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1、二次函数第1章 二次函数1.1 二次函数【知识与技能】 1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.【过程与方法】经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.【情感态度】体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识.【教学重点】二次函数的概念.【教学难点】在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.一、情境导入，初步认识1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S(m2）与相邻于围墙

2、面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x,(0x50)；电脑价格y（元）与平均降价率x的关系式是y=6000x2-12000x+6000,(0x1).它们有什么共同点?一般形式是y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a0)这样的函数可以叫做什么函数?二次函数.2.对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢?有.二、思考探究，获取新知二次函数的概念及一般形式在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.注意:

3、二次函数中二次项系数不能为0.在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出.三、典例精析，掌握新知例1 指出下列函数中哪些是二次函数.(1)y=(x-3)2-x2 ；(2)y=2x(x-1)；(3)y=32x-1；(4)y=；(5)y=5-x2+x.【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析.解:(2)(5)是二次函数,其余不是.【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路:1.将函数化为一般形式.2.自变量的最高次数是2次.3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0.例2 讲解教材P3例题.【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围.例3 已知函数y=(m2

4、-m)x2+mx+(m+1)(m是常数），当m为何值时:(1)函数是一次函数;(2)函数是二次函数.【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零,列出相应方程或不等式.解:(1)由 得 ,m=1.即当m=1时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是一次函数.(2)由m2-m0得m0且m1,当m0且m1时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数.【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二次函数的一些实际应用中的二次函数解析式.四、运用新知，深化理解1.下列函数中是二次函数的是（ ）A. B.y=3x3+2x2 C.y=(x-2)2-

5、x3 D. 2.二次函数y=2x(x-1)的一次项系数是（ ）A.1 B.-1 C.2 D.-23.若函数 是二次函数，则k的值为（ ）A.0 B.0或3 C.3 D.不确定4.若y=(a+2)x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是 .5.已知二次函数y=1-3x+5x2,则二次项系数a= ,一次项系数b= ,常数项c= .6.某校九（1）班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式 ，它 （填“是”或“不是”）二次函数.7.如图,在边长为5的正方形中,挖去一个半径为x的圆（圆心与正方形的中心重合），剩余部分的面积为y.(1)求y关于x的函数关

6、系式；（2）试求自变量x的取值范围；（3）求当圆的半径为2时，剩余部分的面积（取3.14，结果精确到十分位）.【答案】1.D 2.D 3.A 4.a-2 5.5,-3,1 6. 是7.（1）y=25-x2=-x2+25.(2)0x52.(3)当x=2时，y=-4+25-43.14+25=12.4412.4.即剩余部分的面积约为12.4.【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，待学生完成上述作业后，教师指导.五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数的有关概念.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言,进行知识

7、提炼和知识归纳.1.教材P4第13题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从生活实际中引出二次函数模型,从而得出二次函数的定义及一般形式,会写简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活实际之中.1.2 二次函数的图象与性质第1课时 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a0)的图象和性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研

8、究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a0)的图象. 2.理解,掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步认识问题1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】 略；列表、描点、连线.二、思考探究，获取新知探究1 画二次函数y=ax2(a0)的图象.画二次函数y=ax2

9、的图象.【教学说明】要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征.强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.如图(1)就是y=x2的图象的错误画法.误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形.如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x2的图象的错误画法.误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的y=x2图象的错误

10、画法.探究2 y=ax2(a0)图象的性质在同一坐标系中，画出y=x2, ,y=2x2的图象.【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数y=ax2(a0)的图象和性质.【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y随x的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调.y=ax2(a0)图象的性质1.图象开口向上.2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最低点.3.当x0时，y随x的增大而增大，简称右升；当x0时，y随x的增大而减小，简称左降.三、典例精析，掌握新知例 已知

11、函数是关于x的二次函数.(1)求k的值.(2)k为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x在哪个范围内取值时，y随x的增大而增大？【分析】此题是考查二次函数y=ax2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k的方程，进而求出k的值，然后根据k+20，求出k的取值范围，最后由y随x的增大而增大，求出x的取值范围.解:(1)由已知得 ,解得k=2或k=-3.所以当k=2或k=-3时，函数是关于x的二次函数.(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+20.由（1）知k=2，最低点是（0,0),当x0时，y随x的增大而增大.四、运用新知，深化理解1.（广东广州中考）下列函数中

12、，当x0时，y值随x值增大而减小的是（ ）A.y=x2 B.y=x-1 C. D.y= 2.已知点（-1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=x2的图象上，则（ ）A.y1y2y3 B.y1y3y2 C.y3y2y1 D.y2y1y33.抛物线y=x2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ,当x0时，y随x的增大而 ；当x0时，y随x的增大而 .4.如图，抛物线y=ax2上的点B，C与x轴上的点A（-5，0），D（3，0）构成平行四边形ABCD，BC与y轴交于点E（0，6），求常数a的值.【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当

13、学生疑惑时，教师及时指导.【答案】1.D 2.A 3.上,(0,0),y轴， ，3,减小，增大4.解：依题意得：BC=AD=8，BCx轴，且抛物线y=ax2上的点B，C关于y轴对称，又BC与y轴交于点E（0，6），B点为（-4，6），C点为（4，6），将（4，6）代入y=ax2得：a=.五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数y=ax2(a0)图象的画法及其性质.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.1.教材P7第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从学生画y=x2的图象，从而掌握二次函数y=ax2(a0)图象的画法，再由图象观察、探究二次

14、函数y=ax2(a0)的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.第2课时 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a0)的图象与性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性.【教学重点】会画y=ax2(a0)的

15、图象；理解、掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.一、情境导入，初步认识1.在坐标系中画出y= x2的图象，结合y= x2的图象，谈谈二次函数y=ax2(a0)的图象具有哪些性质？2.你能画出y=- x2的图象吗？二、思考探究，获取新知探究1 画y=ax2(a0)的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=- x2的图象.【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学.问:从所画出的图象进行观察,y= x2与y=- x2有何关系？归纳：y= x2与y=- x2二者图象形状完全相

16、同，只是开口方向不同，两图象关于y轴对称.(教师引导学生从理论上进行证明这一结论)探究2 二次函数y=ax2(a0)性质问：你能结合y=- x2的图象，归纳出y=ax2(a0)图象的性质吗？【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y随x的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调y=ax2(a0)图象的性质.1.开口向下.2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最高点.3.当x0时，y随x的增大而减小，简称右降，当x0时，y随x的增大而增大，简称左升.探究3 二次函数y=ax2(a0)的图象及性质学生回答：【教学点评】一般地，抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 ，当a0时抛物线

17、的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a越大，抛物线开口越 ；当a0时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a越大，抛物线开口越 ，总之，|a|越大，抛物线开口越 .答案:y轴，（0，0），上，低，小，下，高，大，小三、典例精析，掌握新知例1 填空：函数y=(-x)2的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向是 .函数y=x2,y=x2和y=-2x2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式.解:抛物线，（0，0），y轴，向上；根据抛物线y=ax2中,a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=x2,中间为y=x2,在x轴下方的为y=-2x2.【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解

18、答，避免发生错误.抛物线y=ax2中，当a0时，开口向上；当a0时，开口向下，|a|越大，开口越小.例2 已知抛物线y=ax2经过点（1，-1），求y=-4时x的值.【分析】把点(1,-1)的坐标代入y=ax2,求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值.解:点（1，-1）在抛物线y=ax2上，-1=a12，a=-1,抛物线为y=-x2.当y=-4时，有-4=-x2，x=2.【教学说明】在求y=ax2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值.四、运用新知，深化理解1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（ ）A.抛物线y=x2和y=-x

19、2有共同的顶点和对称轴B.抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称C.抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反D.点（-2，4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上2.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a0)在同一坐标系中的图象大致是（ ）3.二次函数,当x0时，y随x的增大而减小，则m= .4.已知点A（-1，y1),B(1,y2),C(a,y3)都在函数y=x2的图象上，且a1,则y1,y2,y3中最大的是 .5.已知函数y=ax2经过点(1,2).求a的值；当x0时，y的值随x值的增大而变化的情况.【教学说明】学生自主完成,加深对新知的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.【

20、答案】1.D 2.B 3.2 4.y3 5.a=2 当x0时，y随x的增大而减小五、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评：（1）y=ax2(a0)图象的性质；（2）y=ax2(a0)关系式的确定方法.1.教材P10第12题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课仍然是从学生画图象,结合上节课y=ax2(a0)的图象和性质，从而得出y=ax2(a0)的图象和性质，进而得出y=ax2（a0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯.时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质【知识与技能】1.能够画出y=a(x-h)2的图象，并能够理解它与y

21、=ax2的图象的关系，理解a,h对二次函数图象的影响.2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】经历探索二次函数y=a(x-h)2的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想.【情感态度】1.在小组活动中体会合作与交流的重要性.2.进一步丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,初步形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】掌握y=a(x-h)2的图象及性质.【教学难点】理解y=a(x-h)2与y=ax2图象之间的位置关系，理解a,h对二次函数图象的影响.一、情境导入，初步认识1.在同一坐标系中画出y=x2与y= (x-1)2的图象

22、，完成下表.2.二次函数y= (x-1)2的图象与y=x2的图象有什么关系？3.对于二次函数 (x-1)2,当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?二、思考探究，获取新知归纳二次函数y=a(x-h)2的图象与性质并完成下表. 三、典例精析，掌握新知例1 教材P12例3.【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”. 例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2,y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象.例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合.水平移

23、后的抛物线l的解析式；若点B（x1,y1),C(x2,y2)在抛物线l上，且-x1x2，试比较y1,y2的大小.解:y=x+1,令y=0，则x=-1,A（-1,0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2.由可知，抛物线l的对称轴为x=-1,a=-20,当x-1时，y随x的增大而减小，又-x1x2,y1y2.【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点.四、运用新知，深化理解1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（ ）A.-1 B.1 C.0 D.没有最小值2.抛物线y=-3(x

24、+1)2不经过的象限是（ ）A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第三、四象限 D.第二、三象限3.在反比例函数y= 中，当x0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是（ ）4.（1）抛物线y=x2向 平移 个单位得抛物线y=(x+1)2;(2)抛物线 向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2.5.（广东广州中考）已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2,且过点（1，-3）.(1)求抛物线的解析式;(2)画出函数的大致图象;(3)从图象上观察,当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑.【

25、答案】1.C 2.A 3.B 4.(1)左,1 (2)y=-2x25.解：(1)y=-(x+2)2 (2)略 （3）当x-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0.五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上,教师点评:(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系.1.教材P12第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a,h对y=a(x-h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，

26、h决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想.第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象.掌握y=a(x-h)2+k的图象和性质.2.掌握y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的位置关系.3.理解y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2,y=ax2+k及y=ax2的图象之间的平移转化.【过程与方法】经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力.【情感态度】1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性.2.体验数学活动中充满着探索性,感受通过认识

27、观察,归纳,类比可以获得数学猜想的乐趣.【教学重点】二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质.【教学难点】由二次函数y=a(x-h)2+k的图象的轴对称性列表、描点、连线.一、情境导入，初步认识复习回顾:同学们回顾一下:y=ax2,y=a(x-h)2,（a0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y随x的增减性分别是什么？如何由y=ax2(a0)的图象平移得到y=a(x-h)2的图象？猜想二次函数y=a(x-h)2+k的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？二、思考探究，获取新知探究1 y=a(x-h)2+k的图象和性质1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题

28、：y=-(x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？将抛物线y=-x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线y=-(x+1)2-1.2.同学们讨论回答：一般地，当h0,k0时，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，再向上平移k个单位得抛物线y=a(x-h)2+k;平移的方向和距离由h,k的值来决定.抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？探究2 二次函数y=a(x-h)2+k的应用【教学说明】二次函数y=a(x-h)2+k的图象是，对称轴是，顶点坐标是，当a0时，开口向，当a0时，开口向.答案：抛物线，直线x=h,(h,k),

29、上，下三、典例精析，掌握新知例1 已知抛物线y=a(x-h)2+k,将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=-3(x+1)2-4,求原抛物线的解析式. 【分析】平移过程中,前后抛物线的形状,大小不变,所以a=-3,平移时应抓住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式. 解:抛物线y=-3(x+1)2-4的顶点坐标为（-1,-4),它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（-4，-2).故原抛物线的解析式为y=-3(x+4)2-2.【教学说明】抛物线平移不改

30、变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：顶点的变化.例2 如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图，发射台OA的高度为2m，火炬的高度为12m,距发射台OA的水平距离为20m,在A处的发射装置向目标C发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为抛物线形，当火球运动到距地面最大高度20m时，相应的水平距离为12m.请你判断该火球能否点燃目标C？并说明理由.【分析】建立适当直角坐标系,构建二次函数解析式,然后分析判断.解:该火球能点燃目标.如图,以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，则点（12，20）为抛物线顶点，设解析式为y=a(x-12)2+20,点（0，2）在图象上，144a+20=2,a=- ,y=- (x-12)2+20.当x=20时，y=-(20-12)2+20=12,即抛物线过点（20,12),该火球能点燃目标.【教学说明】二次函数y=a(x-h)2+k的应用关键是构造出二次函数模型.四、运用新知，深化理解1.若抛物线y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x2,则必须（ ）