
[典题3] 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；
乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列．
[解]
（1）由已知得，
P（A）＝
所以事件A发生的概率为
（2）随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P（X＝k）＝
（k＝1,2,3,4）．
所以随机变量X的分布列为
[点石成金] 超几何分布的两个特点
（1）对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；
（2）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.
[2017·
山东济南调研]PM2.5是指悬浮在空气中的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；
在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；
在75微克/立方米以上空气质量为超标．
从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
PM2.5日均值（微克/立方米）
[25，
35]
（35，
45]
（45，
55]
（55，
65]
（65，
75]
（75，
85]
（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．
解：
（1）记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则
（2）依据条件，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，
P（ξ＝k）＝
（k＝0,1,2,3）．
∴P（ξ＝0）＝
，
P（ξ＝1）＝
P（ξ＝2）＝
P（ξ＝3）＝
因此ξ的分布列为
[方法技巧] 1.随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．
2．分布列性质的两个作用
（1）利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
（2）随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
3．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率．
[易错防范] 掌握离散型随机变量的分布列的注意事项
（1）分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；
第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．
（2）要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．
真题演练集训
1．[2016·
新课标全国卷Ⅰ]某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
（1）由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而
P（X＝16）＝0.2×
0.2＝0.04；
P（X＝17）＝2×
0.2×
0.4＝0.16；
P（X＝18）＝2×
0.2＋0.4×
0.4＝0.24；
P（X＝19）＝2×
0.2＝0.24；
P（X＝20）＝2×
0.4＋0.2×
0.2＝0.2；
P（X＝21）＝2×
0.2＝0.08；
P（X＝22）＝0.2×
0.2＝0.04.
16
17
18
19
20
21
22
0.04
0.16
0.08
（2）由
（1）知，P（X≤18）＝0.44，P（X≤19）＝0.68，故n的最小值为19.
（3）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：
元）．
当n＝19时，
E（Y）＝19×
200×
0.68＋（19×
200＋500）×
0.2＋（19×
200＋2×
500）×
0.08＋（19×
200＋3×
500
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