三角形内角和定理外角练习可编辑修改word版.docx
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三角形内角和定理外角练习可编辑修改word版
三角形内角和定理
1、（2014•昆明模拟）AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，
则∠DAE的度数为（）
A．20°B．18°C．38°D．40°
2、（2014•福鼎市模拟）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（）
3、（2014•丰润区二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．40°B．35°C．30°D．25°
4、（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+
∠2=（）
A．90°B．100°C．130°D．180°
5、（2013•安庆一模）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠C=（）
A．20°B．30°C．40°D．50°
6、（2013•西青区二模）如图，小明将一张三角形纸片（△ABC），沿着DE折叠（点D、E分别在边AB、AC上），并使点A与点A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2
的度数为（
）
A．140°
B．130°
C．110°
D．70°
7、（2013•南漳县模拟）（附加题）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（）
A．∠A=∠1+∠2B．∠A=∠2-∠1C．2∠A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）
8、（2012•南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=
（）
A．360°B．250°C．180°D．140°
9、（2012•河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）
A．150°B．210°C．105°D．75°
10、（2012•樊城区模拟）下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：
探究1：
如图
（1），在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现：
∠BOC=90°+
1
2
∠A（不要求证明）．
探究2：
如图
（2）中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC
与∠A有怎样的数量关系？
请说明理由．
探究3：
如图（3）中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC
与∠A有怎样的数量关系？
（只写结论，不需证明）．结论：
．
11、如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交AB于E，CE
与BD交于F，连接AF并延长交BC于H，过F作FG⊥BC于G．
（1）若∠ABC=45°，∠ACB=65°，求∠HFG的度数；
（2）根据
（1）中的规律探索∠ABC、∠ACB与∠HFG之间的关系；
（3）试探究∠BFH与∠CFG的大小关系，并说明理由．
12、问题1
如图①，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．
研究
（1）：
如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是
研究
（2）：
如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是
研究（3）：
如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由．
猜想：
理由问题2
研究（4）：
将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是
．
13、已知：
如图1，△ABC中，∠B＞∠C，AD是△ABC的角平分线，点P是AD上的一点，过点P画PH⊥BC于H
（1）求证：
∠DPH=
1
2
（∠B-∠C）；
（2）如图2，当点P是线段AD的延长线上的点时，过点P画PH⊥BC于H，上述结论任然成立吗？
请你作出判断并加以说明．
【
（1）证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵PH⊥BC于H，
∴∠DPH=90°-∠PDH，
∵∠DAC=
1
2
∠BAC=
1
2
（180°-∠B-∠C），
∴∠DPH=90°-∠PDH
=90°-（∠DAC+∠C）
=90°-
1
2
（180°-∠B-∠C）-∠C
=
1
2
（∠B-∠C）．
（2）解：
上述结论仍然成立．证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵PH⊥BC于H，
∴∠DPH=90°-∠PDH=90°-∠DAC，
∵∠DAC=
1
2
∠BAC=
1
2
（180°-∠B-∠C），
∴∠DPH=90°-∠PDH，
=90°-（∠DAC+∠C）
=90°-
1
2
（180°-∠B-∠C）-∠C
=
1
2
（∠B-∠C）．】
14、已知，如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？
如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．
【解：
∠C的大小保持不变．理由：
∵∠ABY=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，
∴∠ABE=
1
2
∠ABY=
1
2
（90°+∠OAB）=45°+
1
2
∠OAB，
即∠ABE=45°+∠CAB，
又∵∠ABE=∠C+∠CAB，
∴∠C=45°，
故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．】
15、
（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=150
°，∠XBC+∠XCB=90°．
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？
若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．（不变化，60°）
16、已知：
如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB、如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：
；
（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）
（3）
如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．（直接写出结论即可）
【解：
（1）∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）由
（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，
∴∠1-∠3=∠P-∠D，∠2-∠4=∠B-∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P-∠D=∠B-∠P，即2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．
（3）2∠P=∠B+∠D．】
17、已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：
；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：
个；
（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；
（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）
【解：
（1）结论：
∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）结论：
六个；
（3）由∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4①（∵∠AOD=∠COB），由∠1=∠2，∠3=∠4，
∴40°+2∠1=36°+2∠3
∴∠3-∠1=2°
（1）
由∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2，②
∴∠P=∠B+∠4-∠2=36°+2°=38°；
（4）由①∠D+2∠1=∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3=2∠P+2∠1
①+②得：
∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1
∠D+2∠B=2∠P+∠B．
∴∠P=
∠D+∠B
2
．】
18、如图：
AB∥CD，直线l交AB、CD分别于点E、F，点M在EF上，N是直线CD
上的一个动点（点N不与F重合）
（1）当点N在射线FC上运动时，∠FMN+∠FNM=∠AEF，说明理由；
（2）当点N在射线FD上运动时，∠FMN+∠FNM与∠AEF有什么关系并说明理由．
【解：
（1）∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠MFN=180°．
∵∠MFN+∠FMN+∠FNM=180°，
∴∠FMN+∠FNM=∠AEF．
（2）∠FMN+∠FNM+∠AEF=180°．
理由：
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠MFN．
∵∠MFN+∠FMN+∠FNM=180°，
∴∠FMN+∠FNM+∠AEF=180°．
】
19、把一副学生用三角板（30°、60°、90°和45°、45°、90°）如图
（1）放置在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，直角边AC与y轴重合，斜边AD与y轴重合，直角边AE交x轴于F，斜边AB交x轴于G，O是AC中点，AC=8．
（1）把图1中的Rt△AED绕A点顺时针旋转α度（0≤α＜90°）得图2，此时△AGH的面积是10，△AHF的面积是8，分别求F、H、B三点的坐标；
（2）如图3，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，当改变α的大小时，∠N+∠M的值是否会改变？
若改变，请
说明理由；若不改变，请求出其值．
【解：
（1）∵OG∥BC，AC=8，
∴∠B=∠AGO=45°，
∴OA=OG=4．
∵S△AFH=8，S△AGH=10，
∴GH=5，FH=4．
∴OH=1，OF=5，
∴F（-5，0），H（-1，0），B（8，-4）．
（2）不变，∠N+∠M=97.5°．理由如下
设∠HAC=α，∠GAO=∠AGO=45°，
∴∠FHA=∠HAG+∠AGH=90°+α．
∵HM平分∠AHF，
∴∠FHM=
1
2
∠FHA=45°+
1
2
α．
∵GM平分∠AGH，
∴∠HGM=
1
2
∠AGO=22.5°．
∵∠FHM=∠HMG+∠MGH，
∴45°+
1
2
α=∠M+22.5°，
∴∠M=22.5°+
1
2
α．
又FN平分∠EFO，
∴∠NFO=
1
2
∠EFO=
1
2
（∠FOA+∠FAO）
=
1
2
（90°+30°+α）=60°+
1
2
α，
∴∠N=180°-∠NFO-∠NOF
=180°-（60°+
1
2
α）-45°
=75°-
1
2
α．
∴∠N+∠M=（75°-
1
2α）+（22.5°+1
2
α）=97.5°．】
20、如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．
（1）若|x+2y-5|+|2x-y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；
（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，
问：
点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？
若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、
∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC
的大小关系如何？
请写出你的结论并说明理由．
【解：
（1）解方程组：
x+2y−5＝02x−y＝0
得：
x＝1y＝2
（3分）
∴A（-1，0），B（0，2）；
（2）∠P的大小不发生变化，
∠P=180°-∠PAB-∠PBA
=180°-
1
2
（∠EAB+∠FBA）
=180°-
1
2
（∠ABO+90°+∠BAO+90°）
=180°-
1
2
（180°+180°-90°）
=180°-135°
=45°；
（3）∠AGH=∠BGC，理由如下：
作GM⊥BF于点M．
由已知有：
∠AGH=90°-
1
2
∠EAC
=90°-
1
2
（180°-∠BAC）
=
1
2
∠BAC，
∠BGC=∠BGM-∠CGM
=90°-
1
2
∠ABC-（90°-
1
2
∠ACF）
=
1
2
（∠ACF-∠ABC）
=
1
2
∠BAC
∴∠AGH=∠BGC．
注：
不同于此标答的解法请比照此标答给分．】
21、如图，△ABC中，∠A=35°，∠B=69°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，求∠ECD
的度数，
探究：
（1）若点F是线段CE上的任意一点（不与端点C、E重合），FM⊥AB于M，求∠EFM的度数；
（2）若点G是线段CE延长线上的任意一点（不与端点E重合），GN⊥AB于N，直接写∠EGN的度数．
（在右图中直接画出图形再计算）
【解：
∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=
1
2
∠ACB，又∠A=35°，∠B=69°，
∴∠ACB=180°-35°-69°=76°，∴∠ACE=∠BCE=
1
2
×76°=38°，
又∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠DCB=90°-69°=21°
∴∠DCE=∠BCE-∠DCB=38°-21°=17°；
（1）∵FM⊥AB于M，∴FM∥CD，∴∠EFM=∠ECD=17°，
（2）∵GN⊥AB，∴GN∥CD，∴∠EGN=∠ECD=17°．
】
22、
（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C、△ABC中，∠A=40°，则∠ABC+∠ACB=度，∠XBC+∠XCB=度；
（2）如图2，改变
（1）中直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？
若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小；
（3）
如果
（1）中的其它条件不变，把“∠A=40°”改成“∠A=n°”，请直接写出∠ABX+∠ACX的大小．
23、如图，把△ABC的纸片沿着DE折叠．
（1）若点A落在四边形BCDE的内部点A′的位置．（如图1）且∠1=40°，
∠2=24°，求：
∠A′的度数；
（2）若点A落在四边形BCDE的外部（BE的上方）点A′的位置（如图2），则∠A′与∠1，∠2有怎样的关系？
请说明你的理由；
（3）若点A落在四边形BCDE的外部（CD的下方）点A′的位置（如图3），∠A′与∠1，∠2又有怎样的关系？
直接写出你的结论．
24、将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF
恰好分别经过点B、C．
（1）如图1，当∠A=45°时，∠ABC+∠ACB=度，∠DBC+∠DCB=度；
（2）如图2，改变直角三角板DEF的位置，使该三角板的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，那么∠ABD+∠ACD的大小是否发生变化？
若变化，请举例说明；若没有变化，请探究∠ABD+∠ACD与∠A的关系．
25、如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，2），且|2a+b+1|+
（a+2b-4）2=0．
（1）求a，b的值；
（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=1
2
△ABC的面积，求出点M的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=1
2
△ABC的面积仍然成立？
若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，
∠OPD
∠DOE
的值是否会改变？
若不变，求其值；若改变，说明理由．
26、如图：
已知在平面直角坐标系中点A（a，b）点B（a，0），且满足|2a-b|+
（b-4）2=0．
（1）求点A、点B的坐标．
（2）已知点C（0，b），点P从B点出发沿x轴负方向以1个单位每秒的速度移动．同时点Q从C点出发，沿y轴负方向以2个单位每秒的速度移动，某一时刻，如图所示且S阴=
1
2
S四边形OCAB，求点P移动的时间？
（3）在
（2）的条件下，AQ交x轴于M，作∠ACO，∠AMB的角平分线交于点N，判断
∠N−∠APB−∠PAQ
∠AQC
是否为定值，若是定值求其值；若不是定值，说明理由．
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