线面面面垂直的判定与性质B重点.docx

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线面面面垂直的判定与性质B重点

线面、面面垂直的判定与性质（B）（重点）

适用学科

高中数学

适用年级

高中三年级

适用区域

全国新课标

课时时长（分钟）

60

知识点

1.直线和平面垂直的定义2.直线和平面垂直的判定定理

3.直线和平面垂直的性质定理

教学目标

从熟知的生活事物中抽象概括线面垂直的定义和判定定理，并用数学语言表述；通过操作确认线面垂直的判定定理，培养学生的空间观念

教学重点

让学生抽象概括线面垂直的定义和判定定理

教学难点

操作确认线面垂直的判定定理及其应用。

教学过程

一.课程导入：

思考:

如图我们可以发现相对于国旗杆和路灯都是一个单体,而路面就在我们数学中相当于一个平面,那么这个单体和路面是什么关系呢?

他们又有什么样的定义和性质呢

二、复习预习

1．垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，所以是高考的热点，是复习的重点．纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，所以复习要抓好三基：

基础知识，基本方法，基本能力．

2．要重视和研究数学思想、数学方法．在本讲中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口．

三、知识讲解

考点1、直线与平面垂直

（1）判定直线和平面垂直的方法

①定义法．

②利用判定定理：

如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．

③推论：

如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．

（2）直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．

②垂直于同一个平面的两条直线平行．

③垂直于同一直线的两平面平行．

考点2、斜线和平面所成的角

斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．

考点3、平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直的判定方法

①定义法

②利用判定定理：

如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．

（2）平面与平面垂直的性质

如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

四、例题精析

考点一线面位置关系的判定

【例题1】

【题干】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m

C．若l∥α，l∥m，则m∥α

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

【答案】B

【解析】直线垂直于平面中两条相交直线，才能垂直于平面，故A错；C中m可能包含在平面α中；D中两条直线可能平行、相交或异面．

考点二线面垂直的判定与性质

【例题2】

【题干】

如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.

（1）求证：

BC⊥平面PAC.

（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值．

【答案】见解析

【解析】

（1）证明　∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又AC∩PA＝A，

∴BC⊥平面PAC.

（2）解　∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE＝

BC.

又由

（1）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB.

又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形．

∴AD＝

AB.

在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝

AB.

∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝

＝

＝

.

∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为

.

考点三面面垂直的判定与性质

【例题3】

【题干】

如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：

（1）DE＝DA；

（2）平面BDM⊥平面ECA.

【答案】见解析

【解析】

（1）如图所示，取EC中点F，连接DF.

∵EC⊥平面ABC，BD∥EC，

∴BD⊥平面ABC，∴BD⊥AB，

∵BD∥EC，BD＝

EC＝FC，∴EC⊥BC.

∴四边形FCBD是矩形，∴DF⊥EC.

又BA＝BC＝DF，

∴Rt△DEF

Rt△ADB，∴DE＝DA.

（2）如图所示，取AC中点N，连接MN、NB，

∵M是EA的中点，∴MN//

EC.

由BD//

EC，且BD⊥平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DM⊥MN.

∵DE＝DA，M是EA的中点，∴DM⊥EA.

又EA∩MN＝M，∴DM⊥平面ECA，

而DM⊂平面BDM，∴平面ECA⊥平面BDM.

考点四射影、体积、点面距离问题

【例题4】

【题干】若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（　　）

A.

B．1C.

D.

【答案】D

【解析】依题可知∠B1AB＝60°，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1B1C1D1，

∴B1B即为所求距离，在△ABB1中得，B1B＝

.故选D.

课后评价