lim,limnnnnxayb
....
..
判别法则：
1.夹逼法则：
若.N,当n>N时，xn≤yn≤zn，且xn=zn=a,则yn=a。
limn...
2.单调收敛原理：
单调有界数列必收敛。
注：
任何有界的数列必存在收敛的子数列。
3.柯西收敛准则：
数列{xn}收敛的充要条件是：
对于任意给定的正数ε，都存
在正整数N，使得当m，n>N时，有|xm-xn|<ε。
1.3函数的极限
性质：
极限唯一性，局部有界性，局部保序性。
判别法则：
1.夹逼法则：
若，且存在x0的某一去心邻域
，均有f（x）≤g（x）≤h（x），则。
00lim（）lim（）
xxxxfxhxA
..
..
00（,）（,）
ooUxxUx....，使得
0lim（）
xxgxA
.
.
2.单调收敛原理：
单调有界函数必收敛。
3.柯西收敛准则：
函数f（x）收敛的充要条件是：
.ε>0,.>0,.x’,x’’∈,
有|f（x’）-f（x’’）|<ε。
0（,）
oUx.
4.海涅（Heine）归结原则：
的充要条件是：
对于任何满足
的数列{xn}，都有。
0lim（）
xxfxA
.
.
0limnnxx
..
.lim（）nnfxA
..
.
归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个
收敛于该点的自变量x的数列{xn}，而相应的函数值数列{f（xn）}却不收敛；或
者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n}，而相应的函数值数列{f（xn）},{f（xn）}
却具有不同的极限。
1.4无穷小与无穷大
若，当时，则称x→x0时称α（x）是β（x）的
0（）
lim（）xxxlx
.
..
.
001l
...
..
...
（）（（））
（）（（））
（）~（）
xoxxOxxx
..
..
..
..
.
..
..
高阶无穷小，记作
同阶无穷小，记作
等阶无穷小，记作
常用等价无穷小
2sintanarcsinarctan1ln
（1）~
11cos~
（1）1~1~ln2xaxxxxxexxxxxaxaxa
.......
......
若f（x=0）,f’（0）≠0,则201（）（0）
2xftdtfx..
确定等价无穷小的方法：
1.洛必达法则，2.泰勒公式
1.5连续函数
极限存在.左右极限存在且相等。
连续.左右极限存在且相等，且等于该点函数值。
简断点：
1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2.
左右极限至少有一个不存在。
闭区间上连续函数的性质：
有界性，最值性，介值性，零点存在定理。
1.6常见题型
求极限的方法：
1.四则运算；2.换元和两个重要极限；3.等价无穷小替换；4.
泰勒公式；5.洛必达法则；6.利用函数极限求数列极限；
7.放缩法；
求极限,就要将数列xn放大与缩小成：
zn≤xn≤yn.limnnx
..
8.求递归数列的极限
（1）先证递归数列{an}收敛（常用单调收敛原理），然后设,再对递
归方程取极限得A=f（A）,最后解出A即可。
limnnxA
..
.
1（）nnafa..
（2）先设，对递归方程取极限后解得A，再用某种方法证明
。
limnnaA
..
.
第2章导数与微分
2.1求导法则和求导公式
求导法则：
1.四则运算法则
[αu（x）+βv（x）]’=αu’（x）+βv’（x）[u（x）v（x）]’=u’（x）v（x）+u（x）v’（x）
2（）（）（）（）（）
[]
（）（）
uxuxvxuxvxvxvx
...
..
2.复合函数求导
（[（）]）[（）]（）fxfxx.......
关键在于区分哪些是中间变量，哪些是自变量
3.反函数求导11[（）]
（）
fyfx
...
.
4.隐函数求导
5.参数式求导
223（）（）（）（）（）（）
,
（）（）[（）]
xxtdyytdyytxtytxtyytdxxtdxxt
..........
...
....
6.对数求导法
7.分段函数求导
（1）按求导法则求连接点处的左右导数
设00000（）,
（）,（）（）,（）.
（）,
gxxxxfxgxhxAfxAhxxxx
.
...
....
........
....
若则
（2）按定义求连接点处的左右导数
设000000（）,
（）（）
（）,,
（）（）
（）,
gxxxxgxfxxfxAxxgxhxhxxxx
.
...
.......
..................
.........
与在点处无定义，
可按定义求与
（3）对于
0000000（）（）
（1）（）（）lim（）,
（）,
（2）（）lim（）
xxxxfxfxfxfxgxxxxxfxAxxfxfx
.
.
.
..........
......
很复杂，按定义求,
否则，先求出，再求
8.变限积分求导
（）
（）
（）,（（））（）（（））（）
xxdyyftdtfxxfxxdx
.
.
..........
求导公式：
1（）0（）
（）ln1（log）
lnxxaCxxaaaxxa
....
..
..
..
..
22（sin）cos（cos）sin（tan）sec（）csc（sec）sectan（csc）cscxxxxxxctgxxxxxxxctgx
..
...
..
...
...
....
22221（arcsin）
11（arccos）
11（）
11（）
1xxxxarctgxxarcctgxx
..
.
...
.
..
.
...
.
2.2高阶导数和高阶微分
求高阶导数的方法：
1.莱布尼茨（Leibniz）公式：
（）（）（）
0（（）（））（）（）
nnkknknkuxvxCuxvx.
.
..
2.常用公式
（）（）axbnnaxbeae...
（）（sin（））sin（）
2nnnaxbaaxb.....
（）（cos（））cos（）
2nnnaxbaaxb.....
（）（（））
（1）...
（1）（）nnnaxbanaxb............
（）
11
（1）!
（）
（）
nnnnnaaxbaxb.
.
.
..
（）11（ln（））
（1）
（1）!
（）
nnnnaxbanaxb
.....
.
3.分解法
分解为上述初等函数之和
第3章中值定理和泰勒公式
3.1中值定理
费马定理：
若是x0是f（x）的一个极值点，且f’（x0）存在，则必有f’（x0）=0（可微
函数的极值点必为驻点），
1.罗尔定理：
若函数f（x）满足以下条件；（i）在闭区间[a,b]上连续；（ii）在开区间
（a,b）内可导；（iii）f（a）=f（b），则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f’（ξ）=0.
2.拉格朗日定理：
若函数f（x）满足以下条件；（i）在闭区间[a,b]上连续；（ii）在开
区间（a,b）内可导，则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得
.（）（）
（）
fbfafba
.
.
..
.
3.柯西定理：
若函数f（x）和g（x）满足以下条件；（i）在闭区间[a,b]上连续；（ii）在
开区间（a,b）内可导；（iii）.x∈（a,b）,g’（x）≠0，则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得
（）（）（）
（）（）（）
fbfafgbgag
.
.
..
.
..
3.2泰勒公式
求泰勒公式的方法：
1.泰勒公式（拉格朗日余项）：
（）
（1）
10000（）（）
（）（）（）
!
（1）!
knnknkfxffxxxxxkn
..
.
.
....
..
2.常用麦克劳林公式（带拉格朗日余项）
213521211242221231111!
2!
!
（1）!
sin
（1）
（1）cos3!
5!
（21）!
（21）!
cos1
（1）
（1）cos2!
4!
（2）!
（22）!
ln
（1）
（1）
（1）
23
（1）（1nnxxnnnnnnnnnnnnxxxxeennxxxxxxxnnxxxxxxnnxxxxxxnn
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
......
.
........
..
........
.
.........
..121
（1）
）
（1）
（1）
0121nnnnxxxxxxxnn
..
.
.....
.
.
.............
..................
...........
2111
（1）
211
（1）
1
（1）
112211...
（1）
（1）
（1）
111...
（1）
11（23）!
!
（21）!
!
11
（1）
（1）
（1）
2
（2）!
!
（22）!
!
nnnnnnnnnnkknnkxxxxxxxxxxxxknxxxxxkn
.
.
.
.....
....
..
..
.
.........
.
.......
.
..
........
..
3.逐项求导或逐项积分
若，φ（x）的泰勒公式可以比较方便的求出来，
0（）（）（）（）
xxfxxfxtdt......或
然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到f（x）的泰勒公式。
例如：
245355200111arctan
（1）（）（）
135xxxdtttdtoxxxxoxt
.........
...
3.3函数的极值、最值
驻点，导数不存在的点为极值可疑点。
驻点，导数不存在的点，端点为最值可疑点。
极值判别法则：
1.设点x0为函数f（x）的极值可疑点，f（x）在点x0的邻域内连续，去心邻域内可
微，如果在（x0-δ,x0）内f’（x0）≥0，在（x0,x0+δ）内f’（x0）≤0，则x0必为f（x）的极大
值点。
反之必为极小值点。
2.若点x0是f（x）的驻点且f’’（x0）存在，则当f’’（x0）>0（<0）时，x0必为f（x）的极小
（大）值点。
3.设函数f（x）在点x0处有n阶导数，且，
但，则（i）当n为偶数时，f（x）在点x0处取极值，当时
取极小值，当时取极大值；（ii）当n为奇数时f（x0）不是极值。
（1）
000（）（）...（）0nfxfxfx.......
（）
0（）0nfx.（）
0（）0nfx.
（）
0（）0nfx.
3.4函数作图
定理：
设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，则f（x）在[a,b]
上是凸（凹）函数的充要条件是：
1.f’（x）在开区间（a,b）内单调递减（增）。
2.f（λx1）+（1-λ）x2）<（>）λf（x1）+（1-λ）f（x2）,λ∈（0,1）.
3.f’’（x0）≤（≥）0.
若函数f（x）在点x0处凹凸性相反，则点x0称为f（x）的拐点。
拐点的必要条件：
f’（x0）=0或f’（x0）不存在。
拐点的充要条件：
f’’（x）经过时变号。
渐近线：
1.垂直渐近线：
x=a是垂直渐近线.或.
0limxa..
..
0limxa..
..
2.斜渐近线：
f（x）=ax+b,或（）
lim,lim（（））
xxfxabfxaxx......
...
（水平渐近线为其特例）。
（）
lim,lim（（））
xxfxabfxaxx......
...
函数作图的步骤：
1.确定函数的定义域；
2.观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等；
3.判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线；
4.确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表；
5.适当确定一些特殊点的函数值；
6.根据上面提供的数据，作图。
第4章积分
4.1不定积分
4.1.1.基本积分表
1111ln||
1lnsincoscossintanln|cos|cotln|sin|
secln|sectan|
cscln|csccotln|csccotln|tanxxxdxxCdxxCadxaCxaxdxxCxdxxCxdxxCxdxxCxdxxxCxxdxxxCxxC
..
.
...............
.
.........
.........
...
..............
...
..
..
.
.
2222|
2sectancsccottansecseccsccotcsc1arcsinarccos11arctanarccot1CxdxxCxdxxCxxdxxCxxdxxCdxxCxCxdxxCxCx
.
.........
.........
....
.
....
.
..
..
.
.
或
或
2222222222222222222222222111arctanarcsin111ln||ln||
2111ln||ln（）
2arcsin222xxdxCdxCaxaaaaxaxdxCdxxxaCaxaaxxaxadxCdxxxaCxaaxaxaxaxaxdxaxCaxxadxxa
............
..
.
..........
...
.
..........
...
.....
...
..
..
..
.
.
22222222222222ln2ln（）
22cos（cossin）
sin（sincos）
axaxaxaxaxxaCxaxadxxaxxaCeebxdxabxbbxCabeebxdxabxbbxCab
....
.......
...
.
...
.
.
.
.
不可积的几个初等函数：
2221sincossincoslnxxxexxxxx
.
4.1.2.换元积分法和分部积分法
换元积分法：
1.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。
2.第二类换元积分法，拆分。
分部积分法：
（）（）（）（）（）（）uxvxdxuxvxuxvxdx......
4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分
有理函数的积分可以归结为下列四种简单分式的积分：
（）
（）
（）
PxRxQx
.
（1）；
（2）；Adxxa..
A（）ndxxa..
（3）；（4）
2Mx+Ndxxpxq...2Mx+N（）ndxxpxq...
12222212123（）2
（1）（）2
（1）nnnndxxnIIxaanxaan..
.
....
.....
三角函数有理式的积分一般用万能代换，对于如下tan2xt.
形式可以采用更灵活的代换：
对于积分，可令tanx=t；22（sin,cos）Rxxdx.
对于积分，可令sinx=t；（sin）cosRxxdx.
对于积分，可令cosx=t，等等。
（cos）sinRxxdx.
某些可化为有理函数的积分
1.型积分，其中n>1，其中ad≠bc。
（,）naxbRxdxcxd
.
..
这里的关键问题是消去根号，可令。
axbtcxd
.
.
.
2.型积分,其中，a≠0。
由于
，故此类型积分可以化为以下三种类型：
2（,Rxaxbxcdx...240bac..
22224（）
24bacbaxbxcaxaa
.
.....
，可用三角替换；22（,）Rukudx..sinukt.
，可用三角替换；22（,）Ruukdx..secukt.
，可用三角替换。
22（,）Ruukdx..tanukt.
121tantan1nnnnIxdxxIn
.
....
..
倒代换：
，，由此还可以求出，
2411xdxx
.
..
2411xdxx
.
..411dxx..
241xdxx..
2211sincos,（0）
sincosaxbxdxabaxbx
.
..
..
解：
设，为此应有
，解得，故
11sincos（sincos）（cossin）axbxAaxbxBaxbx.....
11aAbBabAaBb
....
...
11112222,
aabbabbaABabab
..
..
..
11sincos（sincos）
sincossincosaxbxaxbxdxAdxBdxaxbxaxbx
...
....
...
11112222ln|sincos|
aabbabbaxaxbxCabab
..
....
..
4.2定积分
4.2.1.可积条件
可积的必要条件：
若函数f（x）在闭区间[a,b]上可积，则f（x）在[a,b]上有界。
可积函数类：
闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。
4.2.2.定积分的计算
1.换元积分法（）（（））（）
bafxdxfttdx
.
.
......
从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类
换元积分法。
2.分部积分法
（）（）（）（）|（）（）
bbbaaauxvxdxuxvxuxvxdx......
常见的积分和式
11（）（）
（）lim（）
（1）（）（）
（）lim（）
nbaninbaniibabafxdxfannibabafxdxfann
..
.
..
.
..
..
...
..
..
..
1011lim（）（）
nniiffxdxnn..
.
...
22002002000（sin）（cos）
（sin）2（sin）
（sin）（sin）（sin）
2fxdxfxdxfxdxfxdxxfxdxfxdxfxdx
..
.
.
.
...
.
.
.
..
..
..
...
222001sincos,nnnnnnIxdxxdxIIn
..
.
.
.....
使用分部积分法的常见题型：
被积函数的形式
所用方法
（）,（）sin,（）cosxnnnPxePxxPxx
进行n次分部积分，每次均取
为,sin,cosxexx...（）vx.
（）ln,（）sin,（）arctannnnPxxPxarcxPxx
取为（）nPx
sin,cosxxexex....
取为，进行两次分部积分xe.
4.2.3.定积分的应用
（1）平面图形的面积
21（）（）（）
2dSfxdxydyrd......
（2）旋转体的体积
22（）（）2（）dVfxdxydyxfxdx.......
（3）弧长、曲率
弧微分公式：
2222（）（）1（）1（）dsdxdyfxdxydy.........
2222（）（）（）（）xtytdtrrd..........
曲率：
223/223/2|（）（）（）（）|||
||
[（）（）]
（1）
dytxtytxtyKdsxtyty
..........
...
.....
（4）静矩、转动惯量
mr,mr2
（5）122mmFGr
...引力
①均匀细杆质量为M，长度为l，在杆的延长线上离右端为a处有一质量为m
的质点，则质点与细杆之间的引力为F=kMm/a（a+l）.
②均匀圆环质量为M，半径为r，在圆心的正上方距离为b处有一质量为m
的质点，则质点与均匀圆环之间
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