山西省晋中市届高三高考适应性调研考试理数试题Word文档格式.docx
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7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．16B．20C.52D．60
8.已知函数
是
的导函数，则函数
的一个单调递减区间是（）
9.若
，则在
的展开式中，
的幂函数不是整数的项共有（）
A．13项B．14项C.15项D．16项
10.在平面直角坐标系中，不等式组
（
为常数）表示的平面区域的面积为
，若
满足上述约束条件，则
的最小值为（）
A．-1B．
C.
11.已知双曲线
的左右焦点分别为
，过点
且垂直于
轴的直线与该双曲线的左支交于
两点，
分别交
轴于
两点，若
的周长为12，则
取得最大值时该双曲线的离心率为（）
12.已知函数
，其中
为自然对数的底数，若
的导函数，函数
在区间
内有两个零点，则
的取值范围是（）
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设样本数据
的方差是4，若
的方差为．
14.在平面内将点
绕原点按逆时针方向旋转
，得到点
，则点
的坐标为．
15.设二面角
的大小为
点在平面
内，
点在
上，且
与平面
所成的角的大小为．
16.非零向量
的夹角为
，且满足
，向量组
由一个
和两个
排列而成，向量组
由两个
和一个
排列而成，若
所有可能值中的最小值为
．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等差数列
的前
项和为
且
）.
（1）求
的值；
（2）若数列
满足
，求数列
项和．
18.如图，三棱柱
中，侧面
是边长为2的菱形，且
，四棱锥
的体积为2，点
在平面
内的正投影为
在
上点
是线段
．
（1）证明：
直线
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
19.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为
元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就是越高，具体浮动情况如下表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表
浮动因素
浮动比率
上一个年度未发生有责任道路交通事故
下浮10%
上两个年度未发生有责任道路交通事故
下浮20%
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故
下浮30%
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
0%
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故
上浮10%
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
上浮30%
某机构为了某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型
数量
10
5
20
15
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，
，记
为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求
的分布列与数学期望；
（数学期望值保留到个位数字）
（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：
①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．
20.设
是椭圆
上三个点，
在直线
上的射影分别为
（1）若直线
过原点
，直线
斜率分别为
，求证：
为定值；
（2）若
不是椭圆长轴的端点，点
坐标为
与
面积之比为5，求
中点
的轨迹方程．
21.已知函数
（1）讨论函数
上的单调性；
的图象有且仅有一条公切线，试求实数
的值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
为参数），以坐标原点
为极点，以
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线
的极坐标方程
（1）若曲线
只有一个公共点，求
（2）
为曲线
上的两点，且
，求
的面积最大值．
23.选修4-5：
不等式选讲
设函数
的最大值为
（1）作出函数
的图象；
的最大值．
试卷答案
一、选择题
1-5:
CDCAB6-10:
BBACD11、12：
DA
二、填空题
13.1614.
15.
16.
三、解答题
17.
（1）由已知得：
且
设数列
的公差为
，则有
∴
由
，得
，即
（2）由
（1）知，
，∴
.
①
②
①–②，得：
18.
（1）因为四棱锥
的体积为2，
即
，所以
又
，即点
是靠近
的四等分点，
过点
作
交
于点
所以四边形
为平行四边形
所以
，所以直线
（2）设
的交点为
所在直线为
轴，
轴，过点
作平面
的垂线为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设平面
的法向量为
，即为所求.
19.
（1）由题意可知：
的可能取值为
由统计数据可知：
的分布列为：
X
0.9a
0.8a
0.7a
a
1.1a
1.3a
P
（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故的概率为
，三辆车中至多有一辆事故车的概率为
②设
为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，
的可能取值为-5000,10000
Y
-5000
10000
所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为
万元
20.
（1）设
，两式相减得：
（2）设直线
轴相交于点
由于
（舍去）或
即直线
经过点
，设
①当直线
垂直于
轴时，弦
中点为
②当直线
轴不垂直时，设
的方程为
消去
，整理得：
综上所述，点
的轨迹方程为
21.
（1）
当
时，
，函数
上单调递减；
时，令
上单调递增，
综上所述，当
的单减区间是
单增区间是
（2）函数
在点
处的切线方程为
函数
的图象有且仅有一条公切线
有唯一一对
满足这个方程组，且
由
（1）得：
代入
（2）消去
，关于
的方程有唯一解
令
方程组有
解时，
单调递减，在
单调递增
因为
只需
为单减函数
时，关于
的方程
有唯一解
此时
，公切线方程为
22.
（1）曲线
是以
为圆心，以
为半径的圆
的直角坐标方程为
由直线
与圆
只有一个公共点，则可得
解得：
（舍），
所以：
（2）曲线
的极坐标方程为
）
设
的极角为
则
所以当
取得最大值
的面积最大值
23.
（1）
画出图象如图，
∵
当且仅当
时，等号成立．
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