数学建模作业影院座位选择_精品文档.doc

1、摘要看电影是众多大学生所喜爱的业余享受，怎样选择一个好位子观影也是大家所关心的一个问题。本文针对如何在敬文讲堂选择一个好位子看电影，建立模型进行分析。由于座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角越大，仰角越小越合适.因此是一个多目标规划问题。本文先建立了模型 1，采用主目标法找出了讲堂最优的一个位子。而后就怎样选择一个好位子的问题，建立模型 2，分析了讲堂中央部分座位的满意程度，因为这个问题涉及的目标较多，即要考虑水平和垂直两种情况，相对复杂。模型 2 作了巧妙的假设，提出了基本视效的概念将目标化为单一的一个，运用几何的方法，给出了各个座位的基本视效值，从而基本视效值大的座位满意度高，反之，满

2、意度低。模型 2 的优点在于避免了其他方法，如权重法的主观性。因此模型也更加可信。关键词多 目 标 规 划视 角仰 角几 何基 本 视 效m a t l a b一、 问题的背景看电影一直是广大学生所偏好的业余活动，将自己隐藏在一片漆黑之中，心随画面变换，感受视听震撼，仿佛置身另一个世界，一时间忘却所有烦恼。在师范大学，每到周末便可看到各个海报栏贴着电影放映的信息，其中每周敬文讲堂放映的英文电影，因其免费放映、效果良好、寓教于乐，更是成为多年来的保留节目。每每放映之前，讲堂门口都聚集着众多同学，排着长队，准备争抢观影好地形。- 1 -影院座位选择数学模型期末论文二、 问题的提出有效视角是指人的有

3、效视觉范围，一般，双眼正常有效视角大约为水平90，垂直 70，考虑双眼余光时的视角大约为水平 180，垂直 90。观影时的视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角。经医学实验得知：10以内是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。20以内能正确识别图形等信息，称为有效视野。*030，虽然视力及色辨别能力开始降低，但对活动信息比较敏感，30之外视力就下降很低了。但是人们又发现，若观看一幅宽大的画面时，视角大到一定值后，观看者会感到和画面同处一个空间，给人带来一种身临其境的艺术效果。即虽然图像内容是二维平面的，但结合在一起后，平面的图像能呈现出立体感，这种效果在观察大画面图像

4、时，会令人感觉出画面有自然感和动人逼真的临场感。也就是说观影时，视角越大，越能达到一种身临其境的满足感。但是观影时若只考虑视角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的，其中仰角指观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角。例如，坐在第一排看电影，虽然视角很大，但观影者须在这个观影过程中仰头，整个过程也不一定享受，一般仰角越小，观影过程越舒适。同样，定义斜角为观众眼睛到屏幕左、右边缘视线与水平线的夹角中大的角度值，那么坐的越偏，斜角越大，座位过偏时，也会导致颈部向一侧扭曲，甚是难受，无疑坐的越靠近影院中轴线，斜角越小，越舒适。由上面的分析，在敬文讲堂看电影时，座位过偏、过前，整个过程要么扭颈斜视，要么曲项

5、向天，着实难受，座位太后，又视觉不够震撼，不够享受。怎样选择一个好座位呢，下面我们就进行建模，找出其尽量的实际的答案。考虑到讲堂的 400 个座位分为左侧、中央和右侧三个部分，其中中央部分约2*0 个座位，两侧约各 200 个。由于敬文讲堂，只有一个小的投影屏幕，宽度远小于正规电影院的屏幕，两侧的座位的观影效果在各个方面都比中央部分的座位差很多，又考虑到中央的近 200 个座位可以满足占座位同学的需求，所以下面的讨论都只限于中央的座位。下图为敬文讲堂剖面简图，只画出中央部分的座位，且台阶型座位只简化为3 级。- 2 -数学模型期末论文屏幕座位三、 模型的建立模型 1：寻找最优位置显然，最优的位

6、置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以这个模型所选择的范围就缩小了，只用考虑一列 14 个座位。1) 模型的假设A. 假设敬文讲堂的座位面为与水平面夹角为q 的倾斜面（如下图所示）观众dh屏幕座位qB. 不考虑人们视力的影响，即坐在后排的人与坐在前排的人的观影清晰度- 3 -数学模型期末论文相同。C. 不考虑中间座位与旁边座位进出方便程度的影响。D. 只从中间部分的座位选择。*. 忽略观众头顶到眼睛的距离。F. 忽略观众两眼间的距离。*. 将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中线上。下图为敬文讲堂侧面简图屏幕l线aa*bLH1H-hqlds1D敬文讲堂侧视图

7、2) 参量变量H：屏幕上边缘到地面的高度h：屏幕的高度H1:最后一排距地面的高度a：观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的有向夹角b：观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的有向夹角q：近似座位面与水平面所夹的二面角*：第一排座位与屏幕的水平距离D：最后一排座位与屏幕的水平距离*1：观众眼睛到屏幕的水平距离l：观众所处的座位面上的点到水平面的距离*：观众眼睛到水平面的距离a：观众平均坐高l线：观众眼睛所在位置构成的直线- 4 -数学模型期末论文经过实地测量，讲堂中中央部分的座位有 14 排13 列，座位与座位之间左右间隔 0.54 米，前后间隔 1 米。并测量、计算得到了下列参数的具体数值（长度单位均为

8、米）：H4h*D18d4a1.1*13q12.1*anq3/143) 模型的求解因为经过如上假设，最佳的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以问题便转化成一个平面几何问题。为达到视角尽可能大，仰角尽可能小的目的，就是在l线上选择合适的点使得角（a + b ）尽量大，但角a 尽量小。由于a 和 b的变化范围都在-90-90之间，所以可以用函数 arctan 来衡量角的大小。如图 所 示 ， tana=H-L, tanb =L-(H-h)L+h-HH-L=。 所 以 a = arc*an，s1s1*1s1b=arctanL+h-H（ 注 意 ， L+hH 时 为 正 ）， 那 么 ， 问 题 进

9、一 步 转 化 为s1H-LL+h-HH-Larc*a*+ arctan尽量大，而 ar*ta*尽量小。而后一目标可简化为s1s1s*-Ls1尽量小，即尽量大。s1H-L用数学语言写为：s1f1(s)=*-*H-LL+h-Hf2(s)=ar*tan+arctans*s1F（s）=*1(*1),f2(s1)T在解的可行域 R 内,求多目标的极值问题可记为：m*x F(s1)s1R这是一个典型的多目标优化问题，一般，在解决这类问题时，要用化多为单的方法。下面就用主目标优化法对模型进行求解。所谓主目标法就是分清目标的主要与次要，主要的目标必须达到，所以这种方法就是使主目标优化，而使其他的目标降为约束

10、条件。进一步分析，人们在观影时，视角大能达到更好的震撼效果，这也是人们进- 5 -数学模型期末论文电影院看电影的原因，而通过调整颈部的扭转角度，只要角度不是很大，是不会给人的身体带来太大的不适感的，特别是当电影内容比较精彩时，人们更会忽略颈部的不适感，而更追求观影的视觉效果。查资料知，当仰角不大于 20时，短时间的观影不会给人体带来太大的不适感。也就是说，视角大给人们带来的满足感比仰角小给人们带来的舒适感更重要。所以 f*(*1)为主要目标，f1(s*)降为约束条件 f2(s1)tan(2*)。那么问题转化为一个非线性规划：max*2(s1)d s* D*1(s1)tan(*0)在求 f2(s

11、1)极值时，利用 f2(s1)=0,即：H-LL+h-H(ar*ta*)+ (arctan) =0s1s1-H - L-* + * - *2s1+s12= 01+(* - L)21+(L + h - H)2s12s12* - HH - L - h+= 0s1 + (H - *)22s1 + (L + h - H)22将 L=（*1-d）*tanq +a=(s1-4)*3/14+1.1,*=4,h=*,代入整理得3(s1- 4)- 2.93(s1- 4)+ 0.11*-14= 0s1 + (3(s1- *)3(s*- 4)2- 2.9)2s1 + (*+ *.1)21414用 *at*ab 解得

12、 s1=1.62234*-L*+*-H画出 f=(arcta*)+ (arctan) 的图像（见下图）s1s1H-LL+h-*由图像看出 f*(s)=arctan+a*ctan的导数值恒负s1s1- 6 -数学模型期末论文-0.*1-0.02-0.03-0.04-0.05-0.0*-0.07-*.08-0.09-0.1-0.114*810*21*16进一步，算出各排的视角值排数12*4567视角 35.81*31.*2*26.98823.7*1.03*8.84617.042排数891*11121314视角 15.53314.25713.16712.2*511.40510.68610.*5以及各

13、排的仰角值排数*2*4*67仰角 *8.679*0.85*4.80520.07816.331*3.*1310.*42排数8910111*1314仰角 8.78*7.*6145.58874.32043.21772.2*091.39*7视角是依排数递减的，再由约束条件 *2(s1)tan(20)，所以应该坐在第 * 排中央的位子。这是一个有效解。即在所有可行解中找不到比它更好的解。- * -数学模型期末论文4) 模型的分析*-LL+h-*f=(arctan)+ (*rctan) 在求导时没有在4，17的区间内出现理想s*1零值，主要跟敬文讲堂的设置有关，它并不是专门的电影院，屏幕高度不够，悬挂的很低，这就导致了仰角主要决定视角的大小，从第一排向后视角依次递减。所以由敬文讲堂的这种设置，看电影时最好应该坐在第 5 排中央，这是一个有效解。下面关心此模型用在正规电影院的情形。广州最豪华的飞扬影城设计采用国际标准，屏幕高 10 米，宽 14 米。而观众席全部采用高角度斜坡式，从第一行到最后一行的坡度高达 4.* 米。它的其他数据与敬文讲堂相同，套用此模型解得从一到十四排的视角为：排数123456*视