届北京市海淀区高三第二学期期中练习一模数学文word版有答案.docx
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届北京市海淀区高三第二学期期中练习一模数学文word版有答案
2018届
北京市海淀区高三年级第二学期期中练习
数学（文科）2018.4
本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合
，
，且
，则
可以是
（A）
（B）0（C）l（D）2
（2）已知向量a=（l，2），b=（
，0），则a+2b=
（A）（
，2）（B）（
，4）（C）（1，2）（D）（1，4）
（3）下列函数满足
的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为
（A）2（B）6
（C）8（D）10
（5）若抛物线
上任意一点到焦点的距
离恒大于1，则
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）如图，格纸上小正方形的边长为1，若四边形
及其内部的点组成的集合记为
，
为
中任意一点，则
的最大值为
（A）1（B）2
（C）
（D）
（7）已知
是等差数列
的前
项和，则“
对，
恒成立”是“数列
为递增数列”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（8）已知直线
：
与圆
相交于
两点，
是线段
的中点，则点
到直线
的距离的最大值为
（A）2（B）3（C）4（D）5
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）复数
.
（10）已知点（2，0）是双曲线
：
的一个顶点，则
的离心率为.
（11）在
中，若
，
，
，则
，
.
（12）某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是.
（13）已知函数
，给出下列结论：
①
在
上是减函数；
②
在
上的最小值为
；
③
在
上至少有两个零点，
其中正确结论的序号为.（写出所有正确结论的序号）
（14）将标号为1，2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片．把每列标号最小的卡片选出，将这些卡片中标号最大的数设为
；把每行标号最大的卡片选出，将这些卡片中标号最小的数设为
．
甲同学认为
有可能比
大，乙同学认为
和
有可能相等．那么甲乙两位同学中说法正确
的同学是.
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
已知等比数列
满足以，
，
．
（I）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）试判断是否存在正整数
，使得
的前
项和
为
？
若存在，求出
的值；
若不存在，说明理由．
（16）（本小题13分）
函数
（
）的部分图象如图所示，
其中
是函数
的一个零点．
（I）写出
及
的值；
（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值和最小值．
（17）（本小题13分）
流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播．科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%—55%时，病毒死亡较快，现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在
%～
%时记为区间
．
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
[15,25）
[25,35）
[35,45）
[45,55）
[55,65）
[65,75）
[75,85）
[85,95）
频数
2
3
15
30
50
75
120
5
（I）求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率；
（Ⅱ）从区间[15，35）的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于[25，35）的概率；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中空气月平均相对
湿度的平均数在第几组（只需写出结论）．
（18）（本小题14分）
如图，四棱锥
中，
，且
平面
，
为棱
的中点．
（I）求证：
∥平面
;
（Ⅱ）求证：
平面
平面
;
（Ⅲ）当四面体
的体积最大时，判断直线
与直线
是
否垂直，并说明理由．
（19）（本小题14分）
已知椭圆
的两个焦点为
，离心率为
．
（I）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设点
是椭圆
的右顶点，过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，直线
，
与直线
分别交于
，
两点．求证：
点
在以
为直径的圆上．
（20）（本小题13分）
已知函数
（I）当
时，求曲线
在
处的切线方程；
（Ⅱ）当
时，判断
在
上的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）当
时，求证：
，都有
．
海淀区高三年级第二学期期中练习
数学（文）参考答案与评分标准2018.4
一．选择题:
本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
D
D
B
C
C
二．填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．
10．
11．
12．
13．
14.乙
三．解答题：
本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．解：
（Ⅰ）设
的公比为
，
因为
，且
，
所以
，
得
所以
………………6分
（Ⅱ）不存在
，使得
的前
项和
为
因为
，
，
所以
………………10分
方法1：
令
，则
得
，该方程无解.
所以不存在
，使得
的前
项和
为
.………………13分
方法2：
因为对任意
，有
，
所以
所以不存在
，使得
的前
项和
为
。
………………13分
16．解：
（Ⅰ）
………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
因为
，
所以
当
即
时，
的最小值为
.
当
即
时，
的最大值为
.………………13分
17．解：
（Ⅰ）由已知，当空气相对湿度在
时，病毒死亡较快.
而样本在
上的频数为30，
所以所求频率为
………………3分
（Ⅱ）设事件
为“从区间
的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于
”
设区间
中的两个数据为
，区间
中的三个数据为
，
因此，从区间
的数据中任取两个数据，
包含
共10个基本事件，
而事件
包含
共6个基本事件，
所以
.…………………….…10分
（Ⅲ）第6组.…………………….…13分
18．（Ⅰ）证明：
取线段
的中点
，连接
.
因为
为棱
的中点，
所以在
中
，
.
又
，
所以
.
所以四边形
是平行四边形,
所以
.
又
平面
平面
所以
平面
.
（Ⅱ）因为
为
中点,
所以
.
又
平面
平面
所以
又
所以
平面
.
又
，
所以
平面
.
因为
平面
所以平面
平面
..…………………….…9分
（Ⅲ）
.
设
，
则四面体
的体积
.
当
，即
时体积最大.
又
平面
平面
所以
.
因为
所以
平面
.
因为
平面
，
所以
..…………………….…14分
19．解：
（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为
，
则
得
所以椭圆方程为
.…………………….…5分
（Ⅱ）证明：
由（Ⅰ）可得
.
当直线
不存在斜率时，可得
直线
方程为
，令
得
同理，得
.
所以
得
.
所以
在以
为直径的圆上.
当直线
存在斜率时，设
方程为
，
、
.
由
可得
.
显然
直线
方程为
，得
同理，
.
所以
.
因为
所以
所以
所以
在以
为直径的圆上..…………………….…14分
综上，
在以
为直径的圆上.
20．解：
（Ⅰ）当
时，
.
得
又
所以曲线
在
处的切线方程为
.…………………….…4分
（Ⅱ）方法1：
因为
，
所以
.
因为
，
所以
.
所以
.
所以当
时，
，
所以
在区间
单调递增..…………………….…8分
方法2：
因为
，
所以
.
令
，
则
，
随x的变化情况如下表：
x
+
极大值
当
时，
.
所以
时，
，即
，
所以
在区间
单调递增..…………………….…8分
（Ⅲ）方法1：
由（Ⅱ）可知，当
时，
在区间
单调递增，
所以
时，
.
当
时，设
，
则
，
随x的变化情况如下表：
x
+
极大值
所以
在
上单调递增，在
上单调递减
因为
，
，
所以存在唯一的实数
，使得
，
且当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，
在
上单调递减.
又
，
所以当
时，对于任意的
，
.
综上所述，当
时，对任意的
，均有
.
.…………………….…13分
方法2：
由（Ⅱ）可知，当
时，
在区间
单调递增，
所以
时，
.
当
时，由（Ⅱ）可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，
，
所以存在唯一的实数
，使得
，
且当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，
在
上单调递减.
又
，
所以当
时，对于任意的
，
.
综上所述，当
时，对任意的
，均有
..…………………….…13分
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