数学建模实验报告西安交通大学.docx

1、数学建模实验报告 西安交通大学【实验目的】 学会使用Matlab解决线性回归问题，差分问题，线性规划问题，最优决策等问题，充分理解并掌握数学建模的方法与作用【实验工具】经济管理数学模型与Matlab【实验过程】【1】 某厂生产的一种电器的销售量y与竞争对手的价格x1和本厂的价格x2有关。下表是该厂在二十个城市的销售记录。城市销量(个)竞争对手价格（元）本 厂价 格（元）城 市销 量（个）竞争对手价格（元）本 厂价 格（元）110212010011771301562100140110126914526831101381051392166150411513011514601452005105136

2、1181585150230698148145168214016079511011217651802708931501651869145250990165170194620028010891601902036220286(1)根据这些数据建立本厂的需求函数模型，作回归分析。(2)根据这些数据建立y与x1和x2的关系，作回归分析。（1）根据经济学原理，可知：该厂的销售量与该厂价格和竞争对手价格存在线性关系。所以建立模型：y=b0+b1*x1+b2*x2 （y销售量，x1竞争对手价格，x2为本厂价格）Matlab程序设计如下： x1=120 140 138 130 136 148 110 150 1

3、65 160 130 145 166 145 150 140 180 145 200 220; x2=100 110 105 115 118 145 112 165 170 190 156 268 150 200 230 160 270 250 280 286; y=102 100 110 115 105 98 95 93 90 89 77 69 92 60 85 82 65 69 46 36; x=ones(20,1)x1,x2; x=ones(20,1) x1,x2; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,0.05); b,bint,statsb = 148.37

4、20 -0.1286 -0.2518bint =117.8121 178.9320 -0.4060 0.1488 -0.3641 -0.1395stats =0.7967 33.3049 0.0000 100.1054b0=148.3720 置信区间117.8121,178.9320b1=-0.1286 置信区间-0.4060,0.1488b2=-0.2518 置信区间-0.3641,-0.1395r2=0.7967,F=33.3049,p=0.0000X=x1,x2; rstool(X,y,purequadratic)上图所示的交互式画面：左边是x1（=150.9）固定时的曲线y(x1)及其

5、置信区间，右边是x2（=179）固定时的曲线y（x2）及其置信区间 beta,rmse故回归模型为：y=-36.797+2.8113x1-0.81777x2-0.0089407x12+0.0014511x22剩余标准差为8.0762，故此回归模型的显著性较好。选择交叉模型 rstool(X,y,interaction)上图所示的交互式画面：左边是x1（=150.9）固定时的曲线y(x1)及其置信区间，右边是x2（=179）固定时的曲线y（x2）及其置信区间 beta,rmse 故回归模型为：y=61.909+0.48467x1+0.12449x2-0.00260597x1x2剩余标准差为9.2

6、094，说明此回归模型显著性较好。【2】 将一种群分成5个年龄组，已知各组的繁殖率分别为，各组存活率分别为，,已知各年龄组现有数量均为100只，给出该种群前10期的各组数量预测数据，该种群数量的发展趋势是什么？ b=0,0.2,1.8,0.8,0.2; s=diag(0.5,0.8,0.8,0.1)s = 0.5000 0 0 0 0 0.8000 0 0 0 0 0.8000 0 0 0 0 0.1000 L=b;s,zeros(4,1); x(:,1)=100*ones(5,1); n=30n = 30 for k=1:nx(:,k+1)=L*x(:,k);end round(x)ans

7、= Columns 1 through 20 100 300 220 155 265 251 196 257 269 233 264 284 265 280 300 293 301 319 320 325 100 50 150 110 77 132 126 98 128 135 116 132 142 132 140 150 147 150 159 160 100 80 40 120 88 62 106 101 78 103 108 93 105 114 106 112 120 117 120 127 100 80 64 32 96 70 50 85 80 63 82 86 75 84 91

8、85 89 96 94 96 100 10 8 6 3 10 7 5 8 8 6 8 9 7 8 9 8 9 10 9 Columns 21 through 31 340 346 352 365 374 381 393 403 412 423 434163 170 173 176 183 187 190 196 201 206 211128 130 136 138 141 146 149 152 157 161 165102 102 104 109 111 113 117 120 122 126 12910 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 k=0:30; subpl

9、ot(1,2,1),plot(k,x),grid y=diag(1./sum(x);%sum(x) Z=x*yZ = Columns 1 through 14 0.2000 0.5769 0.4564 0.3658 0.5003 0.4781 0.4050 0.4712 0.4766 0.4305 0.4575 0.4708 0.4445 0.4529 0.2000 0.0962 0.3112 0.2599 0.1462 0.2519 0.2594 0.1799 0.2273 0.2488 0.2021 0.2184 0.2387 0.2143 0.2000 0.1538 0.0830 0.2

10、836 0.1662 0.1178 0.2187 0.1844 0.1388 0.1898 0.1869 0.1544 0.1771 0.1841 0.2000 0.1538 0.1328 0.0756 0.1813 0.1339 0.1023 0.1555 0.1423 0.1160 0.1426 0.1428 0.1252 0.1366 0.2000 0.0192 0.0166 0.0151 0.0060 0.0183 0.0145 0.0091 0.0150 0.0149 0.0109 0.0136 0.0145 0.0121 Columns 15 through 28 0.4651 0

11、.4517 0.4522 0.4610 0.4549 0.4530 0.4583 0.4561 0.4540 0.4569 0.4564 0.4548 0.4562 0.4564 0.2167 0.2313 0.2202 0.2177 0.2267 0.2225 0.2192 0.2242 0.2231 0.2204 0.2229 0.2231 0.2213 0.2224 0.1641 0.1724 0.1804 0.1695 0.1713 0.1774 0.1722 0.1715 0.1755 0.1733 0.1721 0.1743 0.1737 0.1726 0.1410 0.1306

12、0.1345 0.1389 0.1334 0.1340 0.1373 0.1348 0.1342 0.1363 0.1353 0.1346 0.1357 0.1355 0.0131 0.0140 0.0127 0.0129 0.0137 0.0131 0.0130 0.0134 0.0132 0.0130 0.0133 0.0132 0.0131 0.0132 Columns 29 through 31 0.4553 0.4559 0.4562 0.2229 0.2218 0.2222 0.1737 0.1737 0.1730 0.1349 0.1354 0.1355 0.0132 0.013

13、1 0.0132 Subplot(1,2,2),plot(k,Z),grid由上述分析可知，当时间足够长时，该种群按年龄组的分布x(k)将趋向于稳定状态。【3】 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元；据测定每万元每次投

14、资的风险指数如表：项目风险指数（次/万元）A1B3C4D5.5问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？a）X为项目各年初投入向量Xij为i种项目j年的年初投入向量C中的元素Cij为i年末j种项目收回本利的百分比Z为第5年末能拥有的资金本利最大额根据以上建立模型，给出的决策变量：XiA,XiB,XiC,XiD,（i=1,2,，5）分别表示第i年年初给项目A,B,C,D的投资额。年数 项目 12345AX1AX2AX3AX4AX5ABX1BX2B

15、X3BX4BCX3CDX2DMax z=1.1X5A+1.25X4B+1.40X3C+1.55X2Ds.t. X1A+X1B200X2A+X2B+X2D1.1X1AX3A+X3B+X3C1.1 X2A+1.25 X1BX4A+X4B1.1 X3A +1.25 X2BX5A1.1 X4A+1.25 X3BX1B30X2B30X3B30X4B30X3C80X2D100Xij0（ i=1，2，3，4；j=A，B，C，D） c=0 0 0 0 -1.1 0 0 0 -1.25 -1.4 -1.55; Aeq=1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0;-1.1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,1;

16、0,-1.1,1,0,0,-1.25,0,1,0,1,0;0,0,-1.1,1,0,0,-1.25,0,1,0,0;0,0,0,-1.1,1,0,0,-1.25,0,0,0; beq=200;0;0;0;0; A=0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1; b=30;30;30;30;80;100; vlb=0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;vub=; x,fval

17、=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.x = 170.0000 59.4010 0.0000 4.4988 33.5000 30.0000 27.5990 22.8411 30.0000 80.0000 100.0000fval = -341.3500由此可以看出，各年投资额为X的矩阵，最大收益为fval的相反数，为341.35万元。b) c=1,1,1,1,1,3,3,3,3,4,5.5; Aeq=1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0;-1.1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,1;0,-1.1,1,0,0,-1

18、.25,0,1,0,1,0; 0,0,-1.1,1,0,0,-1.25,0,1,0,0;0,0,0,-1.1,1,0,0,-1.25,0,0,0; beq=200;0;0;0;0; A=0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1;0,0,0,0,-1.1,0,0,0,-1.25,-1.4,-1.55; b=30;30;30;30;80;100;-330; vlb=0,0,0,0

19、,0,0,0,0,0,0,0;vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.x = 200.0000 158.5950 136.4355 150.0791 165.0870 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 38.0190 61.4050fval = 1.3000e+003各年投资额为X的矩阵时，风险最小。在本利资金大于330的情况下最小风险系数为1300。【4】 某报童每天从发行商处购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.如果每份报纸的购进价0.8元，每份报纸的零售价为1元，每份报纸

20、的退回价为0.75元.每天报纸的需求量是随机的，现收集了159天的报纸需求量的情况如下表：表中需求量在100119天的天数为3天，其余类推。需求量100119120139140159160179180199200219220239240259260279280299天数3912233235201582（1）将报纸的需求看为离散型，在计算有关数据时取小区间的中点，为报童提供最佳决策。（2）若认为报纸的需求量服从正态分布，报童的最佳决策又是什么？（1）单周期存储模型需求为离散型随机变量：需求量100-119120-139140-159160-179180-199天数39122332P3/1599/

21、15912/15923/15932/159中值110130150170190需求量200-219220-239240-259260-279280-299天数35201582P35/15920/15915/1598/1592/159中值210230250270280 b=0.8;a=1;c=0.75; q=(a-b)/(a-c); r=3,9,12,23,32,35,20,15,8,2; rr=sum(r); x=110:20:290; s=sqrt(r*(x.2)/rr-mean2); n=norminv(q,mean,s)n = 232.0302 mean=r*x/rrmean = 199.

22、5597所以报童的最佳决策为购进233份报纸零售。（2）取均值=199.6，标准差=38.7 b=0.8;a=1;c=0.75; q=(a-b)/(a-c); n=norminv(q,199.6,38.7)n = 232.1707所以报童的最佳决策为购进233份报纸零售。【5】 自己给出一个资源最优利用问题，建模求解并求各种资源的影子价格。求最优生产计划，使公司获利最大，并计算影子价格某工厂生产甲、乙两种产品，已知制成一吨产品甲需用资源A3吨，资源B4m3；制成一吨产品乙需用资源A2吨，资源B6m3，资源C7个单位。若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万元，三种资源的限制量分别为90吨、

23、200m3和210个单位，试决定应生产这两种产品各多少吨才能使创造的总经济价值最高？并计算资源A，B，C的影子价格。资源A（吨）资源B（m3）资源C（单位）利润（万元）产品甲3407产品乙2675资源限制量902002101）设生产A产品X1件，生产B产品X2件，Z为所获利润，将问题归结为如下的线性规划问题：Min z= -（7X1+5X2）s.t. 3X1+2X2904X1+6X22007X2210X10，X20Matlab程序 f=-7;5; A=3,2;4,6;0,76; b=90;200;210;lb=0;0; x,fval,exitflag,output,lambda=linprog

24、(f,A,b,lb)Optimization terminated.x = 14.0000 24.0000fval = -218.0000exitflag = 1output = iterations: 5 cgiterations: 0 algorithm: lipsollambda = ineqlin: 3x1 double eqlin: 0x1 double upper: 2x1 double lower: 2x1 double由上可知，生产甲种产品14吨，乙种产品24吨可使创建的总经济价值最大，最高经济价值为218万元。2） b=90,200,210; a=-3,-4,0;-2,-6,-7; c=-7,-5;y,fval=linprog(b,a,c)Optimization terminated.y = 2.2 0.1 0可知资源A，资源B，资源C的影子价格分别为2.2元/吨,0.1元/ m3,0元/单位。