一元二次方程的起源和应用.docx

1、一元二次方程的起源和应用元二次方程的起源与应用一年七班唐梦雷、定义：(quadratic equati on of one variable ) 是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。二、起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书 中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数 .可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不 提的。埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前 4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图(246-330)却只取二次方程的一个正

2、根，即使遇到两个都是 正根的情况，他亦只取其中之一。公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的婆罗摩修正体系中，得到二次 方程二次项系数为一的一个求根公式。在阿拉伯阿尔.花拉子米的代数学中讨论到方程的解法，解出了一次、 二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔.花拉子米除了给出二次方程的几 种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法， 承认方程有两个根，并有无 理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而 开始应用复数根。韦达(1540-1603)除已知一元方程在复数范围内恒有解外， 还给出根与系

3、数的关系。我国九章算术.勾股章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。三、一元二次方程的广泛应用 例1:下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？2 ”(1)二 3 ; (2) x26x = 0 ; (3) 、x x = 5; (4) - x2 = 0 ;x +5(5) 2x(x-3)=2x2 1 ; (6) 3x=27x2 ; (7) 2x 3; (8) x2 y2 = 5x注意点：二次项系数不为“ 0” 未知数指数为“ 2” 是整式方程；只含有一个未知数.例1:当k 时，关于x的方程kx2 2x2 3是一元二次方程。例2 :方程m 2 Xm - 3m

4、x 7=0是关于x的一元二次方程，则 m的值为 。例3:若方程m-1 x2 mx =1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是 。例4:若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2 ,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1（一） 、一元二次方程的一般形式：ax2 bx 0（a = 0），它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。例1:方程8x2二7的一次项系数是 ，常数项是 。例2 : （ 2012?洪山区模拟）若将一元二次方程

5、 _3x22 4x化成一般形式ax2 bx c = 0（a 0）后，一次项和常数项分别是 ；例3: 一元二次方程a（x+1 2+b（x+1 ）+c = 0化为一般式后为3x2+2x-1 = 0，试求a2 b2 c2的值的算术平方根？（二） 、方程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 （简而言之：将该方程的解，代入原方程可以得到一个等式）例1: （2013?牡丹江）若关于x的一元二次方程为ax2 bx 0 （a0）的解是xh，贝U 2013 -a-b的值是 。例2: （2012?鄂尔多斯）若a是方程2x2-x-3=0的一个解，贝U 6a2 - 3a的值为（ ）A. 3 B . -3

6、C . 9 D. -9例3:关于x的一元二次方程a - 2 x2 x a2 -0的一个根为0，则a的值,另一根例4 :已知方程 x2 kx _10 =0的一根是 2，贝U k为（三）解一元二次方程的解法：直接开方法；因式分解法；配方法； 公式法 直接开方法：x2二m m _ 0 ,= x -二、m对于（x + a 了 = m, （ax + m 了 = （bx + n 丫等形式均适用直接开方法例 1、解方程：12x2-8=0; 2 25-16x2=0; 3 1 - x 2 - 9 = 0;例2、若9 x -1 $ = 16 x 2 $ ,则x的值为 。F列方程无解的是（ ）A.x2 3=2x2-

7、1 B. x-22=0 C. 2x 3=1-x D. x2 9 = 0在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问例1:试用配方法说明x2 -2x 3的值恒大于0。例2:已知x、y为实数，求代数式x2 y2 2 4y 7的最小值。例3:已知x2 y2 4x -6y 13=0, x、y为实数，求xy的值。例4:若t =2 - - 3x2 12-9，则t的最大值为 ，最小值为 公式法：条件：a = 0,且b2-4ac _ 0例 1:( 1)2x23x1=0 ； (2) 2x(x + )+1 = 0 ; (3)x2+x + 25 = 0因式分解法：X - Xj X - x2

8、 =0= X =为,或x = x2十字相乘法：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“ 0”如口(ax + m 2 = (bx + n 2， (x + a (x + b )= (x + a x 十 c)，例 1： 2x x -3 =5x -3 的根为（ ）5x1 , x2 = 32例2:方程x2十x -6 = 0的解为（ ）例 3:解方程：x2 2 3 1 x230例4:已知2x2 -3xy-2y2 =0,且x 0, y 0,则冬的值为 x y例5:选择适当方法解下列方程： 31 x 2 =6. x 3 x 6 = -8. 2x -4x 1=0 3x2 4x -1 =0 （5） 3x-1 3x

9、 1iTx-1 2x 5四、专项训练：（一）整体思想：整体思想方法是指用“全局”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已 知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法 .利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑.例 1 :若（4x + y f +3（4x 十 y 4 = 0，贝U 4x+y= 。例 2: （a2 +b2 2 -（a2 +b2 ）-6 =0,则 a2 +b2 = 。例 3: 若 x y 2_x_y 3 = 0，贝U x+y= 例 4:若 x2 xy y = 14 , y2 xy x =28，则 x+y= 例5:已知2y2 y 一 3的值为2，则4y2 2

10、y 仁 2例6:（苏州市）若x2x2=0，求一 的值？（x X）-1（二）降次的思想： 通过变形，把高次项逐步转化为一次式或常数 ，从而达到降次的目的例 1:解方程 x3 -3x2 2x = 0例2:如果x2 x -1 = 0，那么代数式x3 - 2x2-7的值例4 :解方程组力-y=6, （1）U 2 2x - 5xy 6y =0. （2）对于一元二次方程的一般形式（三）当一元二次方程的解为“ 1”或“-1 ”时ax2+bx+c = 0 （ a0），女口果有一个根为 1，贝Ua b c =0 ;如果有一个根为-1，则a -b c = 0 ;反之也成立;例1:已知关于x的一元二次方程ax2 b

11、x c = 0 a 7 的系数满足a b，则此方程必有一根为 。例2：方程a-bx2 b-cx，c-a=0的一个根为（ ）A -1 B 1 C b-c D -a（四）判别式“ 的应用判别式：根据一元二次方程的系数，判断该方程是否有实数根例1: （2013?珠海）一元二次方程：x2 2x 0，x2 2x 3 = 0 .下列说法正确的是（ ）A.都有实数解 B .无实数解，有实数解C有实数解，无实数解 D .都无实数解例2:若关于x的方程x2 2. kx -1二0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 是 。例3: （2013?潍坊）已知关于x的方程kx2 1-kx-1=0，下列说法正确的是（ ）A

12、.当k =0时，方程无解B当k=1时，方程有一个实数解C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解D.当k工0时，方程总有两个不相等的实数解.例4: （2013?六盘水）已知关于x的一元二次方程k-1x2-2x7=0有两个不相 等的实数根，则k的取值范围是 。例5:关于x的方程m -1 x2 2mx m = 0有实数根，则m的取值范围是（）A. m _0且m=1 B. m_0 C. m1 D. m 1例6:已知关于x的方程x2 - k 2 x 2 0 （1）求证：无论k取何值时，方程总有实数根;若等腰厶ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求厶ABC的周长。数解（五）韦达定理:法国数学家

13、韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系， 因此，人们把这 个关系称为韦达定理 对于ax2 bx c = 0而言，当满足a = 0、. _ 0时， 才能用韦达定理。b cx1 x2 , x1x2a a注意：切记盲目用韦达定理，而忽视了厶一0例1: （ 2013?雅安）已知x1,x2是一元二次方程x2-2x = 0的两根，贝U x1 x2的值 是（ ）A. 0 B . 2 C. -2 D . 4例2: （ 2013?天门）已知a，B是一元二次方程x2-5x-2=0的两根，那么a 2+ a B +的值为（ ）A. -1 B . 9 C . 23 D . 27例3:已知一个直角二角形的两直角边长

14、恰是方程 2x2-8x 7 = 0的两根，那么这个直角三角形的斜边长是（ ）A.、3 B.3 C.6 D. 、6例4: （2013?泸州）已知X1,X2是一元二次方程x2，3x-3=0的两个实数根，则 翌$的值为（ ）X1 X2A. 5 B . -5 C . 1 D . -1例 5:已知 a = b， a2 -2a -1 = 0， b2 -2b -1 = 0，求 a b = 例 6:若 a2-2a-1=0， b2-2b-1=0，则-的值为 。b a例7:已知：,是方程x2 -x -仁0的两个根，那么:4 二 .（六）应用题类型一：单循环赛制（注意区别双循环赛）例1: （2013?东营）要组织一

15、次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数有多少？例2：（2011?黄石）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定 3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定45条直线.则n的值为 例3:（襄樊市改编）如图，锐角 AOB的内部，画1条射线，可得3个锐角； 画2条不同的射线，可得6个锐角；画3条不同的射线，可得10个锐角； 照此规律，画多少条射线可以得到 66个角？类型二：几何中的一元二次万程例1: （2009?庆阳）如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样 宽的道路，余下部分作为耕地.若耕地面积需要 551米2,则修建的路宽应

16、为_匚fLI4 30m例2: （2011?台湾）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为-1平方公分，4则此方格纸的面积为多少平方公分？（)A. 11 B.12 C . 13D .14例3: （2013?衢州）如图在长和宽分别是 a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个 边长为x的正方形.（1）用a, b, x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6, b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时, 求正方形的边长.类型三：薄利多销的商家例1: （2013?泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以 每个10元的价格售出200个，第二周

17、若按每个10元的价格销售仍可售出200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商 店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念 品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？例2: （2012?山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2元，则平均每天的销售可增加 20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每 天获利2240元，请回答：（1） 每千克核桃应降价多少

18、元？（2） 在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？类型四：增长率的问题例1: （2012?钦州）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元.(1)求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平 均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由.例2: (2013?襄阳)有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传

19、染？例3: (2013?巴中)某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比 2月份增加10% 5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的 月平均增长率？巩固练习(二)1.( 2012?洪山区模拟)若将一元二次方程- 3x22=_4x化成一般形式ax2 bx c = 0(a 0)后，一次项和常数项分别是 ;2.一元二次方程a(x+1 2+b(x+1 )+c = 0化为一般式后为 3x2+2x-1 = 0，试求a2 bc2的值的算术平方根？3.(2013?牡丹江)若关于x的一元二次方程为ax2 bx 0 (a0)的解是x =1，则2013 -a -b的值是 。4.(201

20、2?鄂尔多斯)若a是方程2x2 -x-3 = 0的一个解，则6a2-3a的值为( )A. 3 B . -3 C . 9 D. -925.(苏州市)若x2 -x-2 =0，求F I 的值？(x-x)-16.已知关于x的方程k2x2 2k1x1=0有两个不相等的实数根X1,X2，（1） 求k的取值范围；（2） 是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值;若不存在，请说明理由。8. （2012?潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 3X 3 个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21, 22）.若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192,则这9个数的和为多少?AUQUST 0A uJ?管 耳121ZS5 藍 盒艮2?碧 X丐朝SI程 4H21詈 dIHgle 扛1?理St9.（2012?南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间 都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有多少支？10.（ 2010?本溪）为执行“两免一补”政策，丹东地区2007年投入教育经费2 500 万元，预计2009年投入3 600万元，则这两年投入教育经费的平均增长率为多 少?11.（2013?玉林）已知关于x的方程x2 x n = 0有两个实数根-2，m .求m,n的值？