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概念、方法与应用离散数学的学习要领：

离散数学的学习要领：

概念（正确）概念（正确）必须掌握好离散数学中大量的必须掌握好离散数学中大量的概念概念判断（准确）判断（准确）根据概念对事物的属性进行判断根据概念对事物的属性进行判断推理（可靠）推理（可靠）根据多个判断推出一个新的判断根据多个判断推出一个新的判断例1：

说谎者与说真话者问题：

NN夫妇晚上出门，邀请了夫妇晚上出门，邀请了WW小姐照小姐照看他们的看他们的44个孩子。

在个孩子。

在NN夫妇离家以前，向夫妇离家以前，向WW小姐交待了许小姐交待了许多注意事项，其中包括多注意事项，其中包括44个孩子的情况。

个孩子的情况。

NN夫妇说他们的夫妇说他们的44个孩子中只有一个孩子总是说真话，另外个孩子中只有一个孩子总是说真话，另外33个则总是说谎。

个则总是说谎。

NN夫妇告诉了夫妇告诉了WW小姐说真话的孩子的名字，但由于注意事项小姐说真话的孩子的名字，但由于注意事项太多，太多，WW小姐把名字忘记了。

当她在为孩子们准备晚饭时，小姐把名字忘记了。

当她在为孩子们准备晚饭时，一个孩子在邻室打碎了一个花瓶。

一个孩子在邻室打碎了一个花瓶。

这是孩子们的话：

BB说：

是说：

是SS干的。

干的。

SS说：

是JJ干的。

LL说：

不是我打碎的。

说：

JJ说：

SS说是我干的，他在说慌。

说是我干的，他在说慌。

由于由于WW小姐知道只有一个孩子说真话，她很快就找出了打碎小姐知道只有一个孩子说真话，她很快就找出了打碎花瓶的孩子。

你知道是谁吗？

花瓶的孩子。

例2：

设整数集合为设整数集合为ZZ设自然数集合为设自然数集合为NN比较比较ZZ与与NN元素的多少元素的多少例3：

对于给定自然数对于给定自然数1n的任意排列，能否通过的任意排列，能否通过反复交换反复交换1，2，3，n中的元素而得到中的元素而得到此排列？

此排列？

=（15236）（78）=（15）（12）（13）（16）（78）例4：

任意任意66人聚会中，必有人聚会中，必有33人人彼此相识，或有彼此相识，或有33人彼此人彼此不相识不相识用两种颜色填涂完全图用两种颜色填涂完全图KK66的各边，必包含有同色的各边，必包含有同色的的“三角形三角形”KK33第一部分数理逻辑先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题：

先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题：

一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：

两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：

“这张桌这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在，子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。

说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。

”说完后，商人将说完后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。

这时，那两将余下的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。

这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：

喊道：

“我戴的是黑帽子。

我戴的是黑帽子。

”请问这个人说得对吗？

他是怎么推导出来的呢？

请问这个人说得对吗？

主要内容11命题逻辑基本概念命题逻辑基本概念22命题逻辑等值演算命题逻辑等值演算33命题逻辑的推理理论命题逻辑的推理理论44一阶逻辑基本概念一阶逻辑基本概念55一阶逻辑等值演算与推理一阶逻辑等值演算与推理11命题逻辑基本概念命题逻辑基本概念本章的主要内容：

本章的主要内容：

命题、联结词、复合命题命题、联结词、复合命题命题公式、赋值、命题公式的分类命题公式、赋值、命题公式的分类1.11.1命题与联结词命题与联结词1.21.2命题公式及其赋值命题公式及其赋值1.11.1命题与联结词命题与联结词命题及其分类命题及其分类联结词与复合命题联结词与复合命题复合命题的真假值复合命题的真假值1.1.11.1.1命题及其分类命题及其分类命题：

命题：

具有真假意义（判断结果唯一）的陈具有真假意义（判断结果唯一）的陈述句述句命题的真值：

命题的真值：

判断结果判断结果真值的取值：

真值的取值：

真（真（11）、假（）、假（00）真命题与假命题真命题与假命题注意：

注意：

感叹句、祈使句、疑问句、悖论都不感叹句、祈使句、疑问句、悖论都不是命题是命题例例1.11.1下列句子中那些是命题？

下列句子中那些是命题？

（1）是无理数是无理数.

（2）2+58.（3）x+53.（4）你有铅笔吗？

你有铅笔吗？

（5）这只兔子跑得真快呀！

这只兔子跑得真快呀！

（6）请不要讲话！

请不要讲话！

（7）我正在说谎话我正在说谎话.真命题真命题假命题假命题真值不确定真值不确定疑问句疑问句感叹句感叹句祈使句祈使句悖论悖论（3）（7）都不是命题都不是命题1.1.11.1.1命题及其分类命题及其分类1.1.11.1.1命题及其分类命题及其分类命题的分类命题的分类

（1）简单命题（原子命题）简单命题（原子命题）

（2）复合命题）复合命题简单命题符号化简单命题符号化

（1）用小写英文字母）用小写英文字母等来表示简单命题等来表示简单命题

（2）用）用1表示真，用表示真，用0表示假表示假例如：

例如：

:

3是无理数，则是无理数，则是假命题，是假命题，的真值为的真值为01.1.2联结词与复合命题例：

例：

3是无理数是不对的2是偶素数2或4是素数如果2是素数，则3也是素数2是素数当且仅当3也是素数。

上述命题都是通过诸如上述命题都是通过诸如“或或”，“如果如果，则，则”等连词等连词联结而成，这样命题，称为复合命题。

相对地，构成复合命联结而成，这样命题，称为复合命题。

相对地，构成复合命题的命题称为简单命题。

题的命题称为简单命题。

1.1.2联结词与复合命题定义定义1.1设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式否定式,记作p，符号称作否定否定联结词联结词。

并规定p为真当且仅当p为假。

定义定义1.2设p,q为二命题，复合命题“p并且q”（或“p与q”）称为p与q的合取式合取式，记作pq，称作合取联结词合取联结词。

并规定pq为真当且仅当p与q同时为真。

定义定义1.3设p，q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式析取式，记作pq，称作析取联结词析取联结词。

并规定pq为假当且仅当p与q同时为假。

1.1.2联结词与复合命题相容相容“或或”与排斥与排斥“或或”例例将下列命题符号化。

将下列命题符号化。

（1）

（1）张晓静爱唱歌或爱听音乐。

张晓静爱唱歌或爱听音乐。

（2）

（2）张晓静是江西人或安徽人。

张晓静是江西人或安徽人。

（3）（3）张晓静只能挑选张晓静只能挑选202202或或203203房间。

房间。

解解在解题时，先将原子命题符号化。

在解题时，先将原子命题符号化。

（1）p

（1）p：

张晓静爱唱歌。

qq：

张晓静爱听音乐。

（2）r

（2）r：

张晓静是江西人。

ss：

张晓静是安徽人。

（3）t（3）t：

张晓静挑选：

张晓静挑选202202房间。

uu：

张晓静挑选203203房间。

1.1.2联结词与复合命题思考题：

只能在周二说的话思考题：

只能在周二说的话某人在周一总是说谎话，而在其它日子总是某人在周一总是说谎话，而在其它日子总是说真话。

那么，有没有他只能在周二才能说真话。

那么，有没有他只能在周二才能说的话呢？

说的话呢？

“今天不是周一就是周二。

今天不是周一就是周二。

”1.1.2联结词与复合命题定义定义1.4设p，q为二命题，复合命题“如果p，则q”称作p与q的蕴涵式蕴涵式，记作pq，称作蕴涵联蕴涵联结词结词。

并规定pq为假当且仅当p为真q为假。

pq的逻辑关系表示q是p的必要条件。

注意注意在使用联结词时，特别注意以下几点：

1.1.2联结词与复合命题在自然语言里，特别是在数学中，在自然语言里，特别是在数学中，qq是是pp的必要条件有许的必要条件有许多不同的叙述方式。

例如，多不同的叙述方式。

例如，“只要只要pp，就，就q”q”，“因为因为pp，所以所以q”q”，“pp仅当仅当q”q”，“只有只有qq才才p”p”，“除非除非qq才才p”p”，“除非除非qq，否则非，否则非p”p”等等。

以上各种叙述方式表面看来等等。

以上各种叙述方式表面看来有所不同，但都表达的是有所不同，但都表达的是qq是是pp的必要条件，因而所用联的必要条件，因而所用联结词均应符号化为结词均应符号化为，上述各种叙述方式都应符号化为，上述各种叙述方式都应符号化为pqpq。

在自然语言中，在自然语言中，“如果如果pp，则，则q”q”中的前件中的前件pp与后件与后件qq往往往往具有某种内在联系。

而在数理逻辑中，具有某种内在联系。

而在数理逻辑中，pp与与qq可以无任何可以无任何内在联系。

内在联系。

在数学或其它自然科学中，在数学或其它自然科学中，“如果如果pp，则，则q”q”往往表达的往往表达的是前件是前件pp为真，后件为真，后件qq也为真的推理关系。

但在数理逻辑也为真的推理关系。

但在数理逻辑中，作为一种规定，当中，作为一种规定，当pp为假时，无论为假时，无论qq是真是假，是真是假，pqpq均为真。

也就是说，只有均为真。

也就是说，只有pp为真为真qq为假这一种情况使得复为假这一种情况使得复合命题合命题pqpq为假。

为假。

1.1.2联结词与复合命题定义定义1.5设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式等价式，记作，称作等价联结词等价联结词。

并规定为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。

的逻辑关系为p与q互为充分必要条件。

以上定义了五种最基本、最常用、也是最重要的联结词以上定义了五种最基本、最常用、也是最重要的联结词，将它们组成一个集合，将它们组成一个集合，称为一个联结词集。

其中，称为一个联结词集。

其中为一元联结词，为一元联结词，其余的都是二元联结词。

其余的都是二元联结词。

1.1.2联结词与复合命题例例将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值：

（1）如果3+36，则雪是白的。

（2）如果3+36，则雪是白的。

（3）如果3+36，则雪不是白的。

（4）如果3+36，则雪不是白的。

以下命题中出现的a是一个给定的正整数：

（5）只要a能被4整除，则a一定能被2整除。

（6）a能被4整除，仅当a能被2整除。

（7）除非a能被2整除，a才能被4整除。

（8）除非a能被2整除，否则a不能被4整除。

（9）只有a能被2整除，a才能被4整除。

（10）只有a能被4整除，a才能被2整除。

1.1.3复合命题真假值联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序：

（），对于同一优先级的联结词，先出现者先运算。

1.2命题公式及其赋值命题公式及其赋值命题公式的定义命题公式的定义公式的层次公式的层次公式的赋值公式的赋值真值表真值表公式的真假值分类公式的真假值分类1.2.1命题公式的定义命题公式的定义由于简单命题是真值唯一确定的命题逻辑中最基由于简单命题是真值唯一确定的命题逻辑中最基本的研究单位，所以也称简单命题为本的研究单位，所以也称简单命题为命题常项命题常项或或命题常元命题常元。

从本节开始对命题进一步抽象，首先。

从本节开始对命题进一步抽象，首先称真值可以变化的陈述句为称真值可以变化的陈述句为命题变项命题变项或或命题变命题变元元，也用，也用p,q,rp,q,r,表示命题变项。

当表示命题变项。

当p,q,rp,q,r,表表示命题变项时，它们就成了取值示命题变项时，它们就成了取值00或或11的变项，因的变项，因而命题变项已不是命题。

这样一来，而命题变项已不是命题。

这样一来，p,q,rp,q,r,既既可以表示命题常项，也可以表示命题变项。

在使可以表示命题常项，也可以表示命题变项。

在使用中，需要由上下文确定它们表示的是常项还是用中，需要由上下文确定它们表示的是常项还是变项。

变项。

1.2.1命题公式的定义命题公式的定义定义定义1.6

（1）单个命题变项是合式公式合式公式，并称为原子命题公式原子命题公式。

（2）若A是合式公式，则（A）也是合式公式。

（3）若A，B是合式公式，则（AB），（AB），（AB），（AB）也是合式公式。

（4）只有有限次地应用

（1）（3）形式的符号串才是合式公式。

合式公式合式公式也称为命题公式命题公式或命题形式命题形式，并简称为公式公式。

如：

（pq）（qr），（pq）r，p（qr）等都是合式公式，而pqr，（p（rq）等不是合式公式。

定义1.6给出的合式公式的定义方式称为归纳定义方式，后面还将多次出现这种定义方式。

1.2.2公式的层次公式的层次1.2.3公式的赋值公式的赋值1.2.3公式的赋值公式的赋值定义定义1.81.8设设pp11,p,p22,ppnn是出现在公式是出现在公式AA中的中的全部命题符号，给全部命题符号，给pp11,p,p22,ppnn各指定一个各指定一个真值，称为对真值，称为对AA的一个赋值或解释。

若指定的一个赋值或解释。

若指定的一组值使的一组值使AA的真值为的真值为11，则称这组值为，则称这组值为AA的的成真赋值；

若使成真赋值；

若使AA的真值为的真值为00，则称这组值，则称这组值为为AA的成假赋值。

的成假赋值。

不难看出，含不难看出，含n（n=1）个命题变项的公式共个命题变项的公式共有有2n个不同的赋值。

个不同的赋值。

1.2.4真值表定义1.9将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表，称作A的真值表。

构造真值表的具体步骤如下：

（1）找出公式中所含的全体命题变项p1,p2,pn（若无下角标就按字典顺序排列），列出2n个赋值。

本课件规定，赋值从000开始，然后按二进制加法依次写出各赋值，直到111为止。

（2）按从低到高的顺序写出公式的各个层次。

（3）对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后计算出公式的真值。

1.2.4真值表例例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。

1.2.4真值表1.2.4真值表1.2.4真值表1.2.5公式的真假值分类定义定义1.101.10设设AA为任一命题公式。

为任一命题公式。

（1）

（1）若若AA在它的各种赋值下取值均为真在它的各种赋值下取值均为真,则称则称AA是是重言式重言式或或永真式永真式。

（2）

（2）若若AA在它的各种赋值下取值均为假在它的各种赋值下取值均为假,则称则称AA是是矛盾矛盾式式或或永假式永假式。

（3）（3）若若AA不是矛盾式不是矛盾式,则称则称AA是是可满足式可满足式。

注：

关于n个命题变元P1,P2,Pn,可以构造多少个真值表呢?

n个命题变元共产生2n个不同赋值,在每个赋值下,公式的值只有0和1两个值。

于是n个命题变元的真值表共有种不同情况。

1.2.5公式的真假值分类例例1.101.10下列公式中下列公式中,哪些具有相同的真值哪些具有相同的真值表表?

（1）

（1）pqpq

（2）

（2）qrqr（3）（3）（pq）（pr）ppq）（pr）p）（4）（4）（qr）（ppqr）（pp）1.2.5公式的真假值分类第1章小结主要内容1.命题与真值（或真假值）。

2.简单命题与复合命题。

3.联结词：

否定联结词，合取联结词，析取联结词，蕴涵联结词，等价联结词。

4.命题公式（简称公式）。

5.命题公式的层次和公式的赋值。

6.真值表。

7.公式的类型（重言式（或永真式），矛盾式（或永假式），可满足式）。

第1章小结学习要求1.在5种联结词中，要特别注意蕴涵联结的应用，要弄清三个问题：

pq的逻辑关系pq的真值pq的灵活的叙述方法2.写真值表要特别仔细认真，否则会出错误。

3.深刻理解各联结词的逻辑含义。

4.熟练地将复合命题符号化。

5.会用真值表求公式的成真赋值和成假赋值。

2命题逻辑的等值演算命题逻辑的等值演算等值式等值式对偶与范式对偶与范式联结词的完备集联结词的完备集2.1等值式等值式等值式的概念等值式的概念用真值表判断公式的等值用真值表判断公式的等值等值演算等值演算2.1.1等值式的概念等值式的概念两公式什么时候代表了同一个命题呢？

抽象地看，它们的真假取值完全相同时即代表了相同的命题。

设公式A,B共同含有n个命题变项，可能A或B有哑元，若A与B有相同的真值表，则说明在2n个赋值的每个赋值下，公式A与公式B的真值都相同。

于是等价式AB应为重言式。

定义2.1设A,B是两个命题公式，若A,B构成的等价式AB为重言式，则称公式A与公式B是等值的，记作AB.2.1.1等值式的概念等值式的概念判断等值式有如下方法：

判断等值式有如下方法：

真值表真值表等值演算等值演算范式范式2.1.2用真值表判断公式的等值用真值表判断公式的等值例例2.1判断下面两个公式是否等值：

（pq）与pq2.1.2用真值表判断公式的等值用真值表判断公式的等值例例2.2判断下列各组公式是否等值：

（1）p（qr）与（pq）r

（2）（pq）r与（pq）r2.1.3等值演算等值演算2.1.3等值演算等值演算2.1.3等值演算等值演算以上以上1616组等值式包含了组等值式包含了2424个重要等值式。

由于个重要等值式。

由于A,B,CA,B,C可可以代表任意的公式，因而以上各等值式都是用元语言符以代表任意的公式，因而以上各等值式都是用元语言符号书写的，称这样的等值式为号书写的，称这样的等值式为等值式模式等值式模式，每个等值式，每个等值式模式都给出了无穷多个同类型的具体的等值式。

模式都给出了无穷多个同类型的具体的等值式。

例如，在蕴涵等值式（例如，在蕴涵等值式（2.122.12）中，取）中，取A=pA=p，B=qB=q时，得等时，得等值式值式pqpqpqpq当取当取A=A=pqrpqr，B=B=pqpq时，得等值式时，得等值式（pqr）（pqpqr）（pq）（pqr）（pqpqr）（pq）这些具体的等值式都被称为原来的等值式模式的这些具体的等值式都被称为原来的等值式模式的代入实代入实例例。

每个具体的代入实例的正确性都可以用真值表证每个具体的代入实例的正确性都可以用真值表证明之，而每个等值式模式可用归纳法证明之。

明之，而每个等值式模式可用归纳法证明之。

2.1.3等值演算等值演算2.1.3等值演算等值演算2.1.3等值演算等值演算2.1.3等值演算等值演算2.1.3等值演算等值演算2.1.3等值演算等值演算2.1.3等值演算等值演算例例2.6在某次研讨会的中间休息时间，在某次研讨会的中间休息时间，3名与会者根据名与会者根据王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断：

王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断：

甲说王教授不是苏州人，是上海人。

乙说王教授不是上海人，是苏州人。

丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。

听完以上听完以上3人的判断后，王教授笑着说，他们人的判断后，王教授笑着说，他们3人人中有一人说的全对，有一人说对了一半，另一人说中有一人说的全对，有一人说对了一半，另一人说的全不对。

试用逻辑演算法分析王教授到底是哪里的全不对。

试用逻辑演算法分析王教授到底是哪里人人？

2.1.3等值演算等值演算解解设命题设命题p：

王教授是苏州人。

王教授是苏州