lim,limnnnnxayb
....
..
判别法则:
1.夹逼法则:
若.N,当n>N时,xn≤yn≤zn,且xn=zn=a,则yn=a。
limn...
2.单调收敛原理:
单调有界数列必收敛。
注:
任何有界的数列必存在收敛的子数列。
3.柯西收敛准则:
数列{xn}收敛的充要条件是:
对于任意给定的正数ε,都存
在正整数N,使得当m,n>N时,有|xm-xn|<ε。
1.3函数的极限
性质:
极限唯一性,局部有界性,局部保序性。
判别法则:
1.夹逼法则:
若,且存在x0的某一去心邻域
,均有f(x)≤g(x)≤h(x),则。
00lim()lim()
xxxxfxhxA
..
..
00(,)(,)
ooUxxUx....,使得
0lim()
xxgxA
.
.
2.单调收敛原理:
单调有界函数必收敛。
3.柯西收敛准则:
函数f(x)收敛的充要条件是:
.ε>0,.>0,.x’,x’’∈,
有|f(x’)-f(x’’)|<ε。
0(,)
oUx.
4.海涅(Heine)归结原则:
的充要条件是:
对于任何满足
的数列{xn},都有。
0lim()
xxfxA
.
.
0limnnxx
..
.lim()nnfxA
..
.
归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的,例如可以挑选一个
收敛于该点的自变量x的数列{xn},而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛;或
者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n},而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)}
却具有不同的极限。
1.4无穷小与无穷大
若,当时,则称x→x0时称α(x)是β(x)的
0()
lim()xxxlx
.
..
.
001l
...
..
...
()(())
()(())
()~()
xoxxOxxx
..
..
..
..
.
..
..
高阶无穷小,记作
同阶无穷小,记作
等阶无穷小,记作
常用等价无穷小
2sintanarcsinarctan1ln
(1)~
11cos~
(1)1~1~ln2xaxxxxxexxxxxaxaxa
.......
......
若f(x=0),f’(0)≠0,则201()(0)
2xftdtfx..
确定等价无穷小的方法:
1.洛必达法则,2.泰勒公式
1.5连续函数
极限存在.左右极限存在且相等。
连续.左右极限存在且相等,且等于该点函数值。
简断点:
1.第一类间断点,左右极限不相等,或相等但不等于该点函数值;2.
左右极限至少有一个不存在。
闭区间上连续函数的性质:
有界性,最值性,介值性,零点存在定理。
1.6常见题型
求极限的方法:
1.四则运算;2.换元和两个重要极限;3.等价无穷小替换;4.
泰勒公式;5.洛必达法则;6.利用函数极限求数列极限;
7.放缩法;
求极限,就要将数列xn放大与缩小成:
zn≤xn≤yn.limnnx
..
8.求递归数列的极限
(1)先证递归数列{an}收敛(常用单调收敛原理),然后设,再对递
归方程取极限得A=f(A),最后解出A即可。
limnnxA
..
.
1()nnafa..
(2)先设,对递归方程取极限后解得A,再用某种方法证明
。
limnnaA
..
.
第2章导数与微分
2.1求导法则和求导公式
求导法则:
1.四则运算法则
[αu(x)+βv(x)]’=αu’(x)+βv’(x)[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)
2()()()()()
[]
()()
uxuxvxuxvxvxvx
...
..
2.复合函数求导
([()])[()]()fxfxx.......
关键在于区分哪些是中间变量,哪些是自变量
3.反函数求导11[()]
()
fyfx
...
.
4.隐函数求导
5.参数式求导
223()()()()()()
,
()()[()]
xxtdyytdyytxtytxtyytdxxtdxxt
..........
...
....
6.对数求导法
7.分段函数求导
(1)按求导法则求连接点处的左右导数
设00000(),
(),()(),().
(),
gxxxxfxgxhxAfxAhxxxx
.
...
....
........
....
若则
(2)按定义求连接点处的左右导数
设000000(),
()()
(),,
()()
(),
gxxxxgxfxxfxAxxgxhxhxxxx
.
...
.......
..................
.........
与在点处无定义,
可按定义求与
(3)对于
0000000()()
(1)()()lim(),
(),
(2)()lim()
xxxxfxfxfxfxgxxxxxfxAxxfxfx
.
.
.
..........
......
很复杂,按定义求,
否则,先求出,再求
8.变限积分求导
()
()
(),(())()(())()
xxdyyftdtfxxfxxdx
.
.
..........
求导公式:
1()0()
()ln1(log)
lnxxaCxxaaaxxa
....
..
..
..
..
22(sin)cos(cos)sin(tan)sec()csc(sec)sectan(csc)cscxxxxxxctgxxxxxxxctgx
..
...
..
...
...
....
22221(arcsin)
11(arccos)
11()
11()
1xxxxarctgxxarcctgxx
..
.
...
.
..
.
...
.
2.2高阶导数和高阶微分
求高阶导数的方法:
1.莱布尼茨(Leibniz)公式:
()()()
0(()())()()
nnkknknkuxvxCuxvx.
.
..
2.常用公式
()()axbnnaxbeae...
()(sin())sin()
2nnnaxbaaxb.....
()(cos())cos()
2nnnaxbaaxb.....
()(())
(1)...
(1)()nnnaxbanaxb............
()
11
(1)!
()
()
nnnnnaaxbaxb.
.
.
..
()11(ln())
(1)
(1)!
()
nnnnaxbanaxb
.....
.
3.分解法
分解为上述初等函数之和
第3章中值定理和泰勒公式
3.1中值定理
费马定理:
若是x0是f(x)的一个极值点,且f’(x0)存在,则必有f’(x0)=0(可微
函数的极值点必为驻点),
1.罗尔定理:
若函数f(x)满足以下条件;(i)在闭区间[a,b]上连续;(ii)在开区间
(a,b)内可导;(iii)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=0.
2.拉格朗日定理:
若函数f(x)满足以下条件;(i)在闭区间[a,b]上连续;(ii)在开
区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
.()()
()
fbfafba
.
.
..
.
3.柯西定理:
若函数f(x)和g(x)满足以下条件;(i)在闭区间[a,b]上连续;(ii)在
开区间(a,b)内可导;(iii).x∈(a,b),g’(x)≠0,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
()()()
()()()
fbfafgbgag
.
.
..
.
..
3.2泰勒公式
求泰勒公式的方法:
1.泰勒公式(拉格朗日余项):
()
(1)
10000()()
()()()
!
(1)!
knnknkfxffxxxxxkn
..
.
.
....
..
2.常用麦克劳林公式(带拉格朗日余项)
213521211242221231111!
2!
!
(1)!
sin
(1)
(1)cos3!
5!
(21)!
(21)!
cos1
(1)
(1)cos2!
4!
(2)!
(22)!
ln
(1)
(1)
(1)
23
(1)(1nnxxnnnnnnnnnnnnxxxxeennxxxxxxxnnxxxxxxnnxxxxxxnn
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
......
.
........
..
........
.
.........
..121
(1)
)
(1)
(1)
0121nnnnxxxxxxxnn
..
.
.....
.
.
.............
..................
...........
2111
(1)
211
(1)
1
(1)
112211...
(1)
(1)
(1)
111...
(1)
11(23)!
!
(21)!
!
11
(1)
(1)
(1)
2
(2)!
!
(22)!
!
nnnnnnnnnnkknnkxxxxxxxxxxxxknxxxxxkn
.
.
.
.....
....
..
..
.
.........
.
.......
.
..
........
..
3.逐项求导或逐项积分
若,φ(x)的泰勒公式可以比较方便的求出来,
0()()()()
xxfxxfxtdt......或
然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到f(x)的泰勒公式。
例如:
245355200111arctan
(1)()()
135xxxdtttdtoxxxxoxt
.........
...
3.3函数的极值、最值
驻点,导数不存在的点为极值可疑点。
驻点,导数不存在的点,端点为最值可疑点。
极值判别法则:
1.设点x0为函数f(x)的极值可疑点,f(x)在点x0的邻域内连续,去心邻域内可
微,如果在(x0-δ,x0)内f’(x0)≥0,在(x0,x0+δ)内f’(x0)≤0,则x0必为f(x)的极大
值点。
反之必为极小值点。
2.若点x0是f(x)的驻点且f’’(x0)存在,则当f’’(x0)>0(<0)时,x0必为f(x)的极小
(大)值点。
3.设函数f(x)在点x0处有n阶导数,且,
但,则(i)当n为偶数时,f(x)在点x0处取极值,当时
取极小值,当时取极大值;(ii)当n为奇数时f(x0)不是极值。
(1)
000()()...()0nfxfxfx.......
()
0()0nfx.()
0()0nfx.
()
0()0nfx.
3.4函数作图
定理:
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]
上是凸(凹)函数的充要条件是:
1.f’(x)在开区间(a,b)内单调递减(增)。
2.f(λx1)+(1-λ)x2)<(>)λf(x1)+(1-λ)f(x2),λ∈(0,1).
3.f’’(x0)≤(≥)0.
若函数f(x)在点x0处凹凸性相反,则点x0称为f(x)的拐点。
拐点的必要条件:
f’(x0)=0或f’(x0)不存在。
拐点的充要条件:
f’’(x)经过时变号。
渐近线:
1.垂直渐近线:
x=a是垂直渐近线.或.
0limxa..
..
0limxa..
..
2.斜渐近线:
f(x)=ax+b,或()
lim,lim(())
xxfxabfxaxx......
...
(水平渐近线为其特例)。
()
lim,lim(())
xxfxabfxaxx......
...
函数作图的步骤:
1.确定函数的定义域;
2.观察函数的某些特性,奇偶性,周期性等;
3.判断函数是否有渐近线,如有,求出渐近线;
4.确定函数的单调区间,极值,凹凸区间,拐点,并列表;
5.适当确定一些特殊点的函数值;
6.根据上面提供的数据,作图。
第4章积分
4.1不定积分
4.1.1.基本积分表
1111ln||
1lnsincoscossintanln|cos|cotln|sin|
secln|sectan|
cscln|csccotln|csccotln|tanxxxdxxCdxxCadxaCxaxdxxCxdxxCxdxxCxdxxCxdxxxCxxdxxxCxxC
..
.
...............
.
.........
.........
...
..............
...
..
..
.
.
2222|
2sectancsccottansecseccsccotcsc1arcsinarccos11arctanarccot1CxdxxCxdxxCxxdxxCxxdxxCdxxCxCxdxxCxCx
.
.........
.........
....
.
....
.
..
..
.
.
或
或
2222222222222222222222222111arctanarcsin111ln||ln||
2111ln||ln()
2arcsin222xxdxCdxCaxaaaaxaxdxCdxxxaCaxaaxxaxadxCdxxxaCxaaxaxaxaxaxdxaxCaxxadxxa
............
..
.
..........
...
.
..........
...
.....
...
..
..
..
.
.
22222222222222ln2ln()
22cos(cossin)
sin(sincos)
axaxaxaxaxxaCxaxadxxaxxaCeebxdxabxbbxCabeebxdxabxbbxCab
....
.......
...
.
...
.
.
.
.
不可积的几个初等函数:
2221sincossincoslnxxxexxxxx
.
4.1.2.换元积分法和分部积分法
换元积分法:
1.第一类换元积分法,即凑微分法,合并。
2.第二类换元积分法,拆分。
分部积分法:
()()()()()()uxvxdxuxvxuxvxdx......
4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分
有理函数的积分可以归结为下列四种简单分式的积分:
()
()
()
PxRxQx
.
(1);
(2);Adxxa..
A()ndxxa..
(3);(4)
2Mx+Ndxxpxq...2Mx+N()ndxxpxq...
12222212123()2
(1)()2
(1)nnnndxxnIIxaanxaan..
.
....
.....
三角函数有理式的积分一般用万能代换,对于如下tan2xt.
形式可以采用更灵活的代换:
对于积分,可令tanx=t;22(sin,cos)Rxxdx.
对于积分,可令sinx=t;(sin)cosRxxdx.
对于积分,可令cosx=t,等等。
(cos)sinRxxdx.
某些可化为有理函数的积分
1.型积分,其中n>1,其中ad≠bc。
(,)naxbRxdxcxd
.
..
这里的关键问题是消去根号,可令。
axbtcxd
.
.
.
2.型积分,其中,a≠0。
由于
,故此类型积分可以化为以下三种类型:
2(,Rxaxbxcdx...240bac..
22224()
24bacbaxbxcaxaa
.
.....
,可用三角替换;22(,)Rukudx..sinukt.
,可用三角替换;22(,)Ruukdx..secukt.
,可用三角替换。
22(,)Ruukdx..tanukt.
121tantan1nnnnIxdxxIn
.
....
..
倒代换:
,,由此还可以求出,
2411xdxx
.
..
2411xdxx
.
..411dxx..
241xdxx..
2211sincos,(0)
sincosaxbxdxabaxbx
.
..
..
解:
设,为此应有
,解得,故
11sincos(sincos)(cossin)axbxAaxbxBaxbx.....
11aAbBabAaBb
....
...
11112222,
aabbabbaABabab
..
..
..
11sincos(sincos)
sincossincosaxbxaxbxdxAdxBdxaxbxaxbx
...
....
...
11112222ln|sincos|
aabbabbaxaxbxCabab
..
....
..
4.2定积分
4.2.1.可积条件
可积的必要条件:
若函数f(x)在闭区间[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界。
可积函数类:
闭区间上的连续函数,单调函数,有界且只有有限个间断点。
4.2.2.定积分的计算
1.换元积分法()(())()
bafxdxfttdx
.
.
......
从右到左,相当于不定积分的第一类换元积分法,从左到右,相当于第二类
换元积分法。
2.分部积分法
()()()()|()()
bbbaaauxvxdxuxvxuxvxdx......
常见的积分和式
11()()
()lim()
(1)()()
()lim()
nbaninbaniibabafxdxfannibabafxdxfann
..
.
..
.
..
..
...
..
..
..
1011lim()()
nniiffxdxnn..
.
...
22002002000(sin)(cos)
(sin)2(sin)
(sin)(sin)(sin)
2fxdxfxdxfxdxfxdxxfxdxfxdxfxdx
..
.
.
.
...
.
.
.
..
..
..
...
222001sincos,nnnnnnIxdxxdxIIn
..
.
.
.....
使用分部积分法的常见题型:
被积函数的形式
所用方法
(),()sin,()cosxnnnPxePxxPxx
进行n次分部积分,每次均取
为,sin,cosxexx...()vx.
()ln,()sin,()arctannnnPxxPxarcxPxx
取为()nPx
sin,cosxxexex....
取为,进行两次分部积分xe.
4.2.3.定积分的应用
(1)平面图形的面积
21()()()
2dSfxdxydyrd......
(2)旋转体的体积
22()()2()dVfxdxydyxfxdx.......
(3)弧长、曲率
弧微分公式:
2222()()1()1()dsdxdyfxdxydy.........
2222()()()()xtytdtrrd..........
曲率:
223/223/2|()()()()|||
||
[()()]
(1)
dytxtytxtyKdsxtyty
..........
...
.....
(4)静矩、转动惯量
mr,mr2
(5)122mmFGr
...引力
①均匀细杆质量为M,长度为l,在杆的延长线上离右端为a处有一质量为m
的质点,则质点与细杆之间的引力为F=kMm/a(a+l).
②均匀圆环质量为M,半径为r,在圆心的正上方距离为b处有一质量为m
的质点,则质点与均匀圆环之间