一元二次方程的起源和应用.docx
《一元二次方程的起源和应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元二次方程的起源和应用.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
一元二次方程的起源和应用
元二次方程的起源与应用
一年七班唐梦雷
、定义：
（quadraticequationofonevariable）是指含有一个未知数，并
且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
二、起源
在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：
求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一
元二次方程并知道了求根公式。
但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古
中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。
在阿拉伯阿尔.花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数。
把二次方程分成
不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。
阿尔.花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。
十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术.勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。
我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
三、一元二次方程的广泛应用例1:
下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？
2”
（1）二3;
（2）x2「6x=0;（3）、xx=5;（4）-x2=0;
x+5
（5）2x（x-3）=2x21;（6）3x=27x2;（7）2x3;（8）x2y2=5
x
注意点：
①二次项系数不为“0”②未知数指数为“2”③是整式方程；④只含有一个
未知数.
例1:
当k时，关于x的方程kx22^x23是一元二次方程。
例2:
方程m•2Xm-3mx7=0是关于x的一元二次方程，则m的值
为。
例3:
若方程m-1x2•m・x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围
是。
例4:
若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）
A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1
（一）、一元二次方程的一般形式：
ax2bx0（a=0），它的特征是：
等式左
边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫
做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
例1:
方程8x2二7的一次项系数是，常数项是。
例2:
（2012?
洪山区模拟）若将一元二次方程_3x2—2—4x化成一般形式
ax2bxc=0（a'0）后，一次项和常数项分别是；
例3:
一元二次方程a（x+12+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x-1=0，试
求a2b2—c2的值的算术平方根？
（二）、方程的解：
使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
（简而言之：
将该方程的解，代入原方程可以得到一个等式）
例1:
（2013?
牡丹江）若关于x的一元二次方程为ax2bx0（a^0）的解
是xh，贝U2013-a-b的值是。
例2:
（2012?
鄂尔多斯）若a是方程2x2-x-3=0的一个解，贝U6a2-3a的值为
（）
A.3B.-3C.9D.-9
例3:
关于x的一元二次方程a-2x2xa2-0的一个根为0，则a的值
另一根
例4:
已知方程x2•kx_10=0的一根是2，贝Uk为
（三）解一元二次方程的解法：
①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法①直接开方法：
x2二mm_0,=x-二、m
对于（x+a了=m,（ax+m了=（bx+n丫等形式均适用直接开方法
例1、解方程：
12x2-8=0;225-16x2=0;31-x2-9=0;
例2、若9x-1$=16x•2$,则x的值为。
F列方程无解的是（）
A.x23=2x2-1B.x-22=0C.2x3=1-xD.x29=0
在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问
例1:
试用配方法说明x2-2x•3的值恒大于0。
例2:
已知x、y为实数，求代数式x2y22^4y7的最小值。
例3:
已知x2y24x-6y•13=0,x、y为实数，求xy的值。
例4:
若t=2--3x212^-9，则t的最大值为，最小值为
③公式法：
条件：
a=0,且b2-4ac_0
例1:
（1）2x2—3x—1=0；
（2）2x（x+）+1=0;（3）x2+x+25=0
④因式分解法：
X-XjX-x2=0=X=为,或x=x2
十字相乘法：
左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”
如口（ax+m2=（bx+n2，（x+a（x+b）=（x+a]x十c），
例1：
2xx-3=5x-3的根为（）
5
x1,x2=3
2
例2:
方程x2十x-6=0的解为（）
例3:
解方程：
x2231x23^0
例4:
已知2x2-3xy-2y2=0,且x0,y0,则冬」的值为
x—y
例5:
选择适当方法解下列方程：
⑴31x2=6.⑵x3x6=-8.⑶
2
x-4x1=0
⑷3x2—4x-1=0（5）3x-13x1iTx-12x5
四、专项训练：
（一）整体思想：
整体思想方法是指用“全局”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用
整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑.
例1:
若（4x+yf+3（4x十y4=0，贝U4x+y=。
例2:
（a2+b22-（a2+b2）-6=0,则a2+b2=。
例3:
若xy2_x_y‘3=0，贝Ux+y=
例4:
若x2xyy=14,y2xyx=28，则x+y=
例5:
已知2y2•y一3的值为2，则4y2•2y•仁
2
例6:
（苏州市）若x2—x—2=0，求一^的值？
（x—X）-1
（二）降次的思想：
通过变形，把高次项逐步转化为一次式或常数，从而达到降次的目的
例1:
解方程x3-3x2•2x=0
例2:
如果x2•x-1=0，那么代数式x3-2x2-7的值
例4:
解方程组
力-y=6,
（1）
U22
x-5xy6y=0.
（2）
对于一元二次方程的一般形式
（三）当一元二次方程的解为“1”或“-1”时
ax2+bx+c=0（a^0），女口果有一个根为1，贝U
abc=0;如果有一个根为-1，则a-b•c=0;反之也成立;
例1:
已知关于x的一元二次方程ax2•bx•c=0a7的系数满足ab，则
此方程
必有一根为。
例2：
方程a-bx2■b-cx，c-a=0的一个根为（）
A-1B1Cb-cD-a
（四）判别式“的应用
判别式：
根据一元二次方程的系数，判断该方程是否有实数根
例1:
（2013?
珠海）一元二次方程：
①x22x0，②x2—2x—3=0.下列说
法正确的是（）
A.①②都有实数解B.①无实数解，②有实数解
C•①有实数解，②无实数解D.①②都无实数解
例2:
若关于x的方程x2•2...kx-1二0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。
例3:
（2013?
潍坊）已知关于x的方程kx2•1-kx-1=0，下列说法正确的是
（）
A.当k=0时，方程无解
B•当k=1时，方程有一个实数解
C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解
D.当k工0时，方程总有两个不相等的实数解.
例4:
（2013?
六盘水）已知关于x的一元二次方程k-1x2-2x7=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。
例5:
关于x的方程m-1x2•2mx•m=0有实数根，则m的取值范围是（）
A.m_0且m=1B.m_0C.m^1D.m1
例6:
已知关于x的方程x2-k2x2^0
（1）求证：
无论k取何值时，方程总有实数根;
⑵若等腰厶ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求厶ABC的周长。
数解
（五）韦达定理:
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理对于ax2bx•c=0而言，当满足①a=0、②■._0时，才能用韦达定理。
bc
x1x2,x1x2
aa
注意：
切记盲目用韦达定理，而忽视了厶一0
例1:
（2013?
雅安）已知x1,x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，贝Ux1x2的值是（）
A.0B.2C.-2D.4
例2:
（2013?
天门）已知a，B是一元二次方程x2-5x-2=0的两根，那么a2+aB+『的值为（）
A.-1B.9C.23D.27
例3:
已知一个直角二角形的两直角边长恰是方程2x2-8x•7=0的两根，那么
这个直角三角形的斜边长是（）
A.、3B.3C.6D.、6
例4:
（2013?
泸州）已知X1,X2是一元二次方程x2，3x-3=0的两个实数根，则翌$的值为（）
X1X2
A.5B.-5C.1D.-1
例5:
已知a=b，a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，求ab=
例6:
若a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，则—-的值为。
ba
例7:
已知：
是方程x2-x-仁0的两个根，那么:
4二.
（六）应用题
类型一：
单循环赛制（注意区别双循环赛）
例1:
（2013?
东营）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛
一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数有多少？
例2：
（2011?
黄石）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3
条直线，若平面上不同的n个点最多可确定45条直线.则n的值为
例3:
（襄樊市改编）如图，锐角•AOB的内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同的射线，可得6个锐角；画3条不同的射线，可得10个锐角；…；照此规律，画多少条射线可以得到66个角？
类型二：
几何中的一元二次万程
例1:
（2009?
庆阳）如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,则修建的路宽应为_
匚f
LI
430m
例2:
（2011?
台湾）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某
两网格线的交点上，
若灰色三角形面积为
-1平方公分，
4
则此方格纸的面积为多
少平方公分？
（
）
A.11B
.12C.13
D.
14
例3:
（2013?
衢州）如图在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.
（1）用a,b,x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长.
类型三：
薄利多销的商家
例1:
（2013?
泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1
元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
例2:
（2012?
山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千
克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应
按原售价的几折出售？
类型四：
增长率的问题
例1:
（2012?
钦州）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，
2009年投入6000万元，2011年投入8640万元.
（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？
请通过计算说明理由.
例2:
（2013?
襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
例3:
（2013?
巴中）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率？
巩固练习
（二）
1.（2012?
洪山区模拟）若将一元二次方程-3x2—2=_4x化成一般形式
ax2bxc=0（a'0）后，一次项和常数项分别是;
2.一元二次方程a（x+12+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x-1=0，试求
a2b^c2的值的算术平方根？
3.（2013?
牡丹江）若关于x的一元二次方程为ax2bx^0（a^0）的解是x=1，
则2013-a-b的值是。
4.（2012?
鄂尔多斯）若a是方程2x2-x-3=0的一个解，则6a2-3a的值为（）
A.3B.-3C.9D.-9
2
5.（苏州市）若x2-x-2=0，求FI的值？
（x-x）-1
6.已知关于x的方程k2x22k—1x・1=0有两个不相等的实数根X1,X2，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？
若存在，求出k的值;
若不存在，请说明理由。
8.（2012?
潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3X3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21,22）.若圈出的9个
数中，最大数与最小数的积为192,则这9个数的和为多少?
AUQUST0
AuJ?
管耳121ZS5藍盒艮2?
碧«X丐朝SI程4H21詈dIHgle扛1?
理St
9.（2012?
南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有多少支？
10.（2010?
本溪）为执行“两免一补”政策，丹东地区2007年投入教育经费2500万元，预计2009年投入3600万元，则这两年投入教育经费的平均增长率为多少?
11.（2013?
玉林）已知关于x的方程x2•x•n=0有两个实数根-2，m.求m,n的
值？
升级会员 