版高中物理必修2《优化设计》第五章曲线运动第4节.docx

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版高中物理必修2《优化设计》第五章曲线运动第4节

第4节圆周运动

学习目标核心提炼

1.知道什么是圆周运动，什么是匀速圆

4

个概念——线速度、角速度、周期、频

周运动。

率的概念

2.知道线速度的物理意义、定义式、矢

1

个关系——线速度与角速度关系v＝ωr

量性，知道匀速圆周运动线速度的特点。

3

个公式——v＝

s＝

2πr

ω＝Δθ＝

知道角速度的物理意义、定义式及单

t

T

t

3.

位，了解转速和周期的意义。

2π

T

4.掌握线速度与角速度的关系，掌握角

1

1

速度与转速、周期的关系。

T＝f＝n

一、线速度

阅读教材第16～17页“线速度”部分，知道线速度的概念，了解线速度的方向，

知道匀速圆周运动线速度大小特征。

1.定义：

物体做圆周运动通过的弧长与通过这段弧长所用时间的比值。

s

2.公式：

v＝t。

3.意义：

描述做圆周运动的物体运动的快慢。

4.方向：

线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直。

5.匀速圆周运动：

（1）定义：

物体沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动。

（2）性质：

线速度的方向是时刻变化的，所以圆周运动是一种变速运动。

思维拓展

匀速圆周运动和匀速直线运动中的两个“匀速”的含义相同吗？

有什么区别？

答案不同。

前者指线速度的大小不变，后者指速度的大小和方向都不变。

二、角速度

阅读教材第17～18页“角速度”和“角速度的单位”部分，了解角速度的概念，

知道角速度的单位，知道转速、周期的概念。

1.定义：

连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值。

Δθ

2.公式：

ω＝t。

3.意义：

描述物体绕圆心转动的快慢。

4.单位：

（1）角的单位：

国际单位制中，弧长与半径的比值表示角的大小，称为弧度，符

号：

rad。

（2）角速度的单位：

弧度每秒，符号是

－1

rad/s或rad·s。

思维拓展

如图1所示，钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动。

图1

（1）秒针、分针、时针它们转动的快慢相同吗？

相同时间内，谁转动的角度大？

谁转动得最快？

（2）请指出秒针、分针和时针的周期。

Δθ

答案

（1）不相同。

根据角速度公式ω＝t知，在相同的时间内，秒针转过的

角度最大，时针转过的角度最小，所以秒针转得最快。

（2）秒针的周期为60s，分针的周期为60min，时针的周期为12h。

三、线速度与角速度的关系

阅读教材第18页“线速度与角速度的关系”部分，知道线速度与角速度的关系

表达式。

1.在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。

2.关系式：

v＝ωr。

思维拓展

月亮绕地球做圆周运动。

地球绕太阳做圆周运动。

如图2所示关于各自运动的快

慢，地球和月亮的“对话”。

地球说：

你怎么走得这么慢？

我绕太阳运动1s要

走29.79km，你绕我运动1s才走1.02km。

月亮说：

不能这样说吧！

你一年才绕太阳转一圈，我27.3天就能绕你一圈，到

底谁转得慢？

请问：

地球说得对，还是月亮说得对？

图2

答案地球和月亮说的均是片面的，它们选择描述匀速圆周运动快慢的标准不同。

严格来说地球绕太阳运动的线速度比月亮绕地球运动的线速度大，而月亮绕地球转动的角速度比地球绕太阳转动的角速度大。

预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中

问题1

问题2

问题3

描述圆周运动的物理量及其关系

[要点归纳]

1.描述圆周运动的各物理量之间的关系

2.描述圆周运动的各物理量之间关系的理解

（1）角速度、周期、转速之间关系的理解：

物体做匀速圆周运动时，由

2π

ω＝T＝

2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。

（2）线速度与角速度之间关系的理解：

由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，

1

ω∝r；ω一定时，v∝r。

[精典示例]

[例1]（2017·厦门高一检测）如图3所示是一个玩具陀螺。

a、b和c是陀螺上的三

个点。

当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是

（）

图3

A.a、b和c三点的线速度大小相等

B.a、b和c三点的角速度相等

C.a、b的角速度比c的大

D.c的线速度比a、b的大

解析三点绕同一竖直轴转动，因此角速度相同，c的半径最小，故它的线速度

最小，a、b的半径相同，二者的线速度大小相等。

故选B。

答案B

[针对训练1]关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面

说法中正确的是（）

A.线速度大的角速度一定大

B.线速度大的周期一定小

C.角速度大的半径一定小

D.角速度大的周期一定小

解析

由v＝ωr知，r

一定时，v与ω成正比；v一定时，ω与

r成反比，故

A、

2πr

2π

C均错；由v＝T知，r一定时，v越大，T越小，B错；由ω＝T可知，ω越

大，T越小，故D对，故选D。

答案D

几种常见的传动装置

[要点归纳]

同轴传动皮带传动齿轮传动

装置

A、B两点在同轴的一

两个轮子用皮带连

两个齿轮轮齿啮合，

个圆盘上

特点角速度、周期相同

转动方向相同

线速度与半径成正比：

规律vAr

v＝R

接，A、B两点分别

是两个轮子边缘的

点

线速度大小相同

相同

角速度与半径成反

ωAr

比：

ωB＝R。

A、B两点分别是两个

齿轮边缘上的点（两

齿轮的齿数分别为

n1、n2）

线速度大小相同

相反

角速度与半径成反

比：

ωA＝r2＝n2。

ωBr1n1

B

[精典示例]

周期与半径成正比：

TA

R

周期与半径成正比：

TB

＝r

TA＝r1

TBr2

[例2]如图4所示的皮带传动装置，主动轮O1上两轮的半径分别为3r和r，从

动轮O2的半径为2r，A、B、C分别为转轮缘上的三点，设皮带不打滑，求：

图4

（1）A、B、C三点的线速度大小之比为多少？

（2）A、B、C三点的角速度之比为多少？

思路探究

（1）A、B、C三点中，哪两点的角速度相等？

哪两点的线速度相等？

（2）角速度相等时，线速度与它们的半径的关系怎样？

线速度相等时，角速度与

它们的半径关系怎样？

提示

（1）A、B两点的角速度相等，B、C两点的线速度相等。

（2）成正比成反比

皮带

接触点v相同

不打滑

vB＝vC

vA∶vB∶vC

解析

（1）

?

A、B两其线速度v∝r

＝3∶1∶1

v＝3v

B

A

点同轴

1

皮带

B、C角速度ω∝rωB∶ωC

不打滑

＝2∶1ωA∶ωB∶ωC

（2）

?

＝2∶2∶1

A、B两角速度相同ωA∶ωB

点同轴

＝1∶1

答案

（1）3∶1∶1

（2）2∶2∶1

[针对训练2]（2017·衡水高一检测）如图5所示，两个轮子的半径均为R，两轮的转轴O1、O2在同一水平面上，相互平行，相距为d，两轮均以角速度ω逆时针方向匀速转动。

将一长木板置于两轮上，当木板的重心位于右轮正上方时，木板与两轮间已不再有相对滑动。

若木板的长度L＞2d，则木板的重心由右轮正上方

移到左轮正上方所需的时间是（）

图5

2π

d

d

R

A.ω

B.ωR

C.ω

D.ω

解析木板与两轮间无相对滑动时，木板运动的速度与轮边缘的线速度相同，由

题意知木板的重心由右轮正上方移到左轮正上方的过程中的位移大小为d，则有

d

d＝ωRt，得t＝，B正确。

答案B

1.（对匀速圆周运动物理量关系的理解

和半径r，下列说法正确的是（）

）关于匀速圆周运动的线速度

v、角速度ω

A.若r一定，则v与ω成正比

B.若r一定，则v与ω成反比

C.若ω一定，则v与r成反比

D.若v一定，则ω与r成正比

答案A

2.（圆周运动的传动问题）如图6所示，A、B是两个摩擦传动的靠背轮，A是主动轮，B是从动轮，它们的半径RA＝2RB，a和b两点在轮的边缘，c和d在各轮半

径的中点，下列判断正确的是（）

图6

A.v

a＝2vb

ωb＝2ωa

B.

C.vc＝va

D.ωb＝ωc

解析由于A、B两轮之间通过摩擦传动，故A、B两轮边缘的线速度大小相同，

故va＝vb，故A错误；根据v＝ωR可得ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝RB∶RA＝1∶2，

即ωb＝2ωa，故B正确；又由于a与c在同一个圆上，故ωa＝ωc，则ωb＝2ωc，

由v＝ωR得va∶vc＝2∶1，即va＝2vc，故C、D错误。

答案B

3.（圆周运动的传动问题）（2017·台州高一检测）如图7所示为锥形齿轮的传动示意

图，大齿轮带动小齿轮转动，大、小齿轮的角速度大小分别为ω1、ω2，两齿轮

边缘处的线速度大小分别为v1、v2，则（）

图7

A.ω1＜ω2，v1＝v2B.ω1＞ω2，v1＝v2

C.ω1＝ω2，v1＞v2D.ω1＝ω2，v1＜v2

解析由于大齿轮带动小齿轮转动，两者啮合，所以线速度v1＝v2，由于v＝ωr，

所以ω1r1＝ω2r2，又r1＞r2，所以ω1＜ω2，A正确。

答案A

4.（圆周运动的多解问题）（2017·郑州高一检测）如图8所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速

度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速运动，角速

度为ω。

若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是（）

图8

A.dv20＝L2g

B.ωL＝π（1＋2n）v0（n＝0，1，2，3⋯）

d

C.v0＝ω2

D.dω2＝gπ2（1＋2n）2（n＝0，1，2，3⋯）

解析依题意飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A

（2n＋1）π

点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝，平抛的时

ω

间t＝

L

L

（2n＋1）π

（n＝0，1，2，3，⋯），B正确，C错误；平抛

，则有

＝

ω

v0

v0

1

2

2

1

2

2

的竖直位移为d，则d＝2gt，联立有dω＝2gπ（2n＋1）

（n＝0，1，2，3

⋯），

A、D错误。

答案B

5.（圆周运动的物理量间的关系）一个圆环以竖直直径AB为轴匀速转动，如图9

所示，求环上M、N两点的：

图9

（1）线速度的大小之比；

（2）角速度之比。

解析M、N是同一环上的两点，它们与环具有相同的角速度，即ωM∶ωN＝1∶

1，两点做圆周运动的半径之比rM∶rN＝sin60°∶sin30°＝3∶1，故vM∶vN＝ωMrM∶

ωNrN＝3∶1。

答案

（1）3∶1

（2）1∶1

基础过关

1.（多选）对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是（）

A.相等的时间内通过的路程相等

B.相等的时间内通过的弧长相等

C.相等的时间内运动的位移相同

D.相等的时间内转过的角度相等

答案ABD

2.（2017·昆明高一检测）一物体做匀速圆周运动的半径为r，线速度大小为v，角

速度为ω，周期为T。

关于这些物理量的关系，下列说法正确的是（）

ω

2π

A.v＝r

B.v＝T

2πr

C.ω＝T

D.v＝ωr

根据圆周运动知识v＝rω，ω＝

2π2πr

，因此A、B、C错，D对。

解析

T

，v＝

T

答案

D

3.（2017·保定高一检测）如图1所示，两个小球a和b用轻杆连接，并一起在水平

面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是（）

图1

A.a球的线速度比b球的线速度小

B.a球的角速度比b球的角速度小

C.a球的周期比b球的周期小

D.a球的转速比b球的转速大

解析两个小球一起转动，周期相同，所以它们的转速、角速度都相等，B、C、

D错误；而由v＝ωr可知，b球的线速度大于a球的线速度，所以A正确。

答案A

4.如图2所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦转动，相互之间不打滑，其半径分

别为r1、r2、r3。

若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为（）

图2

A.

r1ω1

B.

r3ω1

r3

r1

rω

1

r

ω

1

C.

3

D.

1

r2

r2

解析

甲、丙两轮边缘的线速度相等，即ω1

133

3r1

ω

r＝ωr，故丙轮的角速度

ω＝r3

1，A正确。

答案A

5.（多选）A、B两个质点，分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程

之比sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比φA∶φB＝3∶2，则下列说法正确的是（）

A.它们的半径之比RA∶RB＝2∶3

B.它们的半径之比RA∶RB＝4∶9

C.它们的周期之比TA∶TB＝2∶3

D.它们的转速之比nA∶nB＝2∶3

解析A、B两个质点的线速度之比vA∶vB＝sA∶sB＝2∶3，ωA∶ωB＝φA∶φB＝

3∶2，则由v＝ωR知半径之比RA∶RB＝vA∶vB＝4∶9，A错误，B正确；周期ωAωB

之比TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶3，C正确；转速之比nA∶nB＝φA∶φB＝3∶2，D错误。

答案BC

6.一汽车发动机的曲轴每分钟转2400周，求：

（1）曲轴转动的周期与角速度；

（2）距转轴r＝0.2m点的线速度。

解析

（1）由于曲轴每秒钟转

2400

1

60＝40（周），周期T＝40s；而每转一周为2πrad，

因此曲轴转动的角速度为

ω＝2π×40rad/s＝80πrad/s。

（2）已知r＝0.2m，因此这一点的线速度为

v＝ωr＝80π×0.2m/s＝16πm/s。

1

答案

（1）40s80πrad/s

（2）16πm/s

能力提升

7.（多选）如图3所示，一个匀速转动的半径为r的水平圆盘上放着两个木块M和

1

N，木块M放在圆盘的边缘处，木块N放在离圆心3r的地方，它们都随圆盘一

起运动。

比较两木块的线速度和角速度，下列说法正确的是（）

图3

A.两木块的线速度相等

B.两木块的角速度相等

C.M的线速度是N的线速度的3倍

D.M的角速度是N的角速度的3倍

解析

由于M、N在圆盘上同轴转动，则有

ωM＝ωN，由

v

＝ωr知

v

M∶N＝

M∶

vr

rN＝3∶1，故选项B、C正确。

答案BC

8.（2017·济宁高一检测）甲、乙两物体均做匀速圆周运动，甲的转动半径为乙的一半，当甲转过60°时，乙在这段时间里正好转过45°，则甲、乙两物体的线速

度之比为（）

A.1∶4B.2∶3

C.4∶9D.9∶16

π

1

Δθω甲

3

4

v甲

ω甲r甲

2

解析

由题意知r甲＝2r乙，由ω＝

得

＝＝3，由v＝ωr得

v乙

＝ω

＝3，

tω乙

π

乙r乙

4

故选项B正确。

答案B

9.（2017·青岛高一检测）某品牌电动自行车的铭牌如下：

车型：

20寸电池规格：

36V，12A·h

（车轮直径：

508mm）（蓄电量）

整车质量：

40kg额定转速：

210r/min

外形尺寸：

L1800mm×

充电时间：

2～8h

W650mm×H1100mm

电机：

后轮驱动、额定工作电压/电流：

直流永磁式电机

36V/5A

根据此铭牌中的有关数据，可知该车的额定时速约为（）

A.15km/hB.18km/h

C.20km/hD.25km/h

解析

由v＝

2πr

＝π

得

＝×

×

508×10－3

×210

＝

＝

T

2rn

v

2

3.14

2

60m/s

5.582m/s20

km/h。

答案C

10.（2017·银川高一检测）半径为R的大圆盘以角速度ω旋转，如图4所示。

有人站在盘边P点上随盘转动，他想用枪击中在圆盘中心的目标O。

若子弹的速度为

v0，则（）

图4

A.枪应瞄准目标O射去

ωR

B.枪应向PO的右方偏过θ角射去，且cosθ＝v0

ωR

C.枪应向PO的左方偏过θ角射去，且tanθ＝v0

ωR

D.枪应向PO的左方偏过θ角射去，且sinθ＝v0

解析要击中圆盘中心目标O，则子弹的合速度沿半径方向指

向O，如图所示，因为子弹离开枪口时有与枪相同的线速度v

ωR

＝ωR，所以枪应向PO的左方偏过θ角射去，且sinθ＝v0，故选项D正确。

答案D

11.（2017·长沙高一检测）为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固

定两个薄圆盘A、B，A、B平行相距2m，轴杆的转速为3600r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角是30°，如图5所示，则该

子弹的速度可能是（）

图5

A.360m/sB.720m/s

C.1440m/sD.108m/s

解析子弹的速度是很大的，一般方法很难测出，利用圆周运动的周期性，可以

比较方便地测出子弹的速度。

由于圆周运动的周期性，在求解有关运动问题时，

π

要注意其多解性。

子弹从A盘到B盘，盘转动的角度θ＝2πn＋6（n＝0，1，2，

2π

3600

3，⋯），盘转动的角速度ω＝T＝2πf＝2πn＝2π×

60rad/s＝120πrad/s。

子弹在A、B间运动的时间等于圆盘转动的时间，

2mθ

即＝，

vω

2ω2×120π

所以v＝＝m/s（n＝0，1，2，3，⋯），

θπ

2πn＋6

1440

即v＝m/s（n＝0，1，2，3，⋯）。

12n＋1

n＝0时，v＝1440m/s；

n＝1时，v≈110.77m/s；

n＝2时，v＝57.6m/s；

⋯

故选项C正确。

答案C

12.一半径为R的雨伞绕柄以角速度ω匀速旋转，如图6所示。

伞边缘距地面高

h，甩出的水滴在地面上形成一个圆，则此圆的半径r为多少？

图6

解析水滴飞出的速度大小

v＝ωR，

水滴做平抛运动，故：

12

竖直方向有h＝2gt

水平方向有l＝vt

由题意画出俯视图，如图所示。

由几何关系知，水滴形成圆的半径