数学建模作业影院座位选择_精品文档.doc
《数学建模作业影院座位选择_精品文档.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模作业影院座位选择_精品文档.doc（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
摘要
看电影是众多大学生所喜爱的业余享受，怎样选择一个好位子观影也是大
家所关心的一个问题。
本文针对如何在敬文讲堂选择一个好位子看电影，建立模型进行分析。
由于
座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角越大，仰角越小越合适.因此是一
个多目标规划问题。
本文先建立了模型1，采用主目标法找出了讲堂最优的一个
位子。
而后就"怎样选择一个好位子"的问题，建立模型2，分析了讲堂中央部
分座位的满意程度，因为这个问题涉及的目标较多，即要考虑水平和垂直两种情
况，相对复杂。
模型2作了巧妙的假设，提出了"基本视效"的概念将目标化为
单一的一个，运用几何的方法，给出了各个座位的基本视效值，从而基本视效值
大的座位满意度高，反之，满意度低。
模型2的优点在于避免了其他方法，如权
重法的主观性。
因此模型也更加可信。
关键词
多目标规划
视角
仰角
几何
基本视效
matlab
一、问题的背景
看电影一直是广大学生所偏好的业余活动，将自己隐藏在一片漆黑之中，心
随画面变换，感受视听震撼，仿佛置身另一个世界，一时间忘却所有烦恼。
在师
范大学，每到周末便可看到各个海报栏贴着电影放映的信息，其中每周敬文讲堂
放映的英文电影，因其免费放映、效果良好、寓教于乐，更是成为多年来的保留
节目。
每每放映之前，讲堂门口都聚集着众多同学，排着长队，准备争抢观影好
地形。
-1-
影院座位选择
数学模型期末论文
二、问题的提出
有效视角是指人的有效视觉范围，一般，双眼正常有效视角大约为水平
90°，垂直70°，考虑双眼余光时的视角大约为水平180°，垂直90°。
观影
时的视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角。
经医学实验得知：
10°以内
是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。
20°以
内能正确识别图形等信息，称为有效视野。
*0°～30°，虽然视力及色辨别能力
开始降低，但对活动信息比较敏感，30°之外视力就下降很低了。
但是人们又发
现，若观看一幅宽大的画面时，视角大到一定值后，观看者会感到和画面同处一
个空间，给人带来一种身临其境的艺术效果。
即虽然图像内容是二维平面的，但
结合在一起后，平面的图像能呈现出立体感，这种效果在观察大画面图像时，会
令人感觉出画面有自然感和动人逼真的临场感。
也就是说观影时，视角越大，越
能达到一种身临其境的满足感。
但是观影时若只考虑视角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的，其中仰角
指观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角。
例如，坐在第一排看电影，虽然
视角很大，但观影者须在这个观影过程中仰头，整个过程也不一定享受，一般仰
角越小，观影过程越舒适。
同样，定义斜角为观众眼睛到屏幕左、右边缘视线与
水平线的夹角中大的角度值，那么坐的越偏，斜角越大，座位过偏时，也会导致
颈部向一侧扭曲，甚是难受，无疑坐的越靠近影院中轴线，斜角越小，越舒适。
由上面的分析，在敬文讲堂看电影时，座位过偏、过前，整个过程要么扭颈
斜视，要么"曲项向天"，着实难受，座位太后，又视觉不够震撼，不够享受。
怎样选择一个好座位呢，下面我们就进行建模，找出其尽量的实际的答案。
考虑到讲堂的400个座位分为左侧、中央和右侧三个部分，其中中央部分约
2*0个座位，两侧约各200个。
由于敬文讲堂，只有一个小的投影屏幕，宽度远
小于正规电影院的屏幕，两侧的座位的观影效果在各个方面都比中央部分的座位
差很多，又考虑到中央的近200个座位可以满足占座位同学的需求，所以下面的
讨论都只限于中央的座位。
下图为敬文讲堂剖面简图，只画出中央部分的座位，且台阶型座位只简化为
3级。
-2-
数学模型期末论文
屏幕
座位
三、模型的建立
模型1：
寻找最优位置
显然，最优的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以这个模型所选择的
范围就缩小了，只用考虑一列14个座位。
1）模型的假设
A.假设敬文讲堂的座位面为与水平面夹角为q的倾斜面（如下图所示）
观众
d
h
屏幕
座位
q
B.不考虑人们视力的影响，即坐在后排的人与坐在前排的人的观影清晰度
-3-
数学模型期末论文
相同。
C.不考虑中间座位与旁边座位进出方便程度的影响。
D.只从中间部分的座位选择。
*.忽略观众头顶到眼睛的距离。
F.忽略观众两眼间的距离。
*.将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一条边
的垂直地面的中线上。
下图为敬文讲堂侧面简图
屏幕
l线
a
a
*
*
b
L
H1
H-h
q
l
d
s1
D
敬文讲堂侧视图
2）参量变量
H
：
屏幕上边缘到地面的高度
h
：
屏幕的高度
H1
:
最后一排距地面的高度
a
：
观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的有向夹角
b
：
观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的有向夹角
q
：
近似座位面与水平面所夹的二面角
*
：
第一排座位与屏幕的水平距离
D
：
最后一排座位与屏幕的水平距离
*1
：
观众眼睛到屏幕的水平距离
l
：
观众所处的座位面上的点到水平面的距离
*
：
观众眼睛到水平面的距离
a
：
观众平均坐高
l线
：
观众眼睛所在位置构成的直线
-4-
数学模型期末论文
经过实地测量，讲堂中中央部分的座位有14排×13列，座位与座位之间左
右间隔0.54米，前后间隔1米。
并测量、计算得到了下列参数的具体数值（长
度单位均为米）：
H
4
h
*
D
18
d
4
a
1.1
*1
3
q
12.1°
*anq
3/14
3）模型的求解
因为经过如上假设，最佳的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以问题
便转化成一个平面几何问题。
为达到"视角尽可能大，仰角尽可能小"的目的，
就是在l线上选择合适的点使得角（a+b）尽量大，但角a尽量小。
由于a和b
的变化范围都在-90°-90°之间，所以可以用函数arctan来衡量角的大小。
如
图所示，tana=
H-L
tanb=
L-（H-h）
L+h-H
H-L
=
。
所以a=arc*an
，
s1
s1
*1
s1
b=arctan
L+h-H
（注意，L+h>H时为正），那么，问题进一步转化为
s1
H-L
L+h-H
H-L
arc*a*
+arctan
尽量大，而ar*ta*
尽量小。
而后一目标可简化为
s1
s1
s*
*-L
s1
尽量小，即
尽量大。
s1
H-L
用数学语言写为：
s1
f1（s）=
*-*
H-L
L+h-H
f2（s）=ar*tan
+arctan
s*
s1
F（s）=[*1（*1）,f2（s1）]
T
在解的可行域R内,求多目标的极值问题可记为：
m*xF（s1）
s1ÎR
这是一个典型的多目标优化问题，一般，在解决这类问题时，要用"化多为
单"的方法。
下面就用"主目标优化法"对模型进行求解。
所谓"主目标法"就
是分清目标的主要与次要，主要的目标必须达到，所以这种方法就是使主目标优
化，而使其他的目标降为约束条件。
进一步分析，人们在观影时，视角大能达到更好的震撼效果，这也是人们进
-5-
数学模型期末论文
电影院看电影的原因，而通过调整颈部的扭转角度，只要角度不是很大，是不会
给人的身体带来太大的不适感的，特别是当电影内容比较精彩时，人们更会忽略
颈部的不适感，而更追求观影的视觉效果。
查资料知，当仰角不大于20°时，
短时间的观影不会给人体带来太大的不适感。
也就是说，视角大给人们带来的满
足感比仰角小给人们带来的舒适感更重要。
所以f*（*1）为主要目标，f1（s*）降
为约束条件f2（s1）那么问题转化为一个非线性规划：
max*2（s1）
d£s*£D
*1（s1）在求f2（s1）极值时，利用f2'（s1）=0,即：
H-L
L+h-H
（ar*ta*
）'+（arctan
）'=0
s1
s1
-
H-L
-
*+*-*
2
s1
+
s1
2
=0
1+
（*-L）
2
1+
（L+h-H）
2
s1
2
s1
2
*-H
H-L-h
+
=0
s1+（H-*）
2
2
s1+（L+h-H）
2
2
将L=（*1-d）*tanq+a=（s1-4）*3/14+1.1,*=4,h=*,代入整理得
3（s1-4）
-2.9
3（s1-4）
+0.1
1*
-
14
=0
s1+（
3（s1-*）
3（s*-4）
2
-2.9）
2
s1+（
*
+*.1）
2
14
14
用*at*ab解得s1=1.6223<4
*-L
*+*-H
画出f=（arcta*
）'+（arctan
）'的图像（见下图）
s1
s1
H-L
L+h-*
由图像看出f*（s）=arctan
+a*ctan
的导数值恒负
s1
s1
-6-
数学模型期末论文
-0.*1
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
-0.0*
-0.07
-*.08
-0.09
-0.1
-0.11
4
*
8
10
*2
1*
16
进一步，算出各排的视角值
排数
1
2
*
4
5
6
7
视角35.81*
31.*2*
26.988
23.7
*1.03
*8.846
17.042
排数
8
9
1*
11
12
13
14
视角15.533
14.257
13.167
12.2*5
11.405
10.686
10.*5
以及各排的仰角值
排数
*
2
*
4
*
6
7
仰角*8.679
*0.85*
*4.805
20.078
16.331
*3.*13
10.*42
排数
8
9
10
11
1*
13
14
仰角8.78**
7.*614
5.5887
4.3204
3.2177
2.2*09
1.39*7
视角是依排数递减的，再由约束条件*2（s1）第*排中央的位子。
这是一个有效解。
即在所有可行解中找不到比它更好的解。
-*-
数学模型期末论文
4）模型的分析
*-L
L+h-*
f=（arctan
）'+（*rctan
）'在求导时没有在[4，17]的区间内出现理想
s*
*1
零值，主要跟敬文讲堂的设置有关，它并不是专门的电影院，屏幕高度不够，悬
挂的很低，这就导致了仰角主要决定视角的大小，从第一排向后视角依次递减。
所以由敬文讲堂的这种设置，看电影时最好应该坐在第5排中央，这是一个有效
解。
下面关心此模型用在正规电影院的情形。
广州最豪华的飞扬影城设计采用国
际标准，屏幕高10米，宽14米。
而观众席全部采用高角度斜坡式，从第一行到
最后一行的坡度高达4.*米。
它的其他数据与敬文讲堂相同，套用此模型解得从
一到十四排的视角为：
排数
1
2
3
4
5
6
*
视
升级会员 