国赛数学建模论文嫦娥三号.docx

1、国赛数学建模论文嫦娥三号2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则 以下简称为（“竞赛章程和参赛规则” 可从全国大学生数学建模竞赛网站下载），。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平

2、性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员 (打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：A（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期： 2014 年9 月 1

3、5日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要 采用软轨道方式使探测器相对于月球的速度小，能够使探测器安全着月，嫦娥三号软轨道的设计关键考虑探测器安全着陆在相对平坦的区域和燃料的节省。本文主要解决以下三个问题： 针对问题一，假设嫦娥三号着陆过程为类平抛运动。依据嫦娥三号的着陆准备轨道、着月点、月心在同一平面上的原理，利用万有引力

4、提供向心力公式 M 1M 2V2 ，计算求得嫦娥三号在近月点的速度为 1.6725km/s，远月点速度G M22R h1 R h1 为 1.633km/s。以近月点在月球赤道面的投影为原点建立空间直角坐标系，运用空间几何与勾股定理建立等量关系，勾勒出月球表面三维坐标图，测得轨道面 （45.01N，15000），与赤道面的夹角 arcsin 0.8839 ，进而确定近月点的位置为 21.82W，方向在月心空间极坐标系中表示为 (sin , cos , 0) ，嫦娥三号在远月 点的位置、方向是 (（158.62E，25.08S，100000）， sin , cos , 0) 。 针对问题二，首先分

5、析六个阶段，主要分析主减速阶段、粗避障和精避障三个阶段；对主减速轨道主要考虑以燃料为主，根据牛顿第二定律，列出嫦娥三号运动方程式为 1 a竖 1 /m）- g（km 6 ，建立非线性规划模型，确定最优轨道；并且使性能指标 1 TJ ( x Qx u T ru )dt 极小。对粗避障和精避障阶段通过分析照片，利用程序建立三维 20图形，模拟月球待选降落区域，利用 C 语言对高度相对平坦区域的数据进行了处理，即对高度的方差分析，选择相对平坦区域；对精避障阶段增加分析指标，准确确定降落区域，在缓慢下降阶段，开启发动机，降速。为解决问题三奠定了基础。 针对问题三，主要考虑位置误差、速度误差、轨道根数误

6、差，根据轨道和轨道的位置以及探测器速度的大小，建立月心坐标系和探测器非惯性坐标系采用开普勒根数进行误差分析。关键词：近月制动 非惯性坐标系 开普勒根数1一、 问题重述嫦娥三号于 2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分成功发射，12 月 6 日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N 到 7500N 的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为 2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号

7、的预定着陆点为 19.51W，44.12N，海拔为-2641m嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。让我们建立数学模型来解决以下问题：问题一：确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。问题二：确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。问题三：针对上述确定的着陆轨道和控制策略

8、做相应的误差分析和敏感性分析。二、 问题分析嫦娥工程是我国探月工程的开始，嫦娥工程分为“绕、落、回”三个阶段。第一阶段建立了我国月球探测航天工程初步系统。在此阶段我国成功实施了嫦娥一号探测工程。第二阶段目标研制和发射月球探测器，用软着陆的方式降落在月球上进行探测。为以后建立月球基地的选址提供月面的化学和物理参数。第三阶段目标是月面巡视勘察与采样返回。采集关键性样品返回地球，对着陆区进行考察，为下一步载人登月探测准备，为建立月球哨站的选址提供数据资料。嫦娥三号是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，嫦娥三号探测器在绕星体运动的时候受到向心力的作用，此时的椭圆轨道一定是和月球的球心在同一平面上，也就是说探

9、测器沿椭圆轨道绕月球球心运动。嫦娥三号在着陆准备轨道的近月点脱离轨道被月球捕获，采用近月制动，保证探测器安全着月。在探测器的着陆过程中，探测器做曲线运动，我们假设这个曲线运动为水平方向的匀减速和竖直方向的匀加速的类平抛运动。由材料二着陆过程中的快速调整阶段调整探测器姿态使探测器只沿竖直方向运动。在沿竖直方向运动的过程中，探测器进行拍照，探测器运用程序对照片分析，根据分析结果平移选择合适降落位置。2.1 问题一的分析 确定近月点的位置，根据物理学知识，假设着陆过程为类平抛运动，竖直和水平方向做匀变速运动，进行运动分析，确定近月点和着月点的水平距离，用空间天体运动公2式计算出来速度大小，远月点的位

10、置和速度大小用同样的方法计算出来，方向是和近月点的相反。2.2 问题二的分析 六个阶段的降落过程中，主减速阶段将接近 1.7km/s 的速度减到 60m/s 左右，必须要产生尽可能大的阻力，是最消耗燃料的一个阶段。快速调整阶段是调整探测器姿态使其在以后的过程朝竖直方向下降。粗避障利用光敏感成像技术分析月面地形；来判断降落的大致位置，调整发动机来粗步避开大陨坑。依据附件三有选择的选取地表数字高程图进行分析。细避障阶段要求嫦娥三号悬停在距离月面 100 处，据附件四的三维数字高程图并分析，需要避开较大的陨石，并确定最佳着陆地点。2.3 问题三的分析对问题三研究的意义的分析对于问题三： 根据轨道和轨

11、道的位置以及探测器速度的大小，建立月心坐标系和探测器非惯性坐标系采用开普勒根数进行误差分析。三、模型的基本假设1、假设不考虑月球的自转和公转2、假设地球对探测器没有吸引力3、假设我们搜集的数据合理有效四、符号说明F ：探测器绕月球飞行向心力F FG ：探测器在月球上空的重力G ：月球上的万有引力系数R :月球平均半径h1, h2 :近月点、远月点离月球表面的距离M 1 :月球质量s ：近月点与着月点的水平距离V :探测器在近、远月点的速度M 2 :探测器质量V0 , Vt :主减速段近月点水平方向的初始和末速度s 2 ：方差V0 , Vt :主减速段近月点竖直方向的初始和末速度m1 ：燃料消耗

12、变化率a1, a2 :分别是竖直和水平方向上的加速度大小注：部分符号见模型建力和求解过程五、模型的建立与求解5.1 问题一的模型建立与求解： 嫦娥三号着月是从椭圆轨道做类平抛运动。探测器做着月准备工作时一直沿椭圆轨道，由物理学中天体运动知识，探测器在绕星体运动的时候受到向心力的作用，此时的椭圆轨道一定是和月球的球心在同一平面上，也就是说探测器沿椭圆轨道绕月球球心运3 v2动。探测器在近月点开始着月，在探测器在椭圆上运动时受到向心力 F m 的作用， r在近月点,重力刚好提供向心力 F FG ，如果速度V 增大，向心力变大，即 F FG ,探测器脱离椭圆轨道，反之，速度V 变小，向心力 F FG

13、 ，探测器被星体捕获。近月点速度大小计算：根据万有引力提供向心力得 M 1M 2V2G M2 （1） 2R h1 R h1 V 1.6725km / s M 1M 2V2远月点速度大小计算：同上式得 G M22R h2 R h2 （2）V 1.633km / s合速度的分解与合力的分解对应比例相等。竖直方向和水平方向的速度比等于竖直方向距离和水方向距离的比假设探，测器在着陆的过程中做类平抛运动模型，水平方向上做匀减速运动，竖直方向做匀加速运动，如图 1：类平抛运动图在水平方向上， v0 1672.5m / s, vt 0在竖直方向上， v 0 0, v t 57 m / s竖直和水平方向上的加

14、速度大小分别为 a1 ， a24 1/ 2a1t 2 a1t v 0 v t对运动过程中分析得： tan 1/ 2a2t 2 a2tvt v0得 tan （3） 57 1672.5 h 12600tan 1 ss（4） 5712600 s 369.71km 1672.5s所以，近月点在月球上的投影与着月点距离为 369.71km方向的判定： R以近月点在月球赤道面的投影为原点建立空间直角坐标系， 在月球赤道面上，AOB为月球半径，再根据经纬度和距离的换算, AC 2171.84km ,运用空间几何与勾股定理建立等量关系，求出 OBC arcsin 0.8839 ,即为轨道面以赤道面的夹角 如图

15、 2（3）式和（4）式相等 模拟月球表面三维坐标图由于椭圆轨道和月球的球心在同一平面上，同时抛物曲线在这个平面内，在近月点速度方向和空间中月球赤道面平行，轨道面和赤道面相交的直线 OB 与速度平行。建立空间直角坐标系如图 3模拟平面图5在抛物运动曲线阶段，水平距离为 s 369.71km ，近月点到月球圆心的距离为1752.013km,着月点的位置是 19.51W , 44.12 N , 所以就能确定近月点的位置，使用 （45.01N，15000），DESKPOR 软件将远月点的位置转化为空间位置 21.82W，方向在月心空间极坐标系中表示是 (sin , cos , 0) 。根据地心对称点是

16、以地心为对称轴的点和地心对称点的特点：经度对称、纬度也对称。地心对称点的经度是西经度对称东经度，W 对称 E；经度数的和 180，即经度数互补。地心对称点的纬度是北纬度对称南纬度，N 对称 S；纬度数相同。远月点的空间位（158.62E，25.08S，100000），置为方向为 ( sin , cos , 0)在主减速阶段总耗时 442.102s.6.2 问题二的模型建立与求解： 如图 4：以近月点在月球表面的的投影为坐标原点建立空间直角坐标系模拟飞行轨道图第一阶段：着陆准备阶段 六个阶段的降落过程中，主减速阶段将接近 1.7km/s 的速度减到 60m/s 左右，必须要产生尽可能大的阻力，是

17、最消耗燃料的一个阶段。我们通过机械能守恒定律可以求出此区间所需的最低能量。此过程路程由 15km 降落到 3km ，共下降 12km。速度由1672.5m/s 减速到 57m/s , 速度变化为 1615.5m/s。由运动学公式 V 2 V0 2 2as ，代入计算得 a 116.42m / s2 ， 嫦娥三号的总质量 m 3700kg ，嫦娥三号所带燃料的质量 1m 1300kg ，开始降落的总机械能为 W m嫦 g月h mv 2 5.2 109 J ，这些机械能将为 2下面几个阶段减速降落做准备。第二阶段：主减速阶段 采用非线性变结构控制与状态反馈相结合的控制方法。以竖直方向的控制为例，假

18、设登月探测器的质量为 m （包括燃料），燃料燃烧后喷出气体相对于探测器的速度为6 0 m1 M (M 0)v1 ，则喷气发动机产生的推力为 km（ m1 为燃料消耗变化率） 受不等式， 1 km / m的约束，产生的加速度为 1 V设 h 为登月探测器离地球的表面高度，则登月探测器竖直运动的速度为 竖 ，加速度为 1a竖 ，月球重力加速度为 g 6根据牛顿第二定律，列出嫦娥三号运动方程式为： 1 a竖 1 /m）- g（km 6（5） x h 根据运动学方程构建空间表达式，一竖直方向向上为正方向，选取状态变量为 1，x2 v竖 ， x3 a竖 ， 并 设 x4 a1 x2 a2 x2 a3 x

19、3 u ， 则 系 统 状 态 方 程 为 x1 a1 x 0 2 x3 0 0 a200 x1 0 0 x2 0 u a3 x3 1 （6） x (0) 0, x2 (0) v竖 0） 0（ 其中初始状态为 1， m(0) 0 ； 探 测 器 的 终 端 状 态 为x1 (t f ) x(t f ) 0; x2 (t f ) v竖 (t f ) 0; x3 (t f ) 0 。根据方案确定找出最优 u (t ) ，使探测器着路到最适宜的位置。使探测器从初始状态 x1 (0) x10 , x2 (0) x20 , x3 (0) x30 转移到终态x1 (t f ) h, x2 (t f ) 0

20、, x3 (t f ) 0控制幅度 u(t ) 需要在系统偏离工作点状态的正负绝对值大小的范围内取值，即 xi u(t ) xi ，并且使性能指标 J 1 TT 0 ( x Qx u ru )dt 极小， 其2中三阶方针的任意元素都大于零。根据性能指标，控制系统对应的哈米尔登函数为 11 （7）H xT Qx u T Ru ( Ax bu ) 22根据最优控制的极小值原理可知 1 1 H min xT Qx u T Ru T ( Ax bu ) u U2 2 11 （8） xT Qx T Ax min(u r 1bT )T R (u r 1bT ) xi u( t ) xi 22 xi , r

21、 1bT xi 1 T 当 u r b , bT Px xi 时，达到最优控制 T xi , b Px xi 根据最优控制理论的相关知识可知m m(t 0 ) exp k1 tt0(a1 x1 a2 x2 a3 x3 ( xi ) sgn(bT Px) dt) 其中 P 为矩阵黎卡提 方程 AP PAT PBR 1 BT P Q 0 的解。7 xi , r 1bT xi 将公式 Px 带入控制量 u 的表达式可得 u r 1bT , bT Px xi T xi , b Px xi 当 r 0 时， xi M xi , bT Px 0 故上式为 u r 1bT , bT Px 0 T xi ,

22、b Px 0 （9）（10）即 u ( xi ) sgn(bT Px) ，得到控制变量 u 的最优的表达式，从而得到一个完整的控制系统模型。通过公式 F km1 m (a1x1 a2 x2 a3 x3 u )dt 计算登月探探测器实时推t0t力大小m m(t 0 ) exp k1 tt0(a1 x1 a2 x2 a3 x3 ( xi ) sgn(bT Px) dt) 计算探测器所需燃料的质量，同时也为下一步探测器的性能做准备。第三阶段：快速调整阶段 快速调整阶段嫦娥三号速度从 57m/s 下降到水平速度 0m/s,高度从 3000m 降到2400m，快速调整阶段是调整探测器姿态使其在以后的过程

23、朝竖直方向下降。第四阶段：粗避障阶段 要求满足该阶段在关键点所处的状态为在着陆点上方 30m 处水平方向速度为 0m/s，耗时大约 38s。在100m 精避障阶段中，我们将高程图分成 4m 4m 小区域共 250 250 个。具体程序见附录 1。由图 7 可知，如果探测器垂直降落，将会落至黑色区域，而黑色区域是不安全区域。如图 5：8 根据距 2400m 处的数字高程图拟合出的三维图像 要求满足该阶段在关键点所处的状态为距离月面 2.4km 到 100m 区间，在设计着陆点上方 100m 处悬停，并初步确定落月地点，耗时大约 125s。在 2400m 粗避障阶段中，我们将所给的高程图分成100

24、m 100m 的小区域共 25 25 个，具体程序见附录 1。分别计算并比较每个区域所含高度 z 值的方差，若方差小，则表明该区域高度变化不大，通过由小到大排序，得各个区域方差对比情况，如图 6：9求得的结果请看如图 7：综上，比较这些样本点的方差，根据 S ( xi x) 2 得出这组数据的方差稳定性最好。2xi 1400第五阶段：精避障阶段这个阶段嫦娥三号利用光敏感成像技术分析月面地形；来判断降落的大致位置，10调整发动机来粗步避开大陨坑。依据附件三有选择的选取地表数字高程图中 20m 20m的正方形样本点，依据 C 语言（程序见附录一）计算出它们的平均值，最后计算出一个方差 S，依次往下

25、面退一行进行其他的正方形样本点的分析求解，分别为较得出一个最小的正方形区域。为了让探测器运动较短距离就可达到可降落点，通过同粗避障所用方法一样，利用方差拟预测地点，如图 8：比 该阶段要求嫦娥三号悬停在距离月面 100 处，据附件四的三维数字高程图并分析，需要避开较大的陨石，并确定最佳着陆地点。第六阶段：缓慢下降阶段 该阶段嫦娥三号高度从 30m 降到 4m，即实现在距离月面 4m 处相对月面静止。要求满足该阶段在关键点所处的状态为在距离月面 4m 处的速度为 0m/s。因此对嫦娥三号在软着陆过程中缓速下降阶段的最优控制策略为发动机推力方向向下，且推力大于月球引力。该阶段最优控制策略为推力大小

26、为 0N，关闭发动机关闭，嫦娥三号在距离月面 4m 处以11初速度为 0m/s 自由落体到月面，且地面倾斜度小于 15 度。6.3 问题三的模型建立与求解：卫星的轨道误差分析是卫星测控中需要加以约定的重要指标之一，对我们设计的轨道进行误差分析，我们主要考虑位置误差、速度误差、轨道根数误差。轨道误差建立月心惯性坐标系 O XYZ ，记录 t1 时刻探测器轨道开普勒根数为 ( , , , , , ) ，位置、速度矢量为 , ，那么轨道根数误差是 ( , , , , , ) ，位置、速度矢量为 , ，那么有关系是 （11） ( H K ) ( ) ( Z ) ( N ) 2 n 0 式 中 / 为

27、轨 道 升 交 点 方 向 单 位 矢 量 ； Z 0 为 O XYZ 的 Z 方 向 单 位 矢 量 ； 1 N H H 1 p ( ) 为轨道面法向量的单位矢量；符号 H , K , H , K , , n 表达式分别为：（12） r sin E (cos E ), K (1 )ppn p 1 1 , K cos E ， GM 1 （ M 1 为月球引力常量） （13） pr r r p 其中 r r ，E 为探测器运动轨迹偏近点角。轨道位置误差建立月心惯性坐标系 O XYZ ，确定以探测器为中心径向 R 、迹向T 和法向 N 三个方向，建立非惯性星体坐标系 S RTN 由开普勒根数误差

28、表示，在分别求出各根数由开普勒根数误差 V 表示。在分别求出各根数误差的系数项对 R, T , N 的投影后，将其相加即得 V r 的 RTN 分量。 sin E H r+Kr R prsin f r r 对轨道半长轴误差 V 的系数， H r+Kr T 有 cos f ， T 0 ， N 0 pp H r+Kr N 0（14） Hr+Kr R cos f r 对于轨道偏心率误差 V 的系数，有 Hr+Kr T (1 ) sin f p Hr+Kr N 0 （15） 对于轨道倾角误差 V 的系数，有 +r R 0 ， +r T 0 ， +r N r sin 12 对于轨道倾角升交点赤经误差 V 的系数，有 Z +r R 0 N +r N 0对于轨道升交赤径误差 V 的系数，有 Z +r N r cos sin Z +r T r cos （17） ， Z +r T r cos i （16）， ， Z +r N r