届高三数学全国人教A版文一轮复习单元滚动检测第十单元统计与统计案例分解.docx
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届高三数学全国人教A版文一轮复习单元滚动检测第十单元统计与统计案例分解
高三单元滚动检测卷·数学
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
单元检测十 统计与统计案例
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为（ ）
A．13B．19
C．20D．51
2．从N个编号中抽取n个号码入样，若采用系统抽样方法进行抽取，则分段间隔应为（ ）
A.
B．n
C．[
]D．[
]＋1
3．如图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是（ ）
A．56分B．57分
C．58分D．59分
4．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下列联表：
班级与成绩列联表
优秀
不优秀
总计
甲班
11
34
45
乙班
8
37
45
总计
19
71
90
则随机变量K2的观测值约为（ ）
A．0.600B．0.828
C．2.712D．6.004
5．把容量为100的某个样本数据分成10组，并填写频率分布表，若前7组频率之和为0.79，则剩下3组的频率之和为（ ）
A．0.21%B．0.21
C．21D．无法确定
6．如图是一次选秀节目上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为85，则a2＋b2的最小值是（ ）
A．24B．32
C．36D．48
7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数
＝3，
＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A.
＝0.4x＋2.3B.
＝2x－2.4
C.
＝－2x＋9.5D.
＝－0.3x＋4.4
8．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝7.069，则所得到的统计学结论是：
有多大的把握认为“学生性别与支持该活动有关系．”（ ）
附：
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
A.0.1%B．1%
C．99%D．99.9%
9．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分（如图），只记得样本中数据在[20,60）上的频率为0.8，则估计样本分别在[40,50），[50,60）上的数据个数可能是（ ）
A．7和6B．6和9
C．8和9D．9和10
10．对四组数据进行统计，获得图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A．r2＜r4＜0＜r3＜r1B．r4＜r2＜0＜r1＜r3
C．r4＜r2＜0＜r3＜r1D．r2＜r4＜0＜r1＜r3
11．（2016·驻马店模拟）中央电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2011年至2013年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为（ ）
A．36B．35
C．32D．30
12．（2016蚌埠模拟）给出以下命题：
①若p或q为假命题，则p与q均为假命题；
②对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi）（i＝1,2，…，8），其线性回归方程是y＝
x＋a，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2（y1＋y2＋y3＋…＋y8）＝6，则实数a＝
；
③对于分类变量X与Y的随机变量χ2来说，χ2越小，“X与Y有关联”的把握程度越大；
④已知
≥0，则函数f（x）＝2x＋
的最小值为16.
其中真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩（单位：
分）数据绘制成频率分布直方图（如图）．则这100名学生成绩的平均数，中位数分别为________．
14．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工对其体重进行统计，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组，按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．
（1）若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________________；
（2）
分别统计这5名职工的体重（单位：
kg），获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．
15．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a＝________，b＝________.
16．关于统计数据的分析，有以下几个结论：
①一组数不可能有两个众数；
②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；
③调查剧院中观众观看感受时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，属于分层抽样；
④一组数据的方差一定是正数；
⑤如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在[50,60）的汽车大约是60辆，则这五种说法中错误的是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2015·济南模拟）从某高校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高，据测量，被测学生的身高全部在155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成8组：
第一组[155,160），第二组[160,165），…，第八组[190,195]，下图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第七组与第六组的人数差恰好为第八组与第七组的人数差．
求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图．
频率分布表：
分组
频数
频率
频率/组距
…
…
…
…
[180,185）
x
y
z
[185,190）
m
n
p
…
…
…
…
18．（12分）（2014·课标全国Ⅱ）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：
千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用
（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝
，
＝
－
.
19．（12分）为使学生更好地了解中华民族伟大复兴的历史知识，某校组织了一次以“我的梦，中国梦”为主题的知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图：
请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）写出下表中a，b，c的值.
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
a
b
90
二班
87.6
80
c
（3）请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析；
①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成绩；
②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成绩；
③从B级以上（包括B级）的人数方面来比较一班和二班的成绩．
20．（12分）学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛，现有甲、乙两班各上交30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：
分）统计如下：
甲班：
等级
成绩（S）
频数
A
90＜S≤100
x
B
80＜S≤90
15
C
70＜S≤80
10
D
S≤70
3
合计
30
乙班：
根据上面提供的信息回答下列问题
（1）表中x＝________，甲班学生成绩的中位数落在等级________中，扇形统计图中等级D部分的扇形圆心角n的度数是________．
（2）现学校决定从两班所有A等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛，求抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）．
21．（12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们的培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下
甲：
82,91,79,78,95,88,83,84
乙：
92,95,80,75,83,80,90,85
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加合适，请说明理由．
22．（12分）（2014·安徽）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：
小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：
[0,2]，（2,4]，（4,6]，（6,8]，（8,10]，（10,12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
附：
K2＝
.
答案解析
1．C [抽样间隔为46－33＝13，
故另一位同学的编号为7＋13＝20，选C.]
2．C
3．B [由图知甲的中位数为32，乙的中位数为25，故和为57.]
4．A [由题意知a＝11，b＝34，c＝8，d＝37，n＝90，
则K2＝
的值约为0.600，
故选A.]
5．B [剩下3组的频率之和为1－0.79＝0.21.]
6．B [根据题意，得
＝5，得a＋b＝8.
方法一 由b＝8－a，得a2＋b2＝a2＋（8－a）2＝2a2－16a＋64，
其中a，b满足0≤a≤9,0≤b≤9，
所以0≤a≤9,0≤8－a≤9，
即0≤a≤8且a是整数，
设函数f（a）＝2a2－16a＋64，分析知当a＝4时，
f（a）取得最小值32，
所以a2＋b2的最小值是32.故选B.
方法二 由a＋b＝8，且a，b≥0，
得8≥2
，
故ab≤16，则a2＋b2＝（a＋b）2－2ab≥64－32＝32，
当且仅当a＝b＝4时等号成立，
所以a2＋b2的最小值是32.]
7．A [因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.
因为样本点的中心在回归直线上，把点（3,3.5）分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A.]
8．C [因为7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：
有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”，选C.]
9．B [因样本中数据在[20,60）上的频率为0.8，
则样本中数据在[20,60）上的频数为30×0.8＝24.
又因为样本中数据在[20,40）上的频数为4＋5＝9，
所以样本在[40,60）上的数据的个数为24－9＝15.
由选项知B符合．]
10．A [易知题中图
（1）与图（3）是正相关，图
（2）与图（4）是负相关，且图
（1）与图
（2）中的样本点集中分布在一条直线附近，则r2＜r4＜0＜r3＜r1.]
11．A [设从30个小品类节目中抽取x个，则有
＝
，解得x＝9.则27＋9＝36，所以样本容量为36.]
12．B [①正确．②中a＝
，所以②不正确．③中χ2越小，“X与Y有关联”的把握程度越小，所以③不正确．由
≥0可得1≤x<2，因为f（x）＝2x＋
≥22＝4，当且仅当x＝1时取等号，所以④不正确．]
13．125,124
解析 由图可知（a＋a－0.005）×10＝1－（0.010＋0.015＋0.030）×10，解得a＝0.025，
则
＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.
中位数在120～130之间，设为x，
则0.01×10＋0.03×10＋0.025×（x－120）＝0.5，
解得x＝124.
14．
（1）2,10,18,26,34
（2）62
解析
（1）由题意知被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.
（2）由题中茎叶图知5名职工体重的平均数
＝
＝69，
则该样本的方差
s2＝
×[（59－69）2＋（62－69）2＋（70－69）2＋（73－69）2＋（81－69）2]＝62.
15．10.5 10.5
解析 由于总体的中位数为10.5，则a＋b＝21，
所以该组数据平均值为
＝10，
又方差s2＝
，其中k为常数，
所以要使该总体的方差最小，可以取a＝10.5，b＝10.5.
16．①③④
解析 一组数中可以有两个众数，故①错误；根据方差的计算法可知②正确；③属于简单随机抽样，错误；④错误，因为方差可以是零；⑤正确．
17．解 由频率分布直方图可知前五组的频率和是（0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06）×5＝0.82，
第八组的频率是0.008×5＝0.04，
所以第六、七组的频率和是1－0.82－0.04＝0.14，
所以第八组的人数为50×0.04＝2，第六、七组的总人数为50×0.14＝7.
由已知得x＋m＝7，m－x＝2－m，
解得x＝4，m＝3.
所以y＝0.08，n＝0.06，z＝0.016，p＝0.012.
补充完成频率分布直方图如图所示．
18．解
（1）由所给数据计算得
＝
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＝4，
＝
（2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9）＝4.3，
（ti－
）2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
（ti－
）（yi－
）＝（－3）×（－1.4）＋（－2）×（－1）＋（－1）×（－0.7）＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝
＝
＝0.5，
＝
－
t＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求线性回归方程为
＝0.5t＋2.3.
（2）由
（1）知，
＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t＝9代入
（1）中的回归方程，
得
＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
19．解
（1）25－6－12－5＝2（人）．
（2）a＝87.6，b＝90，c＝100.
（3）①一班和二班平均数相等，一班的中位数大于二班的中位数，故一班的成绩好于二班．
②一班和二班平均数相等，一班的众数小于二班的众数，故二班的成绩好于一班；
③B级以上（包括B级）一班18人，二班12人，故一班的成绩好于二班．
20．
（1）2 B 36°
解析 x＝30－15－10－3＝2；中位数落在等级B中；等级D部分的扇形圆心角n＝360°×
＝36°.
（2）解 乙班A等级的人数是：
30×10%＝3，则甲班的二个人用甲1，甲2表示，乙班的三个人用乙1、乙2、乙3表示．
共有20种情况，则抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率是
＝
.
21．解
（1）茎叶图如图
（2）方法一
甲＝
乙＝85，
但s
，所以选派甲合适．
方法二 假设含90分为高分，则甲的高分率为
，乙的高分率为
，所以派乙合适．
或：
假设含85分为高分，则甲的高分率为
，乙的高分率为
，所以派乙合适．
22．解
（1）300×
＝90，
所以应收集90位女生的样本数据．
（2）由频率分布直方图得
1－2×（0.025＋0.100）＝0.75，
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
（3）由
（2）知，300位学生中有300×0.75＝225（人）的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得K2＝
＝
≈4.762>3.841.
所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
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