计算流体力学典型算法与算例（含光盘）作者高歌第4章课件课件.pptx

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第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,计算流体力学:

典型算法与算例课程（全书共235张幻灯片）,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,2,基本内容模型方程及其数学性质几个经典的差分格式矢通量分裂方法Roe格式Godunov间断方法TVD格式ENO/WENO格式间断Galerkin有限元方法数值算例,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,3,模型方程及其数学性质流体力学的基本方程是复杂的非线性方程组，很难找到一般情况下的解析解或者精确解，所以在计算流体力学的研究过程中，经常针对模型方程，分析采用的数值方法的基本特征，如方法的精度、收敛性、稳定性以及数值解的误差特性等。

通过对模型方程的研究，验证数值方法的可靠性之后，再将其应用于求解流体力学基本方程组。

由于流体力学方程组的复杂性，所得计算结果仍然需要与实验值或典型问题的公认结果进行比较，证实数值方法的可靠性。

一般来说，模型方程应具备流体力学方程组的基本特征，本节给出在计算流体力学中经常采用的几个模型方程，用于验证数值方法的精度。

第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,线性单行波方程,初始条件精确解,该方程的解只不过是以速度a平移而已，它描述了对流输运的基本特性。

4,可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,第4章热传导方程,初始条件精确解,该方程描述的是纯耗散性问题，其典型特征是解析解随时间的进行越来越光滑。

5,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,无粘Burgers方程,初始条件该方程经常用来进行间断解的方法设计、分析与检验，其典型特征是随时间的进行，方程的解将出现间断。

6,可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,第4章Burgers方程,初始条件,该方程是Navier-Stokes方程最简单的模型方程，空间一阶导数项用于模拟非线性对流项，方程右端二阶导数项用于模拟粘性项，基本上保留了Navier-Stokes方程的混合型特征。

选用特殊的初始值和边界条件，可以得到模型方程的准确解。

7,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,一维Euler方程组,其中,这里，分别为流体的密度，流体速度，压强，单位体积的总能和气体绝热指数。

计算中经常给出左右状态的初始条件,这类问题常称为Riemann问题，也称为激波管问题，该方程经常用于间断解计算方法设计和构造，并用于判断间断解方法的优劣。

8,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,9,几个经典的差分格式本节讨论计算流体力学早期发展起来的几个重要的流体力学方程组计算格式，其中包括Lax-Friedrichs格式、Lax-Wendroff的二阶格式以及VonNeumann人工粘性方法等。

这些方法构造相对简单，在计算流体力学发展过程中起到了先驱的作用，而且在实际工作中也得到过相当广泛的应用，了解这些计算格式的基本思想对研究和构造计算格式仍然有很深的影响。

可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,第4章基本差分格式,FTFS,FTCS,FTBS,根据vonNeumann稳定性分析理论可以得到，FTFS格式与FTCS格式为不稳定的，FTBS格式也称为迎风格式，它在at/x1的条件下是稳定的，在时间和空间上都具有一阶精度。

10,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,Lax-Friedrichs格式将FTCS格式中u取成平均值，就得到了偏微分方程的Lax格式,根据vonNeumann稳定性分析理论可以得到，Lax格式在at/x1的条件下是稳定的，在时间和空间上都具有一阶精度。

11,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,蛙跳格式在时间和空间都用二阶中心差分离散，可以得到蛙跳格式,蛙跳格式在时间和空间上均具有2阶精度，其稳定性条件为at/x1。

从格式上可以看到，计算层时间上的值时需要n和n-1两个初始时间层上的值，因此初始解对计算结果的精度有很大的影响，同时，该格式的存储量也会比前面的格式大。

12,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,Lax-Wendroff格式利用Taylor级数展开，可以得到二阶格式,该格式在时间和空间上均具有2阶精度，其稳定性条件为at/x1。

13,可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,第4章人工粘性方法,一维流体力学模型方程是典型的拟线性双曲型方程组，即使在连续可微的初始条件下，也会在解中出现间断，一些适合于计算连续可微解的差分方法，常常不能适用于间断解的计算。

VonNeumann人工粘性方法是计算流体力学方程组的最早的方法之一，在实际的工作中的一种常用的差分方法。

VonNeumann人工粘性方法的基本思想是将“激波”看成是仅有几个分子自由程宽度的薄层，其中的物理量是连续的，但是变化梯度很大，在这个基本思想下，VonNeumann提出在流体力学方程组中加上一项人工粘性来取代真实的粘性，目的就是把激波间断抹平，使得差分方法能够进行计算。

对于模型方程，VonNeumann人工粘性项一个较为简单的表达形式为,14,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,Steger-Warming矢通量分裂方法利用Jacobian矩阵分裂方法可以构造分裂后的通量矢量，Steger和Warming经过推导，给出了一维气体动力学方程组分裂后的具体表达式,其中,15,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,vanLeer的矢通量分裂方法Steger-Warming矢通量分裂方法在u=0处不是连续可微，在声速线上也不是连续可微了，为了克服这一问题，VanLeer寻找到了性质尽可能好一些的通量分裂方法，这种方法只适用于理想气体的Euler方程，具体表达式为,16,可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,第4章4.4Roe格式,对于Euler方程，其数值解的难度主要是因为非线性引起的间断分解的复杂性，而其中的关键又在于Jacobian矩阵的非线性。

Roe格式的基本思路是利用间断左右函数的常数态，去构造一个合理的替换矩阵，将复杂的非线性问题转换为线性问题。

为此，Roe提出了构造这种线性化近似矩阵的原则：

“U”特性。

当,时，,，即具有相容性,，具有相似性的特征向量是线性无关组,17,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,Roe格式的详细表达式,18,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,4.5Godunov间断方法Godunov方法的基本思想是：

将时刻已知的离散解分别看成是在每个小网格区间内是分段常数的。

于是在相邻网格范围内，可以分别的局部地考虑初始间断为,的Riemann问题，并可以得到相应的Riemann问题的精确解。

取t的时间间隔内，这些相邻的局部Riemann问题精确解互相互不干扰，这样可以把这些局部Riemann问题精确解组合成整个计算域内的精确解。

再将这些精确解在tn+1时的在每个网格区间内分别进行平均，得到的平均值就构成了下一轮计算循环所需时刻的离散分布。

19,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,Godunov一阶格式表达式,20,可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,21,第4章MUSCL格式,Godunov差分方法的一个重要特征是每一个网格上的积分平均意义上的常数态假定，也就是说在每一个网格上假定是常数。

为了构造高阶的间断解差分方法，VanLeer提出了一种行之有效的间断解差分构造方法MUSCL（monotonicupstream-centredschemeforconservationlaws）。

MUSCL差分格式的基本思想是：

为了得到高阶精度的Godunov差分格式，差分格式从守恒型微分方程出发；其次，为了保证数值解是物理解，并且保证差分格式具有阶精度，要求构造一个合适的重构函数，由它计算得到数值通量，在MUSCL构造过程中充分考虑了差分格式的单调性和守恒性。

MUSCL差分格式和一阶Godunov差分格式的最大区别在于：

在一阶Godunov差分格式中时刻重构函数在每个网格内是常数分布；而在二阶MUSCL差分格式中时刻重构函数在每个网格内的值是线性分布的。

第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,MUSCL格式表达式,22,可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,第4章4.6TVD格式,。

t1t2时刻特征线没有相交，t1时刻取任意网格（A1D1）都能在t2时刻找到相应的网格（A2D2），总变差为常数；t3时刻特征线相交于B3C3，则t3时刻B3左边与C3右边在t2时刻找到相应的网格，而B2C2之间总变差则变为0；有激波时总变差是下降的。

总变差定义,23,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,一阶TVD格式表达式,24,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,Harten二阶TVD格式表达式,25,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,带通量限制因子的二阶TVD格式表达式,引入通量限制因子常用的通量限制因子有,26,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,Yee-Roe-Davis对称性型二阶TVD格式,式中常用的通量限制因子有,27,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,28,ENO/WENO格式TVD格式的精度最多只能到达二阶，更重要的是TVD格式的精度在个别点（光滑的极值点）上会降为一阶，为了改善TVD格式在光滑极值点处的精度，1986年Harten提出了无振荡格式（Non-oscillatory）的概念，并于1987年提出了本质无振荡格式（EssentiallyNon-oscillatory）的详细构造方法。

ENO方法放松了TVD性质的限制而达到一致的高精度，可以说ENO方法的创立在守恒律方程（组）的高阶与高分辨率数值方法的设计上找到了一条比较统一而有效的途径。

ENO方法与以往的格式最大的不同在于采用了可调节模板（AdaptiveStencil）代替固定模板，尽可能避免选择的模板中包含间断，这样既可以扩充模板以提高格式精度，又能有效的抑制非物理振荡。

第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,ENO/WENO格式表达式对f进行通量分裂,令,，通过ENO或WENO方法重构得到网格边界上的值,令，通过ENO或WENO方法重构得到网格边界上的值计算得到数值通量其中步骤2和步骤3中包含了ENO或WENO格式的本质过程，下面给出两种方法的重构过程，需要说明的是，ENO或WENO重构是在单元平均意义上构造的，但这个过程同样适用于有限差分，其区别就在于将网格节点的值作为单元的平均值进行计算。

29,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,ENO重构过程计算原函数及各阶差商,30,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,ENO重构过程对于任意的第Ij个网格，首先选定两节点模板,根据差商逐次扩充模板，记为,根据选择的最光滑的模板，通过Lagrange插值或Newton插值，得到边界上的近似值,31,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,ENO重构过程Lagrange插值多项式的一般形式为,Newton插值多项式一般形式为,32,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,WENO重构过程通过Lagrange插值或Newton插值计算得到k阶精度所有模板在边界上的重构值计算光滑时的加权常数，使得在光滑情况下，通过加权平均可得到2k-1阶精度,计算光滑因子,k=2时,k=3时,33,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,WENO重构过程计算权函数,得到（2k-1）阶WENO重构值,对于守恒律方程组，仍然可以将ENO或WENO方法作形式上的推广，在实际计算过程中发现，这样的推广是可行的。

34,第4章可压缩流对流项数值格式的几种处理方法,35,间断Galerkin有限元方法间断Galerkin方法是利用完全间断的分片多项式空间作为近似解和试验函数。

Reed和Hill在关于中子输运方程问题中首先提出了DG方法，然而这时的DG方法在求解非线性方