优化方案高考总复习文科数学学案及练习选修4Word文档下载推荐.docx

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（2）（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2.

（3）＋≥.

（此不等式通常称为平面三角不等式）

会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：

会用向量递归方法讨论排序不等式.

第1讲　绝对值不等式

1．绝对值三角不等式

定理1：

如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

定理2：

如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当（a－b）（b－c）≥0时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

（1）含绝对值的不等式|x|<

a与|x|>

a的解集

不等式

a>

a＝0

a<

|x|<

a

{x|－a<

x<

a}

∅

|x|>

{x|x>

a或x<

－a}

{x|x∈R且x≠0}

R

（2）|ax＋b|≤c（c>

0）和|ax＋b|≥c（c>

0）型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）若|x|>

c的解集为R，则c≤0.（　　）

（2）不等式|x－1|＋|x＋2|<

2的解集为∅.（　　）

（3）对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．（　　）

答案：

（1）×

（2）√　（3）√

解不等式：

|x－2|＋|x＋3|>

7.

解：

因为|x－2|＋|x＋3|

＝

所以原不等式可化为

或或

解上述不等式组得所求不等式的解集为{x|x<

－4或x>

3}．

求函数y＝|x＋3|－|x－1|的最大值．

因为y＝|x＋3|－|x－1|≤|（x＋3）－（x－1）|＝4，所以函数y＝|x＋3|－|x－1|的最大值为4.

　　　　　　含绝对值不等式的解法（师生共研）

（2019·

沈阳质量检测

（一））已知函数f（x）＝|x－a|＋3x，其中a∈R.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x＋|2x＋1|的解集；

（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．

【解】　

（1）当a＝1时，f（x）＝|x－1|＋3x，

由f（x）≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，

当x>

1时，x－1－（2x＋1）≥0，得x≤－2，无解；

当－≤x≤1时，1－x－（2x＋1）≥0，得－≤x≤0；

当x<

－时，1－x－（－2x－1）≥0，得－2≤x<

－.

所以不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．

（2）由|x－a|＋3x≤0，可得或

即或

当a>

0时，不等式的解集为{x|x≤－}．

由－＝－1，得a＝2.

当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．

当a<

0时，不等式的解集为.

由＝－1，得a＝－4.

综上，a＝2或a＝－4.

含绝对值不等式解法的常用方法

1．（2018·

高考全国卷Ⅱ）设函数f（x）＝5－|x＋a|－|x－2|.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．

（1）当a＝1时，

f（x）＝

可得f（x）≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．

（2）f（x）≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.

而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f（x）≤1等价于|a＋2|≥4.

由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是（－∞，－6]∪[2，＋∞）．

2．已知函数f（x）＝|x＋1|－|2x－3|.

（1）画出y＝f（x）的图象；

（2）求不等式|f（x）|＞1的解集．

（1）f（x）＝

y＝f（x）的图象如图所示．

（2）由f（x）的表达式及图象知，当f（x）＝1时，可得x＝1或x＝3；

当f（x）＝－1时，可得x＝或x＝5.

故f（x）＞1的解集为{x|1＜x＜3}；

f（x）＜－1的解集为.

所以|f（x）|＞1的解集为.

绝对值不等式性质的应用（师生共研）

设不等式|x－2|<

a（a∈N*）的解集为A，且∈A，∉A.

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．

【解】　

（1）因为∈A，且∉A，

所以<

a，且≥a，解得<

a≤，

又因为a∈N*，所以a＝1.

（2）因为f（x）＝|x＋1|＋|x－2|≥|（x＋1）－（x－2）|＝3.

当且仅当（x＋1）（x－2）≤0即－1≤x≤2时取到等号，

所以f（x）的最小值为3.

两数和与差的绝对值不等式的性质

（1）对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±

b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．

（2）该定理可强化为||a|－|b||≤|a±

b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．　

（2019·

湖北省五校联考）已知函数f（x）＝|2x－1|，x∈R.

（1）解不等式f（x）<

|x|＋1；

（2）若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：

f（x）<

1.

（1）因为f（x）<

|x|＋1，所以|2x－1|<

|x|＋1，

即或或

得≤x<

2或0<

或无解．

故不等式f（x）<

|x|＋1的解集为{x|0<

2}．

（2）证明：

f（x）＝|2x－1|＝|2（x－y－1）＋（2y＋1）|≤|2（x－y－1）|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×

＋＝<

　　　　　　绝对值不等式的综合应用（师生共研）

（2018·

高考全国卷Ⅰ）已知f（x）＝|x＋1|－|ax－1|.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；

（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．

【解】　

（1）当a＝1时，f（x）＝|x＋1|－|x－1|，即f（x）＝故不等式f（x）>

1的解集为{x|x>

}．

（2）当x∈（0，1）时|x＋1|－|ax－1|>

x成立等价于当x∈（0，1）时|ax－1|<

1成立．

若a≤0，则当x∈（0，1）时|ax－1|≥1；

若a>

0，|ax－1|<

1的解集为0<

，所以≥1，故0<

a≤2.

综上，a的取值范围为（0，2]．

（1）研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．

（2）对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．　

福建市第一学期高三期末考试）设函数f（x）＝|x－1|，x∈R.

（1）求不等式f（x）≤3－f（x－1）的解集；

（2）已知关于x的不等式f（x）≤f（x＋1）－|x－a|的解集为M，若⊆M，求实数a的取值范围．

（1）因为f（x）≤3－f（x－1），所以|x－1|≤3－|x－2|⇔|x－1|＋|x－2|≤3⇔或或

解得0≤x<

1或1≤x≤2或2<

x≤3，

所以0≤x≤3，

故不等式f（x）≤3－f（x－1）的解集为[0，3]．

（2）因为⊆M，

所以当x∈时，f（x）≤f（x＋1）－|x－a|恒成立，

而f（x）≤f（x＋1）－|x－a|⇔|x－1|－|x|＋|x－a|≤0⇔|x－a|≤|x|－|x－1|，

因为x∈，所以|x－a|≤1，即x－1≤a≤x＋1，

由题意，知x－1≤a≤x＋1对于任意的x∈恒成立，

所以≤a≤2，故实数a的取值范围为.

[基础题组练]

1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．

（1）求m＋n的值；

（2）若|x－a|<

m，求证：

|a|＋1.

（1）不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，解得1≤x≤2，所以m＝1，n＝2，m＋n＝3.

若|x－a|<

1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|<

|a|＋1.即|x|<

2．已知函数f（x）＝|x－2|－|x－5|.

（1）证明：

－3≤f（x）≤3；

（2）求不等式f（x）≥x2－8x＋15的解集．

f（x）＝|x－2|－|x－5|

当2<

5时，－3<

2x－7<

3，

所以－3≤f（x）≤3.

（2）由

（1）可知，

当x≤2时，f（x）≥x2－8x＋15的解集为空集；

5时，f（x）≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x<

5}；

当x≥5时，f（x）≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．

综上，不等式f（x）≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．

3．（2019·

湖北荆州一模）已知函数f（x）＝|x－a|，不等式f（x）≤3的解集为[－6，0]．

（1）求实数a的值；

（2）若f（x）＋f（x＋5）≥2m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

（1）由f（x）≤3，得|x－a|≤3，

因为a－3≤x≤a＋3，又f（x）≤3的解集为[－6，0]，

所以a＝－3.

（2）因为f（x）＋f（x＋5）＝|x＋3|＋|x＋8|≥|x＋3－（x＋8）|＝5，

又f（x）＋f（x＋5）≥2m对一切实数x恒成立，

所以2m≤5，即m≤.

4．（2018·

高考全国卷Ⅲ）设函数f（x）＝|2x＋1|＋|x－1|.

（2）当x∈[0，＋∞）时，f（x）≤ax＋b，求a＋b的最小值．

（2）由

（1）知，y＝f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f（x）≤ax＋b在[0，＋∞）上成立，因此a＋b的最小值为5.

[综合题组练]

1．（2019·

湖南岳阳模拟）已知函数f（x）＝|2x＋2|－|2x－2|，x∈R.

（1）求不等式f（x）≤3的解集；

（2）若方程＋a＝x有三个实数根，求实数a的取值范围．

（1）原不等式等价于或或解得x≤，

所以不等式f（x）≤3的解集为.

（2）方程＋a＝x可变形为a＝x＋|x－1|－|x＋1|，

令h（x）＝x＋|x－1|－|x＋1|＝

作出函数h（x）的图象如图，

于是由题意可得－1<

2．设函数f（x）＝|2x＋3|＋|x－1|.

（1）解不等式f（x）>

4；

（2）若存在x0∈使不等式a＋1>

f（x0）成立，求实数a的取值范围．

（1）由题意得f（x）＝

则f（x）>

4⇔或或⇔x<

－2或0<

x≤1或x>

所以不等式f（x）>

4的解集为（－∞，－2）∪（0，＋∞）．

（2）存在x0∈使不等式a＋1>

f（x0）成立⇔a＋1>

f（