四种命题间的相互关系.docx
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四种命题间的相互关系
1.1.3 四种命题间的相互关系
学习目标
1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题．
知识点一 四种命题间的关系
思考 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系？
答案 原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．
梳理 四种命题间的关系
知识点二 四种命题间的真假关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
（1）两个互逆命题的真假性相同．（×）
（2）原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同．（√）
（3）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．（×）
类型一 四种命题间的关系及真假判断
例1 判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假．
（1）若ab≤0，则a≤0或b≤0；
（2）若a2＋b2＝0，则a，b都为0.
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
解
（1）逆命题：
若a≤0或b≤0，则ab≤0.它为假命题．
逆否命题：
若a＞0且b＞0，则ab＞0.它为真命题．
所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题．
（2）原命题与其逆命题“若a，b都为0，则a2＋b2＝0”均为真命题，所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题．
反思与感悟 互为逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的关系是解题的关键．
跟踪训练1 下列命题为假命题的是（ ）
A．“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”的否命题
B．“正三角形都相似”的逆命题
C．“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题
D．“若x－
是有理数，则x是无理数”的逆否命题
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
答案 B
解析 A中，原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”，是真命题．
B中，原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，是假命题．
C中，原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”，∵方程无实根，∴Δ＝1＋4m＜0，∴m＜－
，
∴原命题的逆否命题是真命题．
D中，原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－
不是有理数”，
∵x不是无理数，∴x是有理数，
又
是无理数，∴x－
是无理数，不是有理数，∴原命题的逆否命题是真命题．
类型二 等价命题的应用
例2 设m，n∈R，证明：
若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.
考点 反证法逆否证法
题点 逆否证法
证明 将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，
则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．
因为m＋n＞2，所以m2＋n2≥
（m＋n）2＞
×22＝2.
所以m2＋n2≠2，所以原命题得证．
反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
跟踪训练2 证明：
若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
考点 反证法和逆否证法
题点 逆否证法
证明 命题“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝（2b＋1）2－4b2－2×（2b＋1）＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，
显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证.
1．命题“若（綈p），则q”的逆否命题为（ ）
A．若p，则（綈q）B．若（綈q），则（綈p）
C．若（綈q），则pD．若q，则p
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 C
2．下列命题为真命题的是（ ）
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题
考点 四种命题间的相互关系
题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假
答案 A
解析 对A，即判断：
若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．
3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤1
4．有下列命题：
①“若k＞0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；
②“若
＞
，则a＜b”的逆命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．
其中是假命题的是________．
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案 ①②
解析 对于①，其否命题为：
若k≤0，则方程x2＋2x＋k＝0无实根，显然为假命题；对于②，若a＜b，则
＞
，为假命题；③则为真命题，故假命题为①②.
5．已知命题p：
“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．
（1）写出命题p的否命题；
（2）判断命题p的否命题的真假．
考点 四种命题间的相互关系
题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假
解
（1）命题p的否命题为：
“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．
（2）命题p的否命题是真命题．判断如下：
因为ac<0，
所以－ac>0，Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，
所以该命题是真命题．
写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．
一、选择题
1．以下说法错误的是（ ）
A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题
B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题
C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数
D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 B
2．一个命题和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数不可能为（ ）
A．0B．1
C．2D．4
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案 B
解析 互为逆否关系的两个命题的真假性相同．
3．“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”为原命题，则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案 C
解析 只有其逆命题、否命题为真命题．
4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是（ ）
A．互逆命题B．互否命题
C．互为逆否命题D．以上都不正确
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 A
解析 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．
5．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是（ ）
A．若xC．若x>y，则x2>y2D．若x≥y，则x2≥y2
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 B
解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
6．给出下列四个命题：
①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是（ ）
A．①②B．②③
C．③④D．②④
考点 反证法和逆否证法
题点 逆否证法
答案 D
解析 根据面面垂直的判定定理可知②是真命题；根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”，可知④是真命题．
7．原命题为“若
A．真、真、真B．假、假、真
C．真、真、假D．假、假、假
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 A
解析 从原命题、逆命题的真假入手，
8．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题为（ ）
A．①②B．②③C．①③D．③④
考点 四种命题间的关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 C
解析 ①逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，假命题；③当q≤1时，Δ＝4－4q≥0，所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题；④逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假命题．故选C.
二、填空题
9．命题“若a＞b，则ac2＞bc2（a，b∈R）”的否命题的真假性为________．（填“真”或“假”）
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
答案 真
解析 其否命题为：
若a≤b，则ac2≤bc2，它为真命题．
10．已知命题p：
若a＞b＞0，则
＜
＋1，则命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________．
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案 2
解析 ∵a＞b＞0，∴
＜
，
∴命题p为真命题，其逆命题为“若
＜
＋1，则a＞b＞0”，
∵当a＝2，b＝2时，
＜
＋1成立，
而a＝b，∴逆命题为假命题．
∵原命题与其逆否命题的真假相同，逆命题与否命题互为逆否命题，
∴命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.
11．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．（只填序号）
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ②
解析 ①的逆命题是：
若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1为模型来观察：
上底面A1B1C1D1中任何三个顶点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①的逆命题是假命题．②的逆命题是：
若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．易知其是真命题．
三、解答题
12．判断下列命题的真假．
（1）对角线不相等的四边形不是等腰梯形；
（2）若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；
（3）若x2＋y2≠0，则xy≠0.
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
解
（1）该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．
（2）该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．
（3）该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．
13．判断命题：
“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
解 方法一 （利用原命题）因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
方法二 （利用逆否命题）原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．
四、探究与拓展
14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为（ ）
①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．
A．1B．2C．3D．4
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数
答案 B
解析 由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B.
15．已知条件p：
|5x－1|＞a＞0，其中a为实数，条件q：
＞0，请选取一个适当的a值，利用所给出的两个条件p，q分别作为集合A，B，构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
解 由|5x－1|＞a＞0，得5x－1＜－a或5x－1＞a，
即x＜
或x＞
.
由
＞0，得2x2－3x＋1＞0，
解得x＜
或x＞1.
为使“若A，则B”为真命题，而其逆命题为假命题，则需AB.
令a＝4，得p：
x＜－
或x＞1，
满足题意，故可以选取a＝4，
此时原命题是“若|5x－1|＞4，则
＞0”．
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