高中数学必修三北师大版 111 算法的概念 学案Word版含答案.docx

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高中数学必修三北师大版111算法的概念学案Word版含答案

1.1　算法与程序框图

1.1.1　算法的概念

1．通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法的思想．（重点）

2．了解算法的含义和特征．（难点）

3．会用自然语言表述简单的算法．（易错易混点）

[基础·初探]

教材整理1　算法的概念

阅读教材P2～P3“例1”以上部分，完成下列问题．

　12世纪的算法

指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程

数学中的算法

通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤

现代算法

通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）一个算法可解决某一类问题．（　　）

（2）算法的步骤是有限的，有些步骤可有可无．（　　）

（3）同一个问题可以有不同的算法．（　　）

【解析】　

（1）√.　根据算法的概念可知．

（2）×.　算法的步骤是有限的，也是明确的，不能可有可无．

（3）√.　例如二元一次方程组的算法，可用“加减消元法”，也可用“代入消元法”．

【答案】　

（1）√　

（2）×　（3）√

教材整理2　算法的特征

阅读教材P3～P4“例1”至“例2”的内容，完成下列问题．

1．有限性：

一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限步操作之后停止，不能是无限的．

2．确定性：

算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可．

3．顺序性与正确性：

算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．

4．不唯一性：

求解某一问题的解法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不同的算法．

5．普遍性：

很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决．

下列可以看成算法的是（　　）

A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题

B．今天餐厅的饭真好吃

C．这道数学题难做

D．方程2x2－x＋1＝0无实数根

【解析】　A是学习数学的一个步骤，所以是算法．

【答案】　A

教材整理3　算法与计算机

阅读教材P5结尾部分，结合本节内容完成下列问题．

1．算法设计的目的

计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．

2．算法设计的要求

（1）设计的算法要适用于一类问题，并且遇到类似问题能够重复使用；

（2）算法过程要做到能一步一步地执行，每一步执行的操作，必须是明确有效的，不能含糊不清；

（3）所设计的算法必须在有限步后得到问题的结果，不能无限进行下去；

（4）设计的算法的步骤应当是最简练的，即最优算法．

3．算法与数学中的解法的联系和区别

（1）联系：

算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象

与具体的关系，算法的获取要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般方法解决．

算法是“傻瓜化”的，相对于某一类问题的算法，不能省略任何一个小步骤，不能忽略任何一种可能的情况，否则计算机都不能完成执行过程，而只要按照算法一步一步进行，这类问题都会得到解决．

加减乘除运算法则、多项式的运算法则以及我们学过的许多数学公式等都是算法．

（2）区别：

算法是解决某些问题所需要的程序和步骤的统称，也可以理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．

已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：

第一步，令A＝89，B＝96，C＝99.

第二步，计算总分S＝____①____.

第三步，计算平均分M＝____②____.

第四步，输出S和M.

【答案】　①A＋B＋C　②

[小组合作型]

算法的概念

（1）下列描述不能看作算法的是（　　）

A．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤

B．洗衣机的使用说明书

C．解方程2x2＋x－1＝0

D．利用公式S＝πr2计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42

（2）下列关于算法的说法：

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；

③算法执行后一定产生明确的结果．

其中正确的是（　　）

A．1个　　　B．2个　　　

C．3个　　　D．0个

【精彩点拨】　判断对算法的阐述是否正确，应当以算法的概念为标准，衡量各种阐述是否符合算法特点．

【尝试解答】　

（1）A，B，D都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而C只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．

（2）根据算法的特征可以知道，算法要有明确的开始与结束，每一步操作都必须是明确而有效的，必须在有限步内得到明确的结果，所以②③正确．而解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错误．

【答案】　

（1）C　

（2）B

1．算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想．

2．算法的特点有：

①有限性，②确定性，③顺序性和正确性，④不唯一性，⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点．

[再练一题]

1．下列叙述中，

①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；

②按顺序进行下列运算：

1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100；

③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到南京；

④3x>x＋1；

⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….

能称为算法的有________．

【解析】　根据算法的含义和特征：

①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x>x＋1不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．

【答案】　①②③

算法的设计

　设计一个算法，判断7是否为质数．

【精彩点拨】　依次用2～6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数．

【尝试解答】　第一步，用2除7，得到余数1，所以2不能整除7.

第二步，用3除7，得到余数1，所以3不能整除7.

第三步，用4除7，得到余数3，所以4不能整除7.

第四步，用5除7，得到余数2，所以5不能整除7.

第五步，用6除7，得到余数1，所以6不能整除7.

因此，7是质数．

设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：

（1）认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；

（2）借助有关变量或参数对算法加以表述；（3）将解决问题的过程划分为若干步骤；（4）用简练的语言将这个步骤表示出来.

[再练一题]

2．设计一个算法，判断35是否为质数．

【解】　第一步，用2除35，得到余数1，所以2不能整除35.

第二步，用3除35，得到余数2，所以3不能整除35.

第三步，用4除35，得到余数3，所以4不能整除35.

第四步，用5除35，得到余数0，所以5能整除35.

因此，35不是质数．

算法的应用

　设计算法，给定任一x的值，求y的值，其中y＝

【精彩点拨】　题目中的函数为分段函数，求函数值时，应对x进行分类讨论．判断给定的x的值与0的大小关系，再代入相应关系式求函数值．

【尝试解答】　第一步，输入x的值．

第二步，判断x是否大于零，若x>0，执行第三步；否则，执行第四步．

第三步，计算y＝x2＋1的值，转去执行第五步．

第四步，计算y＝2x－1的值．

第五步，输出y的值．

分段函数求函数值的算法要运用分类讨论思想进行设计，一定要对算法中可能遇到的情况考虑周全，满足与不满足都要有相应的步骤.

[再练一题]

3．已知y＝写出给定变量x的值，求函数值y的算法.

【解】　算法如下：

第一步，输入x的值．

第二步，若x＞0，则y＝－x＋1，然后执行第四步；否则执行第三步．

第三步，若x＝0，则y＝0；然后执行第四步，否则y＝x＋1.

第四步，输出y的值．

[探究共研型]

算法的概念与特征

探究1　是不是任何一个算法都有明确的结果？

【提示】　是．因为算法的步骤是明确的，有时可能需要大量重复的计算，但只要按部就班地去做，总能得到确定的结果．

探究2　书写算法时，能使用“……”、“同理”、“类似地”等词语吗？

【提示】　不能．书写算法时，要注意算法的确定性，步骤要清晰、明确，“……”、“同理”、“类似地”等所代表的部分是无法执行的．

探究3　一个具体问题的算法唯一吗？

【提示】　一个具体问题的算法不唯一．如解二元一次方程组的算法就有消元法、代入法两种．由于传统数学问题的解法不唯一，使得求解某一个问题的算法也不唯一．

探究4　写算法应该注意什么？

【提示】　算法就是解决问题的步骤，平时无论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言．

写算法应注意以下几点：

1．写出的算法，必须能解决一类问题（如：

判断一个整数n（n＞1）是否为质数；求任意一个方程的近似解；…），并且能够重复使用．

2．要使算法尽量简单、步骤尽量少．

3．要保证算法正确，且计算机能够执行，如：

让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的．

再如：

用自然语言描述求y＝－x2－2x＋3的最大值的算法．

一般同学会这样写：

第一步，配方得y＝－（x＋1）2＋4.

第二步，函数的最大值为4.

实际上，作为一个具体问题来说，上述解法没有什么错误，但是我们要描述的是求这一类问题的算法，它可以用来解决这个问题，也可以用来求这一类问题，则上述解法就欠妥了．应就y＝ax2＋bx＋c作一般讨论．

本题算法应该这样写：

第一步，给a，b，c赋值．

第二步，判断a≥0是否成立，若成立，则输出“函数无最大值”，结束算法；否则执行第三步．

第三步，计算，并将结果赋给max.

第四步，输出max，结束算法．（算法执行过程中，依次给a，b，c取值－1，－2,3）

1．下列关于算法的说法中正确的个数有（　　）

①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止；③x2－x＞2是一个算法；④算法执行后一定产生确定的结果；⑤对于像“喝一碗水”这类含有动作的语言能出现在算法的一个步骤中．

A．1个　　B．2个　　

C．3个　　D．4个

【解析】　因为x2－x＞2仅仅是一个数学问题，不能表达一个算法，所以③是错误的．依据算法的多样性（不唯一性）知①错误，由算法的有限性知②正确，由于算法具有可执行性，算法的每一步必须是计算机能执行的，所以⑤是错误的，正确的有②④.

【答案】　B

2．结合下面的算法：

第一步，输入x.

第二步，判断x是否小于0.若是，则输出x＋2，否则执行第三步．

第三步，输出x－1.

当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为（　　）

A．－1,0,1B．－1,1,0

C．1，－1,0D．0，－1,1

【解析】　根据x值与0的关系，选择执行不同的步骤．当x＝－1时，输出x＋2，即输出1；当x＝0时，输出x－1，即输出－1；当x＝1时，输出x－1，即输出0.

【答案】　C

3．输入一个x值，利用y＝|x＋1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：

第一步，输入x；

第二步，________；

第三步，计算y＝－x－1；

第四步，输出y.

【解析】　含绝对值的函数的函数值的算法要注意分类讨论思想的应用，本题中当x≥－1时y＝x＋1；当x＜－1时y＝－x－1，由此可完善算法．

【答案】　当x≥－1时，计算y＝x＋1，否则执行第三步

4．已知长方体