新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案.docx
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新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案
学习目标：
第二章一元二次方程
2.1认识一元二次方程-
（1）晋公庙中学数学组
1、会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，
2.通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力
3.会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。
学习重点：
一元二次方程的概念
学习难点：
如何把实际问题转化为数学方程学习过程：
一、导入新课：
什么是一元一次方程？
什么是二元一次方程？
？
二、自学指导：
1、自主学习：
自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：
1）
2
2
情境问题：
列方程解应用题：
一个面积为120m的矩形苗圃，它的长比宽多2m。
苗圃的长和宽各是多少？
设未知数列方程。
你能将方程化成0的形式吗？
阅读课本P48，回答问题：
1）什么是一元二次方程？
2）什么是一元二次方程的一般形式？
二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常
数项？
2、合作交流：
1.一元二次方程应用举例：
1）
2
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m，那么花边有多宽?
列方程并化成一般形式。
2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
如果设中间的一个数为x，列方程并化成一般形式。
3）如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂
直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?
列
出方程并化简。
8
如果设梯子底端滑动xm，列方程并化成一般形式。
2.知识梳理：
1）一元二次方程的概念：
强调三个特征：
①它是方程；②它只含未知数；③方程中未知数的最高次数是.一元二次方程的一般形式：
在任何一个一元二次方程中，是必不可少的项．2）几种不同的表示形式：
2
①0（a≠0≠0≠0）②（a≠0≠00）
③（a≠00≠0）④（a≠000）
三、当堂训练
1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。
（1）x
1
（2）1/x
-3=2（3）2x
=3（4）31=0
22
（5）（52）（37）=15x（k为常数）（6）ax0（7）
k21x2k20
2
2、.当a、b、c满足什么条件时，方程
（1）x＝0是关于x的一元二次方程?
这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?
2
当a、b、c满足什么条件时，方程
（1）x＝0是关于x的一元一次方程
3、下列关于x的方程中，属于一元二次方程的有几个（）
2x3422
①x，②axb0，
x
③
2
2（1
2a）xa230
④m2x2
xm20，
⑤2x25
x，⑥a
1x2
ax20
A．6个B．5个C．4个D．3个
4.2x2
35x化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常项分别为（）.
5.关于x的方程（k2－1）x2＋2（k－1）x＋2k＋2＝0,当k时，是一元二次方程．,
m
1
当时，是一元一次方程．
6.当时，方程（m
四、课堂小结：
1）x
2mx3
0是关于x的一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：
2
0（为常数，a≠0）
2
其中，，c分别为二次项，一次项及常数项五、作业：
基础题：
课本32页随堂练习1、2，知识技能2
提高题：
课本32页知识技能1
板书设计：
一元二次方程的一般形式：
2
2
0（为常数，a≠0）
2.1一元二次方程
（1）
教学反思：
其中，，c分别为二次项，一次项及常数项
2.1一元二次方程
（2）晋公庙中学数学组
学习目标：
1、探索一元二次方程的解或近似解；
2.提高估算意识和能力；
3.通过探索方程的解，增进对方解的认识，发展估算意识和能力。
学习重点：
探索一元二次方程的解或近似解
学习难点：
估算意识和能力的培养．
一、导入新课：
1.什么叫一元二次方程？
它的一般形式是什么？
2.指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
（1）2x―x＋1＝0
（2）―x＋1＝0（3x
2
―x＝0
（4）―x＝0（5）（8-2x）（5-2x）=18
二、自学指导：
1、P31花边问题中方程的一般形式：
，你能求出x吗？
（1）x可能小于0吗？
说说你的理由；
（2）x可能大于4吗？
可能大于2.5吗？
为什么？
（3）完成下表
x0.511.52
（8-2x）（5-2x）
（4）你知道地毯花边的宽x（m）是多少吗？
还有其他求解方法吗？
与同伴交流
2、合作探究
通过估算求近似解的方法：
先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”，逐步求得近似解。
三、例题解析
例题1：
P31梯子问题
222
梯子底端滑动的距离x（m）满足（x＋6）
一般形式：
＋7＝10
（1）你认为底端也滑动了1米吗？
为什么？
8
（2）底端滑动的距离可能是2m吗？
可能是3m吗？
（3）你能猜出滑动距离x（m）的大致范围吗？
x的整数部分是
几？
（4）填表计算：
x00.511.52
2
x＋12x―15
进一步计算
x
2
x＋12x―15
十分位是几？
照此思路可以估算出x的百分位和千分位。
四、当堂训练：
1、见课本P34页随堂练习
2.一元二次方程
ax2
bxc
0有两个解为1和-1，则有abc，且有abc.
3.若关于x的方程
2x2
mx1
m有一个根为-1，则.
4.
2
用平方根的意义求下列一元二次方程的准确解：
2
（1）x12
（2）81x2160
（3）x112
2
（4）81x216
（5）3x2
150
2
5、用直接开平方法解下列一元二次方程：
（1）9x2
1210
（2）x24
（3）3x210
五、课堂小结：
本节课我们通过解决实际问题，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想——“夹逼”思想．估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高
六、作业
基础题：
35页知识技能1
提高题：
1.完成基础题；2.课本35页知识技能2，数学理解3
板书设计：
2.1一元二次方程
（2）
求一元二次方程近似解，首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程
2
的一般形式0（为常数，a≠0）找到使方程左边可能等于0的未知数的取值范围，再进一步在这个范围缩小未知数的取值范围，根据需要，估算出一元二次
方程的近似解。
教学反思：
2.2用配方法求解一元二次方程
（1）
晋公庙中学数学组
学习目标：
2
1.会用开平方法解形如（x＋m）＝n（n≥0）的方程；
2.理解一元二次方程的解法——配方法．
3.
2
把一元二次方程通过配方转化为（x十m）＝n（n≥0）的形式，体会转化的数学思想。
学习重点：
会利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
2
学习难点：
把一元二次方程通过配方转化为（x十m）＝n（n≥0）的形式学习过程：
一、导入新课：
1.用直接开平方法解下列方程：
（1）x
＝9
（2）（x＋2）
＝16
2.什么是完全平方公式？
22
利用公式计算：
（1）（x＋6）
（2）（x－）
注意：
它们的常数项等于。
二、自学指导：
2
1、自主学习
预习课本36-37页,解方程：
x
解：
移项，得：
＋12x－15＝0（配方法）
配方，得：
.（两边同时加上的平方）即：
开平方，得：
即：
所以：
配方法：
通过配成的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
2、合作交流：
配方：
填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x
＋12x＋＝（x＋6）
（2）x
―4x＋＝（x―）
22
（3）x＋8x＋＝（x＋）
从上可知：
常数项配上.
三、例题解析
2
例1.解方程：
x十8x一9＝0.
2
解：
可以把常数项移到方程的右边，得x十89
2
两边都加4（一次项系数8的一半的平方），得
x2十842=9+42
即（4）2=25
两边开平方，得4=±5
即4=5，或45
所以X1=1,X29
四、当堂训练
2
1.一元二次方程x－2x－0，用配方法解该方程，配方后的方程为（）
A.（x－1）
22
+1B.（x－1）
2
－1C.（x－1）
22
=1－mD.（x－1）1
2．用配方法解下列方程：
2
（1）x一l0x十25＝7；
（2）
x214x8
22
（3）x＋3x＝1；（4）x＋2x十2＝8x＋4；
【拓展延伸】
1.
2
关于x的方程（）,下列说法正确的是（）
A.有两个解±nB.两个解±－nm
C.当n≥0时，有两个解±
五、课堂小结：
nD.m
当n≤0时，方程无实根
怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？
六、作业：
1.习题2.3第1.2题.
2.习题2.3第1.2题.
板书设计：
2.2用配方法求解一元二次方程
（1）用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
1.移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项；
2.配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（）2（n≥0）的形式；
3.用直接开平方法求出它的解.
教学反思：
2.2用配方法求解一元二次方程
（2）
晋公庙中学数学组
学习目标：
1.会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．
2.进一步理解配方法的解题思路，掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤．学习重点：
会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．
学习难点：
理解配方法的解题思路
学习过程：
一、导入新课：
1.用配方法解方程
22
（1）x＋4x＋3＝0
（2）x-2x＝1
二、自学指导：
1、自主学习
2
例2：
解方程：
3x＋8x―3＝0
解：
两边都除以，得：
移项，得：
配方，得：
（方程两边都加上的平方）开平方，得：
所以:
2、合作交流：
归纳：
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把二次项系数化为1
2.移项，方程的左边只含二次项和一次项，右边为常数项；
3.配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
3.用直接开平方法求出方程的根.
三、例题解析
2
例1.解方程：
x十8x一9＝0.
2
解：
可以把常数项移到方程的右边，得x十89
2
两边都加4（一次项系数8的一半的平方），得
222
x十84=9+4
2
即（4）=25
两边开平方，得4=±5
即4=5，或45
所以X1=1,X29
四、当堂训练
1.用配方法解下列方程时，配方错误的是（）．
A．x281
B.x2
5x3
2
0，化为x537
24
C.t2
8t9
0，化为
t4225
D.3t2
4t2
2
0，化为t210
39
2．用配方法解下列方程：
2
（1）3x-92=0
（2）
2x267x
2
（3）4x-83=0
【拓展延伸】
2
一小球以15m的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：
h＝15t―5t。
小球何时能达到10m高？
五、课堂小结：
怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？
六、作业：
基础题：
1.习题2.4第1.2题.
提高题：
2.习题2.4第3题.
板书设计：
2.2用配方法求解一元二次方程
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把二次项系数化为1
2.移项，方程的左边只含二次项和一次项，右边为常数项；
3.配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
3.用直接开平方法求出方程的根.
教学反思：
2.3用公式法求解一元二次方程
（1）
晋公庙中学数学组
学习目标：
1.知道一元二次方程的求根公式的推导；
2.会用公式法解简单数字系数的一元二次方程.
3.认识根的判别式，会用根的判别式判别一元二次方程根的情况并能解答相关题型.
学习重点：
学会用公式法解一元二次方程．学习难点：
用配方法推到一元二次方程求根公式的过程.
学习过程：
一、导入新课：
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2
2、把下列方程化成（）的形式：
2
（1）x-8x＋3＝0
（2）
1x2-35＝0
2
3、请结合一元二次方程的一般形式，说出上述方程中的a、b、c的值分别是多少？
二、自学指导：
1、自主学习
认真阅读P41～42页例题之前内容：
22
（1）、一般地，对于一元二次方程＋＋c＝0（a≠0），当b－4≥0时，它的根是x＝
2
注意：
当b－4<0时，一元二次方程无实数根。
（2）、公式法：
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
2、合作交流：
（1）你能解一元二次方程x2-23=0吗？
你是怎么想的？
22
（2）对于一元二次方程＋＋c＝0（a≠0），当b－4＜0时，它的根的情况是怎样的？
2
归纳：
对于一元二次方程＋＋c＝0（a≠0），
2
①当b－40时，方程有两个不相等的实数根；
2
②当b－40时，方程有两个相等的实数根；
2
③当b－40时，方程无实数根。
222
由此可知，一元二次方程
2
＋＋c＝0（a≠0）的根的情况可由b－4来判定.我们把b－4
叫做一元二次方程
三、例题解析
例1.解方程：
2
＋＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示。
2
（1）x
-7x―8＝0
（2）4x
+1=4x
解：
（2）将原方程化为一般形式，得：
2
4x-41=0
这里4，41.
22
∵b－4=（-4）-4×4×1=0
∴（4）01
242
四、当堂训练
1
即X1=X2=
2
1.不解方程,判断下列方程的根的情况：
2
（1）2x+5=7x
（2）3x2+21=0
2
（3）4x
（1）+3=0（4）4（y+0.09）=2.4y
2
2．用公式法解下列方程：
（1）2x
-98=0
（2）9x
2
2
+61=0
（3）16x+83（4）x（3）+5=0
五、课堂小结：
用公式法解一元二次方程的步骤：
1.化成一般形式；
2.确定的数值；
3.求出b2－4的数值，并判别其是否是非负数；
4.若b2－4≥0，用求根公式求出方程的根；若b2－4<0，直接写出原方程无解，不要代入求根公式。
六、作业：
基础题：
1.习题2.5第1、2题.
提高题：
2.习题2.5第3、4题.板书设计：
2.3用公式法求解一元二次方程
22
一般地，对于一元二次方程
＋＋c＝0（a≠0），当b－4ac≥0时，它的根是x＝
2
对于一元二次方程＋＋c＝0（a≠0），
2
①当b－4ac0时，方程有两个不相等的实数根；
2
②当b－4ac0时，方程有两个相等的实数根；
2
③当b－4ac0时，方程无实数根。
教学反思：
2.3用公式法求解一元二次方程
（2）
晋公庙中学数学组
学习目标：
1.会根据具体情境构建一元二次方程解决实际问题，体会方程模型思想.
2.进一步熟练求解一元二次方程.
3.会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题学习重点：
会根据具体情境构建一元二次方程，并能熟练求解，从而解决实际问题，体会方程模型思想.
学习难点：
会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题.
学习过程：
一、导入新课：
1、用配方法解方程：
212
三、课堂练习
1、课本44页随堂练习1，对于本课花园设计问题，小颖的方法如图所示，你能帮她求出图中的x吗？
2、课本p45第2题。
四、课堂小结：
1、本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。
基础题：
1.
习题
2.6
第1、3题.
提高题：
2.
习题
2.6
第4题.
2、一元二次方程的解一般有个，要根据舍去不合题意的解。
五、作业：
板书设计：
2.3用公式法求解一元二次方程
（2）
16m
x
12
m
教学反思：
2.4用因式分解法求解一元二次方程
晋公庙中学数学组
学习目标：
会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程，体会转化思想。
学习重点：
正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程．学习难点：
正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程.
学习过程：
一、导入新课：
1、如何对一个多项式进行因式分解？
有哪些方法？
2、如果两个数a、b,且满足0,你能得到哪些结论？
二、自学指导：
1、自主学习
认真阅读P46～47页内容：
⑴、分解因式法：
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
⑵、因式分解法的理论根据是：
如果0,则0或0。
2
⑶、自学例1，注意看清楚每一步是如何变形的？
其目的是什么？
2、合作交流：
（1）你能例题中的思路解一元二次方程x
2
-4=0吗？
你是怎么想的？
（2）对于一元二次方程
（1）
三、例题解析
例.用因式分解法解下列方程：
-25＝0可以怎样求解？
（1）
（2）（4）＝0
（2）4x（21）=3（21）
（3）5（x）=3（x）
解：
（2）：
原方程可变形为
4x（21）-3（21）=0
（21）（43）=021=0，或43=0
∴X1=1X2=3
24
（3）：
原方程可变形为
22
5x-5x=3x+3x
5x-3x
-53x=0
2
2x-8x=0
2x（4）=0
20,或4=0
∴X1=0，X2=4
四、当堂训练
1.用因式分解法解下列方程：
（1）（41）（57）=0
（2）3x
（1）=2-2x
（3）（23）
2=4（23）（4）2（3）
22-9
2.用因式分解法解下列方程：
（1）
（2）
22
=（23）
（2）
（2）（3）=12
2
（3）26=（3）
3.一个数的平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数。
五、课堂小结：
1、分解因式法：
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
2、用因式分解法的基本思想是：
把方程化为0的形式，如果0那么0或0。
3、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：
（1）通过移项，将方程右边化为零：
（2）将方程左边分解成两个一次因式之积；
（3）分别令每个因式都等于零，得到两个一元一次方程，
（4）分别解这两个一元一次方程，求得方程的解六、作业：
1.习题2.7第2题（3）、（4）、（5）题.
2.习题2.7第3题.
板书设计：
教学反思：
2.5一元二次方程的根与系数的关系
晋公庙中学数学组
学习目标：
1.知道一元二次方程根与系数关系的推导过程.
2.理解一元二次方程根与系数的关系.
3.能用两根确定一元二次方程的系数.
4.能用根与系数的关系已知一根，不解方程确定另一根。
学习重点：
一元二次方程根与系数关系．学习难点：
一元二次方程根与系数关系的应用.
学习过程：
一、导入新课：
通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数来决定。
求根公式就是根与系数关系的一种形式。
除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？
今天
我们就来一起学习：
2.5一元二次方程的根与系数的关系二、自学指导：
1、解下列方程：
4、对于任何一个二元一次方程，这种关系都成立吗？
请认真自学P49一元二次方程根与系数关系的推导过程部分内容。
三、例题解析
例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x
+76=0
（2）2x
-32=0
解：
（1）：
这里176.
△=b
2-4=7
2-4×1×6=49-24=25＞0
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根为X1和X2，那么
X1+X2=-7，X1X2=6
例2.已知方程5x2+-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。
四、当堂训练
1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积。
（1）x
2
-31=0
（2）3x
2
+25=0
2.小明和小华分别求出了方程9x2+6x-1=0的根.
小明：
X1=X2
1；小
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