数学建模实验报告西安交通大学.docx
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数学建模实验报告西安交通大学
【实验目的】
学会使用Matlab解决线性回归问题，差分问题，线性规划问题，最优决策等问题，充分理解并掌握数学建模的方法与作用
【实验工具】
经济管理数学模型与Matlab
【实验过程】
【1】某厂生产的一种电器的销售量y与竞争对手的价格x1和本厂的价格x2有关。
下表是该厂在二十个城市的销售记录。
城市
销量（个）
竞争对手价格（元）
本厂价格（元）
城市
销量
（个）
竞争对手价格
（元）
本厂
价格
（元）
1
102
120
100
11
77
130
156
2
100
140
110
12
69
145
268
3
110
138
105
13
92
166
150
4
115
130
115
14
60
145
200
5
105
136
118
15
85
150
230
6
98
148
145
16
82
140
160
7
95
110
112
17
65
180
270
8
93
150
165
18
69
145
250
9
90
165
170
19
46
200
280
10
89
160
190
20
36
220
286
（1）根据这些数据建立本厂的需求函数模型，作回归分析。
（2）根据这些数据建立y与x1和x2的关系，作回归分析。
（1）
根据经济学原理，可知：
该厂的销售量与该厂价格和竞争对手价格存在线性关系。
所以建立模型：
y=b0+b1*x1+b2*x2（y销售量，x1竞争对手价格，x2为本厂价格）
Matlab程序设计如下：
>>x1=[120140138130136148110150165160130145166145150140180145200220]';
>>x2=[100110105115118145112165170190156268150200230160270250280286]';
>>y=[102100110115105989593908977699260858265694636]';
>>x=[ones（20,1）x1,x2];
>>x=[ones（20,1）x1,x2];
>>[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,x,0.05）;
>>b,bint,stats
b=148.3720
-0.1286
-0.2518
bint=117.8121178.9320
-0.40600.1488
-0.3641-0.1395
stats=0.796733.30490.0000100.1054
b0=148.3720置信区间[117.8121,178.9320]
b1=-0.1286置信区间[-0.4060,0.1488]
b2=-0.2518置信区间[-0.3641,-0.1395]
r2=0.7967,F=33.3049,p=0.0000<0.05
所以：
y=148.3720-0.1286x1-0.2518x2
结果表明，无论自己或竞争对手抬高价格，都会使本厂销量减少。
（2）
①选择纯二次模型
>>X=[x1,x2];
>>rstool（X,y,'purequadratic'）
上图所示的交互式画面：
左边是x1（=150.9）固定时的曲线y（x1）及其置信区间，右边是x2（=179）固定时的曲线y（x2）及其置信区间
>>'beta','rmse'
故回归模型为：
y=-36.797+2.8113x1-0.81777x2-0.0089407x12+0.0014511x22
剩余标准差为8.0762，故此回归模型的显著性较好。
②选择交叉模型
>>rstool（X,y,'interaction'）
上图所示的交互式画面：
左边是x1（=150.9）固定时的曲线y（x1）及其置信区间，右边是x2（=179）固定时的曲线y（x2）及其置信区间
>>'beta','rmse'
故回归模型为：
y=61.909+0.48467x1+0.12449x2-0.00260597x1x2
剩余标准差为9.2094，说明此回归模型显著性较好。
【2】将一种群分成5个年龄组，已知各组的繁殖率分别为
，
，
，
，
，各组存活率分别为
，
，
，
已知各年龄组现有数量均为100只，给出该种群前10期的各组数量预测数据，该种群数量的发展趋势是什么？
>>b=[0,0.2,1.8,0.8,0.2];
>>s=diag（[0.5,0.8,0.8,0.1]）
s=
0.5000000
00.800000
000.80000
0000.1000
>>L=[b;s,zeros（4,1）];
>>x（:
1）=100*ones（5,1）;
>>n=30
n=
30
>>fork=1:
n
x（:
k+1）=L*x（:
k）;
end
>>round（x）
ans=
Columns1through20
100300220155265251196257269233264284265280300293301319320325
100501501107713212698128135116132142132140150147150159160
100804012088621061017810310893105114106112120117120127
10080643296705085806382867584918589969496
1001086310758868978989109
Columns21through31
340346352365374381393403412423434
163170173176183187190196201206211
128130136138141146149152157161165
102102104109111113117120122126129
1010101011111112121213
>>k=0:
30;
>>subplot（1,2,1）,plot（k,x）,grid
>>
>>y=diag（1./sum（x））;%sum（x）
>>Z=x*y
Z=
Columns1through14
0.20000.57690.45640.36580.50030.47810.40500.47120.47660.43050.45750.47080.44450.4529
0.20000.09620.31120.25990.14620.25190.25940.17990.22730.24880.20210.21840.23870.2143
0.20000.15380.08300.28360.16620.11780.21870.18440.13880.18980.18690.15440.17710.1841
0.20000.15380.13280.07560.18130.13390.10230.15550.14230.11600.14260.14280.12520.1366
0.20000.01920.01660.01510.00600.01830.01450.00910.01500.01490.01090.01360.01450.0121
Columns15through28
0.46510.45170.45220.46100.45490.45300.45830.45610.45400.45690.45640.45480.45620.4564
0.21670.23130.22020.21770.22670.22250.21920.22420.22310.22040.22290.22310.22130.2224
0.16410.17240.18040.16950.17130.17740.17220.17150.17550.17330.17210.17430.17370.1726
0.14100.13060.13450.13890.13340.13400.13730.13480.13420.13630.13530.13460.13570.1355
0.01310.01400.01270.01290.01370.01310.01300.01340.01320.01300.01330.01320.01310.0132
Columns29through31
0.45530.45590.4562
0.22290.22180.2222
0.17370.17370.1730
0.13490.13540.1355
0.01320.01310.0132
>>Subplot（1,2,2）,plot（k,Z）,grid
由上述分析可知，当时间足够长时，该种群按年龄组的分布x’（k）将趋向于稳定状态。
【3】某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。
已知：
项目A：
从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；
项目B：
从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；
项目C：
需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规
定最大投资额不能超过80万元；
项目D：
需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元；
据测定每万元每次投资的风险指数如表：
项目
风险指数（次/万元）
A
1
B
3
C
4
D
5.5
问：
a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？
b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？
a）
X为项目各年初投入向量
Xij为i种项目j年的年初投入
向量C中的元素Cij为i年末j种项目收回本利的百分比
Z为第5年末能拥有的资金本利最大额
根据以上建立模型，给出的决策变量：
XiA,XiB,XiC,XiD,（i=1,2,…，5）分别表示第i年年初给项目A,B,C,D的投资额。
年数
项目
1
2
3
4
5
A
X1A
X2A
X3A
X4A
X5A
B
X1B
X2B
X3B
X4B
C
X3C
D
X2D
Maxz=1.1X5A+1.25X4B+1.40X3C+1.55X2D
s.t.X1A+X1B≤200
X2A+X2B+X2D≤1.1X1A
X3A+X3B+X3C≤1.1X2A+1.25X1B
X4A+X4B≤1.1X3A+1.25X2B
X5A≤1.1X4A+1.25X3B
X1B≤30
X2B≤30
X3B≤30
X4B≤30
X3C≤80
X2D≤100
Xij≥0（i=1，2，3，4；j=A，B，C，D）
>>c=[0000-1.1000-1.25-1.4-1.55];
>>Aeq=[1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0;-1.1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,1;0,-1.1,1,0,0,-1.25,0,1,0,1,0;0,0,-1.1,1,0,0,-1.25,0,1,0,0;0,0,0,-1.1,1,0,0,-1.25,0,0,0];
>>beq=[200;0;0;0;0];
>>A=[00000100000;00000010000;00000001000;00000000100;00000000010;00000000001];
>>b=[30;30;30;30;80;100];
>>vlb=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];vub=[];
>>[x,fval]=linprog（c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub）
Optimizationterminated.
x=
170.0000
59.4010
0.0000
4.4988
33.5000
30.0000
27.5990
22.8411
30.0000
80.0000
100.0000
fval=
-341.3500
由此可以看出，各年投资额为X的矩阵，最大收益为fval的相反数，为341.35万元。
b）
>>c=[1,1,1,1,1,3,3,3,3,4,5.5];
>>Aeq=[1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0;-1.1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,1;0,-1.1,1,0,0,-1.25,0,1,0,1,0;
0,0,-1.1,1,0,0,-1.25,0,1,0,0;0,0,0,-1.1,1,0,0,-1.25,0,0,0];
>>beq=[200;0;0;0;0];
>>A=[00000100000;00000010000;00000001000;00000000100;00000000010;00000000001;0,0,0,0,-1.1,0,0,0,-1.25,-1.4,-1.55];
>>b=[30;30;30;30;80;100;-330];
>>vlb=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];vub=[];
>>[x,fval]=linprog（c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub）
Optimizationterminated.
x=
200.0000
158.5950
136.4355
150.0791
165.0870
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
38.0190
61.4050
fval=
1.3000e+003
各年投资额为X的矩阵时，风险最小。
在本利资金大于330的情况下最小风险系数为1300。
【4】某报童每天从发行商处购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.如果每份报纸的购进价0.8元，每份报纸的零售价为1元，每份报纸的退回价为0.75元.每天报纸的需求量是随机的，现收集了159天的报纸需求量的情况如下表：
表中需求量在100~119天的天数为3天，其余类推。
需求量
100~119
120~139
140~159
160~179
180~199
200~219
220~239
240~259
260~279
280~299
天数
3
9
12
23
32
35
20
15
8
2
（1）将报纸的需求看为离散型，在计算有关数据时取小区间的中点，为报童提供最佳决策。
（2）若认为报纸的需求量服从正态分布，报童的最佳决策又是什么？
（1）单周期存储模型
需求为离散型随机变量：
需求量
100-119
120-139
140-159
160-179
180-199
天数
3
9
12
23
32
P
3/159
9/159
12/159
23/159
32/159
中值
110
130
150
170
190
需求量
200-219
220-239
240-259
260-279
280-299
天数
35
20
15
8
2
P
35/159
20/159
15/159
8/159
2/159
中值
210
230
250
270
280
>>b=0.8;a=1;c=0.75;
>>q=（a-b）/（a-c）;
>>r=[3,9,12,23,32,35,20,15,8,2];
>>rr=sum（r）;
>>x=110:
20:
290;
>>s=sqrt（r*（x.^2）'/rr-mean^2）;
>>n=norminv（q,mean,s）
n=
232.0302
>>mean=r*x'/rr
mean=
199.5597
所以报童的最佳决策为购进233份报纸零售。
（2）
取均值=199.6，标准差=38.7
>>b=0.8;a=1;c=0.75;
>>q=（a-b）/（a-c）;
>>n=norminv（q,199.6,38.7）
n=
232.1707
所以报童的最佳决策为购进233份报纸零售。
【5】自己给出一个资源最优利用问题，建模求解并求各种资源的影子价格。
求最优生产计划，使公司获利最大，并计算影子价格
某工厂生产甲、乙两种产品，已知制成一吨产品甲需用资源A3吨，资源B4m3；制成一吨产品乙需用资源A2吨，资源B6m3，资源C7个单位。
若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万元，三种资源的限制量分别为90吨、200m3和210个单位，试决定应生产这两种产品各多少吨才能使创造的总经济价值最高？
并计算资源A，B，C的影子价格。
资源A（吨）
资源B（m3）
资源C（单位）
利润（万元）
产品甲
3
4
0
7
产品乙
2
6
7
5
资源限制量
90
200
210
1）
设生产A产品X1件，生产B产品X2件，Z为所获利润，将问题归结为如下的线性规划问题：
Minz=-（7X1+5X2）
s.t.3X1+2X2≤90
4X1+6X2≤200
7X2≤210
X1≥0，X2≥0
Matlab程序
>>f=-[7;5];
>>A=[3,2;4,6;0,76];
>>b=[90;200;210];
lb=[0;0];
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog（f,A,b,[],[],lb）
Optimizationterminated.
x=
14.0000
24.0000
fval=
-218.0000
exitflag=
1
output=
iterations:
5
cgiterations:
0
algorithm:
'lipsol'
lambda=
ineqlin:
[3x1double]
eqlin:
[0x1double]
upper:
[2x1double]
lower:
[2x1double]
由上可知，生产甲种产品14吨，乙种产品24吨可使创建的总经济价值最大，最高经济价值为218万元。
2）
>>b=[90,200,210];
>>a=[-3,-4,0;-2,-6,-7];
>>c=[-7,-5];
[y,fval]=linprog（b,a,c）
Optimizationterminated.
y=
2.2
0.1
0
可知资源A，资源B，资源C的影子价格分别为2.2元/吨,0.1元/m3,0元/单位。
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