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数与代数数与代数的教学案例1教程文件
第二篇小学数学教学实践
第一章数与代数教学研究
第三节数与代数的教学案例及整数的认识教学
教学内容：
数与代数的教学案例：
数豆子、千克和克的初步认识。
教学目标：
通过两个“教学过程”的阅读与分析，体会小学数学（数与代数）教学活动的一般特征，进一步体会数与代数教学实施的基本原则，也能够体会数学课堂教学应该怎能样体现数学课程理念。
教学要点：
一、数与代数的教学案例分析
（一）数与代数的教学案例1：
数豆子
课前，老师准备了一袋红豆，每组分一小袋，让学生在课堂动手数豆子。
活动一：
学生在活动中估一估、数一数
板书：
数豆子。
（没等说明要求学生就已经数了起来）
师：
既然小朋友们对数豆子这么感兴趣，下面，就由大家自由数豆子，想怎么数就怎么数，想数多少就数多少。
5分钟过去了。
老师：
怎么数的？
数了多少粒？
生：
一粒一粒数的，数了50粒；两粒两粒数的，数了100粒；5粒5粒数的，数了一大堆；……
（老师表扬小朋友们后，捏了一小撮豆子放在投影仪上）
师：
现在不数了，我们大家估一估这里有多少粒豆子，看谁估计的数最接近实际数？
学生把手举的很高。
生：
约7粒；约10粒；约13粒；……估计的数都没超过15粒。
师：
现在我们一粒一粒地数，……，共32粒。
师：
大家再估计一下豆子大约有多少粒？
生：
30粒、大约25粒、大约28粒、……
师：
下面进行估数比赛。
每人轮流捏一小撮豆子放在文具盒的盖子里，让同组其他小朋友估一估有多少粒，再数一数。
谁估计的数与实际最接近谁就获胜了。
小朋友位估得很认真。
数得很细致，只听得教室里1、2、3、……的数豆子声。
获胜的小朋友兴奋得叫起来。
……
活动二：
10粒、100粒豆子有多少
实物投影：
放豆子的小盒（事先已经放进200粒豆子）
师：
请小朋友们估一估盒里有几百粒。
学生又开始凭空乱猜。
师：
现在每个小朋友数出10粒豆子，感觉一下10粒豆子有多少。
每组数出100粒豆子。
有的很聪明，5个人都把自己数的10粒拿出来合在一起，就是50粒，每个小朋友再数10粒与前面的50粒合起来就是100粒了。
师：
现在小朋友任意抓出一把豆子，估一估有多少粒，并说说是怎么想的。
有的组以100粒为一份，看能分几份，那么就是几百粒。
有的组把数好的100粒豆子放在学具里面，再用学具作为量器来量要估计的豆子约有多少粒。
学生玩得很开心，在玩中掌握了估计的方法。
活动三：
估一估生活中物体的数量
师：
谁能说出自己身边的物体或事物的数目？
很多小手就举了起来。
生1：
我们班大约有43个小朋友。
师：
我们班有43个小朋友，这个“43”是一个确定的数字，不是估计出来的。
生2：
校园里大约停了10辆车。
生3：
花坛里大约开了20朵花。
生4：
校园里大约有50棵树。
生5：
老师大约40岁。
师：
40岁？
老师有这么老吗？
你妈妈多大？
生5：
50岁！
师：
你爸爸今年多少岁？
生5：
70岁！
小朋友们都笑了起来。
老师又让另一小朋友说，回答更令人吃惊。
生6：
我妈妈今年20岁，爸爸30岁。
这显然是不可能的事。
课后，老师了解了两位学生的情况，原来其父母都是30多岁。
……
这三个教学片断的教学过程表明：
从教学活动的科学性来看：
一是数豆子的教学活动操作性比较强，符合学生的心理特点，因此，学生学习比较感兴趣；二是数豆子的教学活动的形式比较丰富，内容的安排遵循循序渐进的教学原则。
从教学活动的目标上来看：
一是数豆子的教学活动旨在发展学生的数感，而发展学生数感的数学活动有自由地数豆子、估计投影中一小撮豆子、估数比赛，还有估计大数量、估计不同物体数量；二是数豆子的教学活动还旨在让学生感知估计“大数量（200）”的豆子的方法（以少估多）；三是数豆子的教学活动还安排了不同物体数量的估计活动，重视还让学生感知数学与生活的密切联系，了解数学的价值，增进学好数学的信心。
从教学活动的效益上来看：
充分体现了传统教学的特点，只有活动与训练，很少有回顾反思与感悟提升。
一是活动过程中缺乏对数学方法的概括总结（没有重点地进行“以少估多”的方法总结，也就是说，通过观察操作没有建立数学模型）；二是活动过程中没能正确把握估计的主体地位（特别是在活动三中，学生：
班级大约有43个小朋友，教师：
这个43是个确定数，不是估计出来的，问题在于这个学生也许不能确定是否是43个，因此，他完全有可能是一种估计的结果；三是活动过程中不能正确地估计的前提条件，在课堂上“估计”校园内的车辆与树木，严格地说这是想像估计，是以平时对校园内的树木与车辆的观察为基础的，没有这种观察经验，那么学生是无法进行估计的。
还有“猜老师的年龄，40岁？
老师有怎么老吗？
”，一是学生不知道“以貌取人”，二是估计的结果允许有较大误差，不要说40岁，即使估成50岁也是正确的。
后面估计父母亲的年龄，更显现出瞎猜成份。
从数学活动的宏观层面上看：
数豆子的教学活动还存在着一些探讨的问题。
第一、数感不是数学教学目标的全部，因此，我们没有必要为了数感去专门开发培养数感的数学活动。
事实上，数学教学实质上是数学思想方法，数学教学活动更多的是发现问题、提出问题、分析问题、解决问题（探索性问题与应用性问题解决）的教学，因此，我们更多的应该在以问题解决为核心的数学活动中来发展数感，估计、估算也应该结合问题解决（探索性活动）来教学。
第二、数豆子看起来是生活中的事情，满足数学课程贴近学生生活的要求，事实上，生活中什么时候需要这样数豆子呢？
因此，这种活动更类似于虚拟的数学活动（贴近生活的假象），旨在发展学生数感、建立估计的数学模型。
从数学活动的设计上看：
数豆子的教学活动必须明确教学活动的逻辑进程：
创设情境（精确数豆子转向估计豆子）——建立模型（“以少估多”，怎样估计“单位体积”有多少颗豆子，怎样估计“更大的单位体积”有多少豆子）——解释应用（窖藏包菜的估计、教室容纳人数的估计）（拓展（猜年龄是一种难度上的增加，也是估计模型的拓展，因为，估计的参照体系（相貌）具有欺骗性））。
（二）数与代数的教学案例2：
克与千克的初步认识（教学片断）
……
（投影显示各种各样的秤）
师：
这些工具大家认识吗？
谁能上来介绍一下？
生1：
这是天平，是称较小的东西。
生2：
这是电子秤，我在超市里看到，它称出的重量比较精确。
师：
说得真好！
生3：
它叫弹簧秤，妈妈用它称菜，看看菜农是不是短斤缺两。
师：
真有自我保护意识，很好！
生4：
这个称，我不知道它的名字，只知道它是用来称很重很重的东西。
师：
哪些东西呢？
生4：
它用来称大米，我还看到过称黄沙。
师：
这个秤，我们把它叫做磅秤。
生5：
这个秤常在菜场里看到，妈妈告诉我，这叫台秤。
生6：
这个秤我见那些挑担卖水果的阿姨用，叫杆秤。
师：
刚才我们已经认识了这些工具，虽然名称不一样，但都有相同的作用，那是什么呢？
生：
都能称东西的重量。
师：
很好，物体的重量，科学地说是物体的质量。
要精确地称出物体的质量，除了看工具上的刻度之外，还要有合适的单位；今天我们就一起来研究质量单位。
板书：
质量单位
[计量工具与质量单位，确实有着紧密的联系，“克与千克”的教学由不同的计量工具的认识活动中引入，看似贴近学生生活，看似源于生活实际，看似关注学生的生活经验，但事实上，不是先有计量工具后有计量单位，而是先有单位后有工具及工具改进与创新，因此，这样的引入似乎存在着违背数学知识发生发展的顺序，当然，也就逃不出违背学生认知规律的嫌疑。
显然，这样的引入缺乏自然性，完全又是一颗陨石从天而降！
]
师：
根据这个课题你们想了解哪些知识？
[这一课题“质量单位”，如果对质量及单位等概念有所了解，那么学生可以说出一些我想进一步了解的知识；如果学生没有一定的经验及知识基础，那么学生（在什么都不知道的情况下）是难以提出我想知道什么的。
]因此，[“质量单位”是一个十分抽象的概念，学生对这样的数学概念并不清楚它的意义以及形成的基础，因此，关于这个概念想了解什么的提问，并不一定会给学生的学习带来一些方向的引领。
]
……
师：
大家通过看书研究了很多问题。
下面再一起研究一个问题：
西瓜用什么秤称合适呢？
生：
台秤。
教师介绍台秤和质量单位——千克，围绕同学们感兴趣的台秤，分小组开展操作活动。
称一称
生：
学生动手称苹果（千克）、盐（500克，两袋）、洗衣粉（250克，4袋），看看是否重1千克。
数一数
师：
1千克的盐有几袋？
1千克的洗衣粉有几袋？
1千克的苹果有几袋？
生：
数数燕汇报结果，发现：
每组1千克苹果的个数不同。
师：
奇怪，这是怎么回事呢？
（学生有的挠着头，有的皱着眉。
教师拿起学生称的1千克但个数不同的苹果，同学们一看马上就明白了，纷纷抢答。
）
生：
苹果有大有小，大的称得少，小的称得多。
掂一掂
师：
现在大家掂一掂，用手掂的1千克物品，再在组内交换物品掂，边掂边闭上眼睛体会1千克约有多重。
找一找
师：
现在大家再找一找，在三个外形一样而质量名异的盒子，只用手掂找出质量1千克的盒子。
学生跃跃欲试，找出重1千克的盒子，沉浸在成功的喜悦中。
师：
刚才有的同学汇报说一个小方块质量大约是一克？
你怎么知道一个小方块的质量就是1克？
生：
书上说的。
师：
单凭书上的结论学习还远远不够，我们要想办法自己去验证。
请大家仔细看。
（演示）
试一试
师：
我们把天平的刻度指向1千克处，再将要称的小方块放在左边的托盘里，左右两边基本平衡了就说明了小方块的质量约千克。
1千克=1000克
师：
现在用手掂小方块，感受1千克有多重。
可以先用掂的方法来估计出它的质量，也可以用实验的方法来称出物体的质量。
想一想
师：
还有哪些物体的质量大约是1千克。
请大家四人小组为单位，先估计再试验，最后，做好记录。
……
师：
要知道物体的质量，不能光看形状、颜色和大小，而是要看它们的实际分量。
……
师：
现在以今天学习了什么，有什么收获？
谁愿意发表一下自己的见解。
生1：
我认识了质量单位一千克
生2：
学会了用台秤称物体的质量，以后上街买东西再也不会受人骗了。
生3：
我知道了称较轻的物品用克作单位较合适，称重的物品用千克作单位比较合适。
师：
（用多媒体出示一头大象）刚才大家学得很好。
如果要表示这头大象的重量，用克或千克作单位合适吗？
用什么作单位比较合适呢？
这个单位我们以后学习。
师：
同学们课后去找一找，看哪些物品的质量是1克或1千克，先猜一猜，再掂一掂，然后称一称，看看自己的估计准确吗？
并把经历和体验写下来和同学交流。
[“克与千克”的教学非常重视对克与千克的两个单位重量的体验，对于发展学生的“重感（事实上也是一种数感，只是这种用于感知的数量及数量单位缺乏具体直观的性质，不能通过视觉来判断，而是需要用特殊的感知方式“掂”来估计。
显然，在这个教学活动中，这种“掂”表现的非常充分，例如：
安排称一称、数一数、掂一掂、找一找、猜一猜、想一想等活动来感知一千克的重量及1千克与克之间的关系）”体现得非常充分，也是非常有效的。
显然，这些发展学生“重感”的数学活动中，不仅学生的想像、猜测、验证等数学能力得到了发展，而且学生有了一些关于探索事物重量的过程与方法的体验，只不过这些体验都是验证性巩固性的探索体验，并非是探索发现数学知识的体验。
]
[在克与千克的认识教学中，教师安排各种感知物体重量的数学活动，这些活动都与生活物品相关，这些物品有苹果、小方块、盐、洗衣粉，还有各种称量工具，充分表明教师已经关注到学生的数学学习活动必须贴近生活，学习素材必须源于生活。
]
（三）案例给我们的教学启示
数与代数教学的一般过程：
从学生已经的经验出发；经历不断地数学化（数学知识的探索发现）的过程，建立合理有效的数学模型，并对数学模型进行解释应用和拓展。
数与代数教学活动进程的设计安排需要凸显思路清晰性、进程自然性、主题明确性的特点。
二、整数概念的教学
（一）教学情况分析
在数学课程标准下，小学数学数的概念教学内容，一般包括：
整数的认识、数的整除性、分数认识、小数的认识、百分数认识。
教学内容：
整数概念教学的总体要求；整数概念教学的总体思路；整数概念教学的阶段特点；整数概念教学的具体过程。
分数（小数、百分数、真假分数、分数的基本性质）概念。
表10-2-3-01整数的认识教学内容分布
0~9
10~9999
万以上
分数小数
负数
一上
数一数P4
比一比P5
1~5数的认识P14
0的认识P29
6~10数的认识P42
11~20数的认识
P84
一下
100以内数的认识
P31
二上
二下
万以内数的认识
1000以内P68
10000以内P73
三上
分数的初步认识
P91
三下
小数的初步认识
P88
四上
大数的认识P2
亿有多大？
P33
小数的意义与性质P50
四下
五上
五下
分数的意义P60
真假分数P69
六上
百分数P77
六下
负数P1
图10—2-3-018&9数的认识教材截图
（二）整数概念教学
1．整数概念的教学总体要求
知识性目标
⑴通过具体情境和实际操作，经历从实际情境中抽象出数的过程，使学生理解和掌握数的实际意义，认识各计数单位的名称及相邻单位之间的十进关系，了解数的顺序和大小；⑵结合直观使学生了解数的组成，知道1~9各数是由哪两个数合成的，10以上的数是由哪几个单位的数合成的；⑶结合直观认识名称和顺序，知道一个数字在不同数位上所表示的数值不同；⑷掌握数字四位一级的读写规律，会读、写整数，会运用整数在日常生活中进行表达和交流，体验数与生活的密切联系。
过程性目标
⑴经过数的抽象过程、计数单位的创造过程、数量信息的传递过程，发展学生的创新意识、创新精神、创新能力；⑵经过实际的计数过程，进一步了解数与生活的密切联系，感知数学的价值，增强学好数学的信心；⑶经过观察思考、动手实践、自主探索、合作交流、回顾总结等学习活动，发展学生的观察能力、思考能力、操作能力、探索能力、交流能力及反思习惯；⑷通过对不同事物数量的估计，掌握基本的估计方法，发展学生的数感。
2．整数概念的教学总体思路
数的概念的教学过程设计，一般情况下需要分四步考虑，第一步：
创设情境。
为学生提供熟悉的感兴趣客观事物，创设贴近学生生活的学习情境；第二步：
提取（保存）信息。
通过数一数观察感知事物的数量，并要求学生能够逐渐改进数物体的方法，提高数数的速度和整体感物体数量的能力，为不断地创造新的计数单位奠定基础，这里包含着数数方法的创造、记法的创造和读法的创造；第三步：
信息交流。
小组之间说一说事物的数量，并试着用一个符号来表示事物的数量，需要让学生经历发散、比较、优化和统一的过程，弄清组成数的计数单位，尝试着用基本的方法读数和写数；第四步：
实践与应用，解决问题。
通过比较计数单位的多少，形成数的大小比较方法。
通过事物的重新组合，理解数的分解与组成。
估计物体的数量，培养学生的数感。
用数字进行编码。
3．整数概念教学的阶段特点
第一阶段10以内0~9各数的认识需要学生掌握一一对应的数数方法，了解序数与基数的意义，让学生明白每个数字都有单独的读写方法。
第二阶段100以内10~99各数的认识需要学生知道数数可以有不同的计数单位，明确新的计数单位可以提高数数的速度和效率，知道100以内数的组成是一种特殊的情况。
第三阶段万以内100~9999各数的认识，形成了四个基本的计数单位，需要学生明白各个计数单位之间的关系和读写数的基本原理（让人清楚地知道究竟有多少计数单位）。
第四阶段多位数的认识，需要学生进一步认识计数单位形成的一些基本规律，明确各计数单位之间的基本关系，正确掌握多位数的读写，弄清基本读写的基础上，形成分级读写数的方法。
整数概念教学的总体思路是探寻数的认识的基本规律，解决设计教学过程的普遍性问题，是“举一反三”中的“一”，具有特殊的意义。
各阶段的数具有不同的特点，是教学过程中的重点和难点之所在，如何突破需要各显神通！
整数概念的教学目标设计：
知识性目标一般需要考虑正确地读写数，了解数的组成，能够比较数的大小，了解数位顺序；过程性目标一般需要考虑体会数学与生活的密切联系，感知“交流”是引发“创造”的重要途径
4．整数概念教学各阶段教学的具体分析：
第一阶段：
0~9数的认识
▲0~9数的认识教学目标陈述
知识性目标：
会数、会读、会写0~9的数；知道0~9的数的大小与顺序；能够对0~9的数进行数的分解与组成，能够一眼看出0~5的物体数目。
过程性目标：
体会数学与自然及人类社会的密切联系；经历抽象出数的过程；感知“交流”是产生数的基本途径；能够感知物体的有效组合可以提高数数速度。
▲1~9数的认识教学过程设计
第一步：
描述物体的数量。
⑴数：
通过数实物感知数的含义，知道数到最后的一个数就是物品的个数。
⑵说：
五个物品可以用“五”表示，“五”可以表示五个人、五本书、五辆车、五座桥、五架飞机、五颗星星。
⑶写：
五个物品可以用符号来表示，让学生想象和创造表示五个物品的符号，然后，说明生活中传递信息需要一致的符号，最后统一用“5”表示。
写数的顺序一般需要经历看写、书空、描红、临摸、独立写的过程；
第二步：
了解数的属性与相互关系。
⑴比较多少与大小：
通过让学生观察物品数量的多少，建立数的大小概念，并借助物品的多少来比较数的大小，然后逐步过渡到直接对数比较大小；
⑵生活的有序性与数的大小顺序：
数的顺序严格地说，是多种多样的，只要符合一定的规律即可，但学生学习的数的顺序主要指由小到大的自然数列的顺序，并让学生感知数列中的一些性质，如左小右大，前小后大，相邻两数相差1，这些主要可以通过观察直尺的刻度来学习。
⑶物品的分离、组合与数的分解、组成：
通过对分离前后物品的数量的分析，逐渐感知数的分解与合成原理、数的分解的多样性与合成的唯一性，引导学生探寻数的分解规律，提高分解速度。
运用多媒体手段演示物品分离过程，使分离前后的物品始终具有可视性，教学效果会更好。
第三步：
发展学生的数感：
让学生观察不同物品的集合，尽快说出相关的数，培养学生一次性感知物品数量的能力。
说明⑴，关于“0”的教学。
“0”表示没有物品，具有不可见性，对学生来说更为抽象，对“0”的认识和理解需要更强的想象能力。
教学时，一般有两种途径让学生体会“0”的意义：
第一种，经历物品由多到少的过程感知“0”；第二种，联系生活实际感知“0”，如门牌号、电话按键、温度、零刻度线等。
说明⑵，关于“7”的教学。
实践中发现与“7”相关的数学运算，学生发生的错误率比较高，需要加强“7”的分解教学和相邻关系的理解教学。
第二阶段：
10~99数的认识
▲10~99数的认识教学目标陈述
知识性目标：
会数10~19范围内的物品数量，会数、会读、会写20~99的数，认识计数单位“十”，体会数位的意义，了解数的组成，会比较数的大小，能结合实际进行估计。
过程性目标：
经历从实际情境中抽象出数的过程，体验数与生活的密切联系；能运用百以内的数进行交流；经历估计的过程发展学生的数感；对计数单位“十”的创造有所体验。
▲10~99数的认识教学过程设计
第一步：
数一数，感知形成单位“十”的必要性。
这里需要解决两个问题，第一个是怎样才能更快地数出100以内物体？
第二个是怎样才能提高感知事物数量的速度和能力？
可以设计团体比赛的方法，让学生经历约定的过程，形成整体计数与个体计数相结合的方法。
第二步：
引出数位，解决数的读写与组成的问题。
通过对含有“捆”与“根”的小棒的分类，形成十位与个位的概念，弄清数的组成，明确十位上与个位上“数”的含义，正确地掌握数的读写。
如读数：
十位上的“2”是2捆有二十根，读作“二十”，个位上的“5”是5根，读作“五”，所以“25”读作：
二十五；需要说明的是“15”读作“一十五”简称“十五”。
如写数：
“十八”表示有1个“十”，8个“一”，所以在十位上写“1”，个位上写“8”，合在一起就是“18”。
友情提示：
弄清数的组成是正确读写的基础。
第三步：
了解数的顺序、比较数的大小。
具备了数数和数的读写的基础，学生自己可以按从小到大的顺序写出相关的数，可以认识每个数与之相邻的数之间的关系。
然后，引导学生根据前后关系来比较数的大小，还可以根据计数单位的多少（物体数目的多少）来比较数的大小。
第四步：
估计交流培养数感。
估计一般需要经历两个过程，一是看物体说“数目”，如：
一瓶豆子有多少？
二是看“数”说物体占有空间，如：
80颗豆需要多大的瓶？
第三阶段：
100~999数的认识
▲100~999数的认识教学目标陈述
知识性目标：
会数、会读、会写100~999的数，认识计数单位“百”、“千”、（“万”），进一步体会数位的意义，了解数的组成，会比较数的大小，能结合实际进行估计。
过程性目标：
体验数学与自然及人类社会的密切联系；能运用万以内的数进行交流；经历估计的过程发展学生的数感；对计数单位“百”、“千”、“万”的创造有所体验，探索中间有零的读数方法,进一步应用数的顺序比较大小与计数单位的多少比较大小，经历数学化过程之后形成形式化的比较方法（比位数看首数）。
▲100~999数的认识教学过程设计
第一步：
感受大数，引出新单位。
为学生提供（让学生收集）有关大数的材料，如：
东方明珠塔四百六十八米，珠穆朗玛峰高八千八百四十八米，肉眼可见的星星约三千颗，我国鸟类一千一百六十六种等，学生认识新单位“百”、“千”。
其实，可以结合搭积木的游戏让学生经历“百”“千”“万”的创造过程，根据十个“1”给出一个新单位的经验，提出十个“10”可以给出一个新单位的想法，引导学生开展“搭积木”游戏，明确用“百”、“千”、“万”做新单位的合理性，扩大数位表，总结各计数单位之间的关系。
第二步：
分析数的组成，解决数的读写。
根据百以内数的组成经验，分析万以内数的组成应该没有多大的问题，可以通过让学生讨论具体的数含有哪些计数，有多少计数单位来解决。
万以内数的读写，主要是从高到低描述计数单位的过程，读就是说出每个数位有几个计数单位，写就是写出每个数位上有几个计数单位，从而形成基本的万以内数的读写方法。
然而，对于读数特别是有零的数，需要不断优化它的读法。
友情提示：
拨一拨、写一写、读一读，利用计数器是一个好的注意，从无零到有零，从一个零多个零，从中间有零到末尾有零是一个合理的程序。
第三步：
比较数的大小。
让学生经历比较两个数计数单位的多少来决定两个数的大小的过程，逐渐形成形式化的比较方法：
比位数看首数。
可以通过猜数游戏进一步熟悉和巩固数的大小比较方法。
第四步：
感知一千与一万，培养学生和数感。
感知大数，一般需要对同一种物体的不同数目进行感知，也要不同物体的同一数目进行感知。
第四阶段：
多位数的认识
▲多位数的认识教学目标陈述
知识性目标：
会数、会读、会写多位数，认识计数单位“十万”、“百万”、“千万”、“亿”等，了解各计数单位之间的关系，进一步体会数位的意义，掌握数位表的结构，能用形式化的方法比较数的大小，了解十进制计数法，会求数的近似值。
过程性目标：
经历编排学号与座位号的过程，进一步体验数学与自然及人类社会的密切联系；对计数单位“万”、“十万”、“百万”、“千万”、“亿”等单位的形成过程有所体验，探索大数读写方法，进一步应用数的顺序比较大小与计数单位的多少比较大小，经历数学化过程之后形成形式化的比较方法（比位数看首数）。
▲多位数的认识教学过程设计
第一步：
认识大数，引出新单位。
从实际生活中收集大数，感知新的计数单位；运用逻辑推理的方法，推测新的计数单位。
扩展数位顺序表，明确各个计数单位之间的关系，尝试对计数单位
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