四种命题间的相互关系.docx

1、四种命题间的相互关系1.1.3四种命题间的相互关系学习目标1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题知识点一四种命题间的关系思考原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系？答案原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系梳理四种命题间的关系知识点二四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系(1)两个互逆命题的真假性相同()(2)原

2、命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同()(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”()类型一四种命题间的关系及真假判断例1判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假(1)若ab0，则a0或b0；(2)若a2b20，则a，b都为0.考点四种命题的概念题点判断四种命题的真假解(1)逆命题：若a0或b0，则ab0.它为假命题逆否命题：若a0且b0，则ab0.它为真命题所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题(2)原命题与其逆命题“若a，b都为0，则a2b20”均为真命题，所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题反思与感悟互为逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的

3、关系是解题的关键跟踪训练1下列命题为假命题的是()A“若x2y20，则x，y不全为0”的否命题B“正三角形都相似”的逆命题C“若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题D“若x是有理数，则x是无理数”的逆否命题考点四种命题的概念题点判断四种命题的真假答案B解析A中，原命题的否命题为“若x2y20，则x，y全为0”，是真命题B中，原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，是假命题C中，原命题的逆否命题为“若x2xm0无实根，则m0”，方程无实根，14m0，m，原命题的逆否命题是真命题D中，原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x不是有理数”，x不是无理数，x是有理数，又是无理数

4、，x是无理数，不是有理数，原命题的逆否命题是真命题类型二等价命题的应用例2设m，nR，证明：若m2n22，则mn2.考点反证法逆否证法题点逆否证法证明将“若m2n22，则mn2”视为原命题，则它的逆否命题为“若mn2，则m2n22”因为mn2，所以m2n2(mn)2222.所以m2n22，所以原命题得证反思与感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题跟踪训练2证明：若a24b22a10，则a2b1.考点反证法和逆否证法题点逆否证法证明命题“若a24b22a

5、10，则a2b1”的逆否命题为“若 a2b1，则a24b22a10”由a2b1，得a24b22a1(2b1)24b22(2b1)14b24b14b24b210，显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题故原命题得证.1命题“若(綈p)，则q”的逆否命题为()A若p，则(綈q) B若(綈q)，则(綈p)C若(綈q)，则p D若q，则p考点四种命题的概念题点按要求写命题答案C2下列命题为真命题的是()A命题“若xy，则x|y|”的逆命题B命题“若x1，则x21”的否命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若x21，则x1”的逆否命题考点四种命题间的相互关系题点写出四种命题利用四种

6、命题的关系判断真假答案A解析对A，即判断：若x|y|，则xy的真假，显然是真命题3命题“若x1，则x0”的逆命题是_，逆否命题是_考点四种命题的概念题点按要求写命题答案若x0，则x1若x0，则x14有下列命题：“若k0，则方程x22xk0有实根”的否命题；“若，则ab”的逆命题；“梯形不是平行四边形”的逆否命题其中是假命题的是_考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案解析对于，其否命题为：若k0，则方程x22xk0无实根，显然为假命题；对于，若ab，则，为假命题；则为真命题，故假命题为.5已知命题p：“若ac0，则二次不等式ax2bxc0无解”(1)写出命题p的否命

7、题；(2)判断命题p的否命题的真假考点四种命题间的相互关系题点写出四种命题利用四种命题的关系判断真假解(1)命题p的否命题为：“若ac0有解”(2)命题p的否命题是真命题判断如下：因为ac0，b24ac0二次方程ax2bxc0有实根ax2bxc0有解，所以该命题是真命题写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可一、选择题1以下说法错误的是()A如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为

8、真命题C原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案B2一个命题和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数不可能为()A0 B1C2 D4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案B解析互为逆否关系的两个命题的真假性相同3“若x23x20，则x2”为原命题，则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是()A0 B1C2 D3考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案C解析只有其逆命题、否命题为真命题4若命题p的否命题

9、为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A互逆命题 B互否命题C互为逆否命题 D以上都不正确考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案A解析设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”故q与r为互逆命题5命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是()A若xy，则x2y，则x2y2 D若xy，则x2y2考点四种命题的概念题点按要求写命题答案B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若xy，则x2y2”6给出下列四个命题：如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果一个平面经

10、过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中为真命题的是()A BC D考点反证法和逆否证法题点逆否证法答案D解析根据面面垂直的判定定理可知是真命题；根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”，可知是真命题7原命题为“若an，nN*，则an为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真、真、真 B假、假、真C真、真、假 D假、假、假考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案A解

11、析从原命题、逆命题的真假入手， anan10，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x22bxb2b0无实根，则b1”方程判别式为4b24(b2b)4b，因为方程无实根，所以0，即4b0，所以b1成立，即原命题的逆否命题为真四、探究与拓展14已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()M中的元素都不是P的元素；M中有不属于P的元素；M中有属于P的元素；M中的元素不都是P的元素A1 B2 C3 D4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案B解析

12、由于“MP”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，正确M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故错误故选B.15已知条件p：|5x1|a0，其中a为实数，条件q：0，请选取一个适当的a值，利用所给出的两个条件p，q分别作为集合A，B，构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解由|5x1|a0，得5x1a或5x1a，即x或x.由0，得2x23x10，解得x或x1.为使“若A，则B”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A B.令a4，得p：x或x1，满足题意，故可以选取a4，此时原命题是“若|5x1|4，则0”