国赛数学建模论文嫦娥三号.docx
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国赛数学建模论文嫦娥三号
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
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日期：
2014年
9月15
日
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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘要
采用软轨道方式使探测器相对于月球的速度小，能够使探测器安全着月，嫦娥三号
软轨道的设计关键考虑探测器安全着陆在相对平坦的区域和燃料的节省。
本文主要解决以下三个问题：
针对问题一，假设嫦娥三号着陆过程为类平抛运动。
依据嫦娥三号的着陆准备轨道、
着月点、月心在同一平面上的原理，利用万有引力提供向心力公式
M1M2V2
，计算求得嫦娥三号在近月点的速度为1.6725km/s，远月点速度GM22Rh1Rh1
为1.633km/s。
以近月点在月球赤道面的投影为原点建立空间直角坐标
系，运用空间几何与勾股定理建立等量关系，勾勒出月球表面三维坐标图，测得轨道面
（45.01N，15000），与赤道面的夹角arcsin0.8839，进而确定近月点的位置为21.82W，方向
在月心空间极坐标系中表示为（sin,cos,0），嫦娥三号在远月点的位置、方向是
（（158.62E，25.08S，100000），sin,cos,0）。
针对问题二，首先分析六个阶段，主要分析主减速阶段、粗避障和精避障三个阶段；
对主减速轨道主要考虑以燃料为主，根据牛顿第二定律，列出嫦娥三号运动方程式为
1
a竖1/m）-g（km
6，建立非线性规划模型，确定最优轨道；并且使性能指标
1T
J（xQxuTru）dt极小。
对粗避障和精避障阶段通过分析照片，利用程序建立三维
20
图形，模拟月球待选降落区域，利用C语言对高度相对平坦区域的数据进行了处理，即
对高度的方差分析，选择相对平坦区域；对精避障阶段增加分析指标，准确确定降落区
域，在缓慢下降阶段，开启发动机，降速。
为解决问题三奠定了基础。
针对问题三，主要考虑位置误差、速度误差、轨道根数误差，根据轨道和轨道的位
置以及探测器速度的大小，建立月心坐标系和探测器非惯性坐标系采用开普勒根数进行
误差分析。
关键词：
近月制动非惯性坐标系开普勒根数
1
一、问题重述
嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥
三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生
1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，
可以满足调整速度的控制要求。
在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的
推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。
嫦娥三号
的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键
问题是着陆轨道与控制策略的设计。
其着陆轨道设计的基本要求：
着陆准备轨道为近月
点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共
分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消
耗。
让我们建立数学模型来解决以下问题：
问题一：
确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方
向。
问题二：
确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
问题三：
针对上述确定的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
二、问题分析
嫦娥工程是我国探月工程的开始，嫦娥工程分为“绕、落、回”三个阶段。
第一阶段建立了我国月球探测航天工程初步系统。
在此阶段我国成功实施了嫦娥一
号探测工程。
第二阶段目标研制和发射月球探测器，用软着陆的方式降落在月球上进行探测。
为
以后建立月球基地的选址提供月面的化学和物理参数。
第三阶段目标是月面巡视勘察与采样返回。
采集关键性样品返回地球，对着陆区进
行考察，为下一步载人登月探测准备，为建立月球哨站的选址提供数据资料。
嫦娥三号是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，嫦娥三号探测器在绕星体运动的时候
受到向心力的作用，此时的椭圆轨道一定是和月球的球心在同一平面上，也就是说探测
器沿椭圆轨道绕月球球心运动。
嫦娥三号在着陆准备轨道的近月点脱离轨道被月球捕
获，采用近月制动，保证探测器安全着月。
在探测器的着陆过程中，探测器做曲线运动，
我们假设这个曲线运动为水平方向的匀减速和竖直方向的匀加速的类平抛运动。
由材料
二着陆过程中的快速调整阶段调整探测器姿态使探测器只沿竖直方向运动。
在沿竖直方
向运动的过程中，探测器进行拍照，探测器运用程序对照片分析，根据分析结果平移选
择合适降落位置。
2.1问题一的分析
确定近月点的位置，根据物理学知识，假设着陆过程为类平抛运动，竖直和水平方
向做匀变速运动，进行运动分析，确定近月点和着月点的水平距离，用空间天体运动公
2
式计算出来速度大小，远月点的位置和速度大小用同样的方法计算出来，方向是和近月
点的相反。
2.2问题二的分析
六个阶段的降落过程中，主减速阶段将接近1.7km/s的速度减到60m/s左右，必须
要产生尽可能大的阻力，是最消耗燃料的一个阶段。
快速调整阶段是调整探测器姿态使
其在以后的过程朝竖直方向下降。
粗避障利用光敏感成像技术分析月面地形；来判断降
落的大致位置，调整发动机来粗步避开大陨坑。
依据附件三有选择的选取地表数字高程
图进行分析。
细避障阶段要求嫦娥三号悬停在距离月面100处，据附件四的三维数字高
程图并分析，需要避开较大的陨石，并确定最佳着陆地点。
2.3问题三的分析
对问题三研究的意义的分析
对于问题三：
根据轨道和轨道的位置以及探测器速度的大小，建立月心坐标系和探测器非惯性坐
标系采用开普勒根数进行误差分析。
三、模型的基本假设
1、假设不考虑月球的自转和公转
2、假设地球对探测器没有吸引力
3、假设我们搜集的数据合理有效
四、符号说明
F：
探测器绕月球飞行向心力
FFG：
探测器在月球上空的重力
G：
月球上的万有引力系数
R:
月球平均半径
h1,h2:
近月点、远月点离月球表面的距离
M1:
月球质量
s：
近月点与着月点的水平距离
V:
探测器在近、远月点的速度
M2:
探测器质量
V0,Vt:
主减速段近月点水平方向的初始和末速度
s2：
方差
V0,Vt:
主减速段近月点竖直方向的初始和末速度
m1：
燃料消耗变化率
a1,a2:
分别是竖直和水平方向上的加速度大小
注：
部分符号见模型建力和求解过程
五、模型的建立与求解
5.1问题一的模型建立与求解：
嫦娥三号着月是从椭圆轨道做类平抛运动。
探测器做着月准备工作时一直沿椭圆轨
道，由物理学中天体运动知识，探测器在绕星体运动的时候受到向心力的作用，此时的
椭圆轨道一定是和月球的球心在同一平面上，也就是说探测器沿椭圆轨道绕月球球心运
3
v2
动。
探测器在近月点开始着月，在探测器在椭圆上运动时受到向心力Fm的作用，
r
在近月点,重力刚好提供向心力FFG，如果速度V增大，向心力变大，即FFG,探测
器脱离椭圆轨道，反之，速度V变小，向心力FFG，探测器被星体捕获。
近月点速度大小计算：
根据万有引力提供向心力得
M1M2V2
GM2
（1）
2Rh1Rh1
V1.6725km/s
M1M2V2
远月点速度大小计算：
同上式得GM22Rh2Rh2
（2）
V1.633km/s
合速度的分解与合力的分解对应比例相等。
竖直方向和水平方向的速度比等于竖直方向
距离和水方向距离的比假设探，测器在着陆的过程中做类平抛运动模型，水平方向上做
匀减速运动，竖直方向做匀加速运动，如图1：
类平抛运动图
在水平方向上，v01672.5m/s,vt0
在竖直方向上，v'00,v't57m/s
竖直和水平方向上的加速度大小分别为a1，a2
4
1/2a1t2a1tv'0v't
对运动过程中分析得：
tan
1/2a2t2a2tvtv0
得tan
（3）
57
1672.5
h12600
tan1
ss
（4）
5712600
s369.71km
1672.5s
所以，近月点在月球上的投影与着月点距离为369.71km
方向的判定：
R以近月点在月球赤道面的投影为原点建立空间直角坐标系，在月球赤道面上，AOB
为月球半径，再根据经纬度和距离的换算,AC2171.84km,运用空间几何与勾股定理
建立等量关系，求出OBCarcsin0.8839,即为轨道面以赤道面的夹角如图2
（3）式和（4）式相等
模拟月球表面三维坐标图
由于椭圆轨道和月球的球心在同一平面上，同时抛物曲线在这个平面内，在近月点速度
方向和空间中月球赤道面平行，轨道面和赤道面相交的直线OB与速度平行。
建立空间
直角坐标系如图3
模拟平面图
5
在抛物运动曲线阶段，水平距离为s369.71km，近月点到月球圆心的距离为
1752.013km,着月点的位置是19.51W,44.12N,所以就能确定近月点的位置，使用
（45.01N，15000），DESKPOR软件将远月点的位置转化为空间位置21.82W，方向在月心空间
极坐标系中表示是（sin,cos,0）。
根据地心对称点是以地心为对称轴的点和地心对称点的特点：
经度对称、纬度也对
称。
地心对称点的经度是西经度对称东经度，W对称E；经度数的和180°，即经度数互
补。
地心对称点的纬度是北纬度对称南纬度，N对称S；纬度数相同。
远月点的空间位
（158.62E，25.08S，100000），置为方向为（sin,cos,0）
在主减速阶段总耗时442.102s.
6.2问题二的模型建立与求解：
如图4：
以近月点在月球表面的的投影为坐标原点建立空间直角坐标系
模拟飞行轨道图
第一阶段：
着陆准备阶段
六个阶段的降落过程中，主减速阶段将接近1.7km/s的速度减到60m/s左右，必须
要产生尽可能大的阻力，是最消耗燃料的一个阶段。
我们通过机械能守恒定律可以求出
此区间所需的最低能量。
此过程路程由15km降落到3km，共下降12km。
速度由
1672.5m/s减速到57m/s,速度变化为1615.5m/s。
由运动学公式V2V022as，代入
计算得a116.42m/s2，嫦娥三号的总质量m3700kg，嫦娥三号所带燃料的质量
1
m1300kg，开始降落的总机械能为Wm嫦g月hmv25.2109J，这些机械能将为
2
下面几个阶段减速降落做准备。
第二阶段：
主减速阶段
采用非线性变结构控制与状态反馈相结合的控制方法。
以竖直方向的控制为例，假
设登月探测器的质量为m（包括燃料），燃料燃烧后喷出气体相对于探测器的速度为
6
0m1M（M0）
v1，则喷气发动机产生的推力为km（m1为燃料消耗变化率）受不等式，
1
km/m
的约束，产生的加速度为1
V
设h为登月探测器离地球的表面高度，则登月探测器竖直运动的速度为竖，加速度为
1a竖
，月球重力加速度为g
6
根据牛顿第二定律，列出嫦娥三号运动方程式为：
1
a竖1/m）-g（km
6（5）
xh
根据运动学方程构建空间表达式，一竖直方向向上为正方向，选取状态变量为1，
x2v竖，x3a竖，并设x4a1x2a2x2a3x3u，则系统状态方程为
x1a1
x0
2
x30
0
a2
0
0x10
0x20u
a3x31
（6）
x（0）0,x2（0）v竖0）0（
其中初始状态为1，m（0）0；探测器的终端状态为
x1（tf）x（tf）0;x2（tf）v竖（tf）0;x3（tf）0
。
根据方案确定找出最优u（t），使探测器着
路到最适宜的位置。
使探测器从初始状态x1（0）x10,x2（0）x20,x3（0）x30转移到终态
x1（tf）h,x2（tf）0,x3（tf）0
控制幅度u（t）需要在系统偏离工作点状态的正负绝对值大小的范围内取值，即
xiu（t）xi，并且使性能指标J
1TT
0（xQxuru）dt极小，其
2
中三
阶方针的任意元素都大于零。
根据性能指标，控制系统对应的哈米尔登函数为
11
（7）HxTQxuTRu（Axbu）
22
根据最优控制的极小值原理可知
11
HminxTQxuTRuT（Axbu）
uU22
11
（8）xTQxTAxmin（ur1bT）TR（ur1bT）
xiu（t）xi22
xi,r1bTxi
1T
当urb,bTPxxi时，达到最优控制
T
xi,bPxxi
根据最优控制理论的相关知识可知
mm（t0）expk1
t
t0
（a1x1a2x2a3x3（（xi）sgn（bTPx））dt）其中P为矩阵黎卡提
方程APPATPBR1BTPQ0的解。
7
xi,r1bTxi
将公式Px带入控制量u的表达式可得ur1bT,bTPxxi
T
xi,bPxxi
当r0时，xiM
xi,bTPx0
故上式为ur1bT,bTPx0
T
xi,bPx0
（9）
（10）
即u（xi）sgn（bTPx），得到控制变量u的最优的表达式，从而得到一个完整的
控制系统模型。
通过公式Fkm1m（a1x1a2x2a3x3u）dt计算登月探探测器实时推
t0
t
力大小
mm（t0）expk1
t
t0
（a1x1a2x2a3x3（（xi）sgn（bTPx））dt）
计算探测器所需燃料的质量，同时也为下一步探测器的性能做准备。
第三阶段：
快速调整阶段
快速调整阶段嫦娥三号速度从57m/s下降到水平速度0m/s,高度从3000m降到
2400m，快速调整阶段是调整探测器姿态使其在以后的过程朝竖直方向下降。
第四阶段：
粗避障阶段
要求满足该阶段在关键点所处的状态为在着陆点上方30m处水平方向速度为0m/s，
耗时大约38s。
在100m精避障阶段中，我们将高程图分成4m4m小区域共250250个。
具体程序见附
录1。
由图7可知，如果探测器垂直降落，将会落至黑色区域，而黑色区域是不安全区
域。
如图5：
8
根据距2400m处的数字高程图拟合出的三维图像
要求满足该阶段在关键点所处的状态为距离月面2.4km到100m区间，在设计着陆
点上方100m处悬停，并初步确定落月地点，耗时大约125s。
在2400m粗避障阶段中，我们将所给的高程图分成100m100m的小区域共2525个，
具体程序见附录1。
分别计算并比较每个区域所含高度z值的方差，若方差小，则表明
该区域高度变化不大，通过由小到大排序，得各个区域方差对比情况，
如图6：
9
求得的结果请看如图7：
综上，比较这些样本点的方差，根据S（xix）2得出这组数据的方差稳定性最好。
2
xi1
400
第五阶段：
精避障阶段
这个阶段嫦娥三号利用光敏感成像技术分析月面地形；来判断降落的大致位置，
10
调整发动机来粗步避开大陨坑。
依据附件三有选择的选取地表数字高程图中20m20m
的正方形样本点，依据C语言（程序见附录一）计算出它们的平均值，最后计算出一个
方差S，依次往下面退一行进行其他的正方形样本点的分析求解，分别为
较得出一个最小的正方形区域。
为了让探测器运动较短距离就可达到可降落点，通过同粗避障所用方法一样，利用方差
拟预测地点，
如图8：
比
该阶段要求嫦娥三号悬停在距离月面100处，据附件四的三维数字高程图并分析，
需要避开较大的陨石，并确定最佳着陆地点。
第六阶段：
缓慢下降阶段
该阶段嫦娥三号高度从30m降到4m，即实现在距离月面4m处相对月面静止。
要求
满足该阶段在关键点所处的状态为在距离月面4m处的速度为0m/s。
因此对嫦娥三号在
软着陆过程中缓速下降阶段的最优控制策略为发动机推力方向向下，且推力大于月球引
力。
该阶段最优控制策略为推力大小为0N，关闭发动机关闭，嫦娥三号在距离月面4m处以
11
初速度为0m/s自由落体到月面，且地面倾斜度小于15度。
6.3问题三的模型建立与求解：
卫星的轨道误差分析是卫星测控中需要加以约定的重要指标之一，对我们设计的轨道进
行误差分析，我们主要考虑位置误差、速度误差、轨道根数误差。
轨道误差
建立月心惯性坐标系OXYZ，记录t1时刻探测器轨道开普勒根数为（,,,,,），
位置、速度矢量为,，那么轨道根数误差是（,,,,,），位置、速度矢
量为,，那么有关系是
（11）
（HK）（）（Z）（N）
2n
0
式中/为轨道升交点方向单位矢量；Z0为OXYZ的Z方向单位矢量；
1
N
H
H
1
p
（）为轨道面法向量的单位矢量；符号H,K,H,K,,n表达式分别为：
（12）
rsinE
（cosE）,K
（1）
ppn
p
11,KcosE，GM1（M1为月球引力常量）（13）
prrrp
其中rr，E为探测器运动轨迹偏近点角。
轨道位置误差
建立月心惯性坐标系OXYZ，确定以探测器为中心径向R、迹向T和法向N三个方向，
建立非惯性星体坐标系SRTN
由开普勒根数误差表示，在分别求出各根数
由开普勒根数误差V表示。
在分别求出各根数误差的系数项对R,T,N的投影后，将
其相加即得Vr的RTN分量。
sinE
Hr+KrR
pr
sinf
rr对轨道半长轴误差V的系数，Hr+KrT
有
cosf，T0，N0
pp
Hr+KrN0
（14）
Hr+KrRcosf
r
对于轨道偏心率误差V的系数，有Hr+KrT
（1）sinf
p
Hr+KrN0
（15）
对于轨道倾角误差V的系数，有+rR0，+rT0，+rNrsin
12
对于轨道倾角升交点赤经误差V的系数，有Z+rR0
N+rN0
对于轨道升交赤径误差V的系数，有
Z+rNrcossinZ+rTrcos
（17）
，Z+rTrcosi
（16）
，，
，Z+rNr
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