摩擦学原理(第9章数值方法)PPT文件格式下载.ppt

摩擦学原理(第9章数值方法)PPT文件格式下载.ppt

《摩擦学原理(第9章数值方法)PPT文件格式下载.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《摩擦学原理(第9章数值方法)PPT文件格式下载.ppt（173页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

另外，归一化还可以使所得的分析数据具有通用性和广泛性。

广义雷诺方程类型名称及简图特点类型名称及简图特点单油楔固定瓦圆筒轴承（=360）结构简单，制造方便，有较大承载能力，但高速稳定性差多油楔固定瓦椭圆轴承流量较大、温升较低。

旋转精度和高速稳定性优于单油楔圆轴承但承载能力略有降低工艺性比多油楔轴承好部分瓦轴承（180）结构简单，制造方便，有较大承载能力。

功耗，温升都低于圆筒轴承。

高速稳定性差，用于载荷方向基本不变的重载轴承双油楔借位轴承同上，用于单向旋转的轴承浮动环轴承环随轴颈旋转，其转速约为轴颈转速的1/2，润滑油流量大，温升低，高速稳定性好，用于小尺寸高速轻载轴承双向三油楔轴承高速稳定性好，工艺性不如圆筒轴承及椭圆轴承类型名称及简图特点类型名称及简图特点多油楔固定瓦多沟轴承结构简单，制造方便，便承载能力低，仅用轻载轴承，高速稳定性略优于圆筒轴承单向三油楔轴承同上。

用于单向旋转的轴承螺旋槽轴承利用螺旋的泵入作用和槽面阶梯产生动压承载油膜，温升低，高速稳定性好阶梯轴承同上，承载能力较低，用于小型轴承类型名称及简图特点多油楔可倾瓦可倾瓦弹性支承轴承高速稳定性较好，特别透用于高速轻载轴承，但工艺性较差可倾瓦摆动支承轴承同上。

但工艺性较好，大、中、小型轴承均适用多油楔联合轴承动静压联合轴承承载能力大，温升低，功耗小，定心性和稳定性好，特别适于频繁起动的场合，工艺性差，制造较困难但瓦面结构复杂类型名称及简图特点类型名称及简图特点固定瓦推力轴承多油沟推力轴承同多油沟径向轴承。

只能在轻载下使用固定瓦斜-平面推力轴承允许轴承有起动载荷斜面推力轴承用于单向旋转，无起动载荷情况阶梯面推力轴承结构结构简单，用于小尺寸轴承螺旋槽推力轴承同螺旋槽径向轴承联合轴承动静压联合推力轴承同动静压联合径向轴承可倾瓦可倾瓦弹性支承推力轴承同可倾瓦弹性支承径向轴承1.方程的无量纲化两个因素微分方程中起作用的是变量的变化率，而不是其本身值的大小结果的广泛性l归一化xh1.方程的无量纲化固定瓦径向轴承l广义雷诺方程式中20UVXY不可压缩流体稳定工况稳定工况流体动力粘度为常数xyzB不可压缩流体稳定工况稳定工况流体动力粘度为常数流体动力粘度为常数能量方程无量纲能量方程无量纲能量方程取相对单位取相对单位温粘方程压粘方程压粘方程2.相似分析相似是指动力学相似，它包括相似是指动力学相似，它包括几何相似几何相似运动相似运动相似力相似力相似相似分析主要解决：

相似分析主要解决：

1）确定相似条件）确定相似条件2）导出两个相似问题之间各参数的转换关系）导出两个相似问题之间各参数的转换关系1）相似条件

（1）物理模型与控制方程必须是相同的）物理模型与控制方程必须是相同的单值条件（量）单值条件（量）：

使问题有唯一确定解的条件（量）称为单值条件使问题有唯一确定解的条件（量）称为单值条件（量）。

纯粹由单值量组成的相似不变量，是决（量）。

纯粹由单值量组成的相似不变量，是决定问题是否相似的量，因而称之为决定性相似不定问题是否相似的量，因而称之为决定性相似不变量。

当相似不变量由同类量组成时称之为简单变量。

当相似不变量由同类量组成时称之为简单决定性相似不变量，如决定性相似不变量，如d/B。

当相似不变量由不当相似不变量由不同类量组成时称之为决定性相似判据，如同类量组成时称之为决定性相似判据，如：

。

不是纯粹由单值量组成的相似不变量称为非决。

不是纯粹由单值量组成的相似不变量称为非决定性相似不变量（判据）。

定性相似不变量（判据）。

（2）单值条件（量）相似，由单值量组成的）单值条件（量）相似，由单值量组成的判据相等判据相等2）相似分析的基本步骤

（1）列出问题的全部控制方程和单值条件（量）列出问题的全部控制方程和单值条件（量）

（2）选取合适的相对单位）选取合适的相对单位（3）化成无量纲形式）化成无量纲形式（4）找出决定性和非决定性相似不变量）找出决定性和非决定性相似不变量3）转换关系）转换关系算例以以360圆柱轴承为例，定常工况、层流、等温。

圆柱轴承为例，定常工况、层流、等温。

雷诺方程与单值条件（量）雷诺方程与单值条件（量）

（1）单值量：

轴承直径）单值量：

轴承直径D（或轴颈直径（或轴颈直径d）、宽度）、宽度B、半径间隙半径间隙C、润滑油动力粘度、润滑油动力粘度、轴颈旋转角速度、轴颈旋转角速度和轴和轴承所受的载荷承所受的载荷W（方向沿（方向沿y轴）。

轴）。

方程方程边界条件：

式中

（2）选取无量纲单位并将方程无量纲化无量纲单位无量纲单位无量纲方程无量纲方程边界条件：

已知函数：

式中（3）找出决定性和非决定性相似不变量模型实验：

决定性非决定性理论计算：

决定性非决定性例如在稳定工况下流体静压润滑的油膜厚度h为常数，若不考虑相对滑动和热效应，则粘度也是常数。

这时Reynolds方程可简化为Laplace方程，即（9.1）将式（9.1）无量纲化，令x=XA，y=YB，A，B为几何尺寸；

p=Ppr，pr为油腔压力；

=A2/B2；

则无量纲化的Reynolds方程为（9.2）求解方程（9.2）的无量纲化边界条件为

（1）在油腔内P=1

（2）在四周边缘上P=0若令代入雷诺方程，得无量纲化基本方程（9.3）例如图9.1所示有限长斜面滑块。

图9.1斜面滑块这种形式的方程被称为Poisson方程。

再将P=Pc（1-Y2）代入方程（9.3），则变换成只含变量Pc和X的方程，即可求解中间断面上无量纲化压力Pc随X的变化。

即（9.4）广义雷诺方程方程的无量纲化固定瓦径向轴承式中20UVXY不可压缩流体稳定工况稳定工况流体动力粘度为常数xyzB不可压缩流体稳定工况稳定工况流体动力粘度为常数流体动力粘度为常数能量方程无量纲能量方程无量纲能量方程取相对单位取相对单位温粘方程压粘方程压粘方程相似分析相似是指动力学相似，它包括相似是指动力学相似，它包括几何相似几何相似运动相似运动相似力相似力相似相似分析主要解决：

1）确定相似条件）确定相似条件2）导出两个相似问题之间各参数的转换关系）导出两个相似问题之间各参数的转换关系相似条件

（1）物理模型与控制方程必须是相同的）物理模型与控制方程必须是相同的单值条件（量）单值条件（量）：

决定性非决定性9.1.29.1.2有限差分法有限差分法finitedifferencemethodfinitedifferencemethod在流体润滑计算中，有限差分方法的应用最为普遍。

现将有限差分法求数值解的步骤和方法说明如下：

首先，将所求解的偏微分方程无量纲化。

然后，将求解域划分成等距的或不等距的网格，图9.2为等距网格，在X方向有n个节点，Y方向有m个节点，总计nm个节点。

图图9.29.2等距网格划分等距网格划分网格划分的疏密程度根据计算精度要求确定。

随着计算机技术的快速发展，在现阶段的润滑计算中，取m=100500、n=100500，即可以获得满意的精度，又能够在可以接受的时间内完成。

有时，为提高计算精度，可在未知量变化剧烈的区段内细化网格，即采用两种或几种不同间距的分格，或者采用按一定比例递减的分格方法。

如果用代表所求的未知量例如油膜压力p，则变量在整个域中的分布可以用各节点的值来表示。

根据差分原理，任意节点O（i,j）的一阶和二阶偏导数都可以由其周围节点的变量值来表示。

i,ji+1,ji-1,ji,j+1i,j-1NESWxOxyy图9.3差分关系如图9.3所示，可采用中差分公式。

在求解域的边界上或者根据计算要求也可采用前差分公式，或者用后差分公式。

通常，中差分的精度最高，若采用下面的中差分表达式，则精度更高，例如以表示润滑膜压力，将Reynolds方程写成二维二阶偏微分方程的标准形式其中A,B,C,D和E均为已知量。

然后，将上述方程应用到各个节点，根据中差分公式（9.5）和（9.6）用差商代替偏导数，即可求得各节点的变量i,j与相邻各节点变量的关系。

这种关系可以写成（9.9）式（9.9）中各系数值随节点位置而改变。

方程（9.9）是有限差分法的计算方程，对于每个节点都可以写出一个方程，而在边界上的节点变量应满足边界条件，它们的数值是已知量。

这样，就可以求得一组线性代数方程。

方程与未知量数目相一致，所以可以求解。

采用消去法或迭代法求解代数方程组，并使计算结果满足一定的收敛精度，最终求得整个求解域上各节点的变量值。

式中lmn1流体静压润滑hydrostaticlubrication对无量纲化的流体静压润滑Reynolds方程式（9.2）将中差分公式（9.5）代入式（9.2）得（9.10）给出边界条件即可由方程（9.9）求得油膜压力分布的数值解。

2流体动压润滑hydrodynamiclubricationhydrodynamiclubrication用于不可压缩流体动压润滑轴承的Reynolds方程为（9.11）当h是x、y的已知函数时，对于等粘度润滑问题而言，方程（9.11）是线性的。

对于变粘度润滑问题，则需要考虑粘度随温度或压力的变化，特别是呈非牛顿性的润滑剂的粘度还受各点速度梯度的影响，则方程（9.11）变成非线性偏微分方程，求解过程较为复杂。

（1）准二维问题求解在润滑问题的工程计算中，往往采用准二维简化方法。

其要点是对于两维变化的油膜压力，预先给定沿某一坐标方向（如轴向）的变化规律，再将这一规律代入二维的Reynolds方程即变换为容易求解的一维问题。

根据对无限短轴承的分析，油膜压力p沿y方向（即轴向）的分布规律为抛物线p=pc（1-Y）（9.12）式中，pc为轴向中间断面上的压力；

Y为无量纲坐标；

为指数，2。

（2）二维问题求解通常的径向滑动轴承设计采用等粘度润滑计算，即假定润滑膜具有相同的粘度，同时认为间隙h只是x的函数，而不考虑安装误差和轴的弯曲变形。

图9.4径向轴承展开将轴承表面沿平面展开，如图9.4，并代入x=R，dx=Rd，则Reynolds方程变为（9.14）若令（9.15）以上各式中，R为轴承半径；

L为轴承长度；

为偏心率，=e/c，e为偏心距；

c为半径间隙。

然后，应用差分公式得出式（9.6）形式的计算方程。

无量纲化Reynolds方程9.1.3有限元法与边界元法finiteelementmethodandboundaryelementfiniteelementmethodandboundaryelementmethodmethod1有限元法finiteelementmethodfiniteelementmethod有限元法是从弹性力学计算中发展起来，继而在流体润滑计算中得到应用的一种数值计算方法。

与有限差分法比较，有限元法的主要优点是：

适应性强、受几何形状的限制较少、可处理各种定解条件、单元大小和节点可以任意选取、计算精度较高。

但是，有限元法计算方程的构成比较复杂。

如图9.5所示润滑区域，分成若干个三角形单元。

在边界上存在两类边界条件。

即：

在sp边界上压力为已知量，p=p0；

在sq边界上流量为已知量，q=q0。

图9.5润滑区有限元划分设在e单元中的压力为pe，则定义e单元的泛函Je为（9.20）这里，A为积分面积；

s为积分长度。

如果润滑区域共划分为n个单元，各单元泛函的总和应为根据变分原理，泛函存在极值或驻定值的必要条件是它的变分为零，即（9.21）由欧拉一拉格朗日公式可以证明：

符合上述边界条件由Reynolds方程（9.17）求得的解p（x,y），能够满足泛函驻定值条件（9.21）。

反之，由驻定值条件（9.21）求得的解p（x,y），必然是Reynolds方程（9.19）在上述边界条件下的解。

这样，有限元法是将不能直接积分求解的二维Reynolds方程转化为求泛函的驻定值，而由式（9.21）建成的计算方程可以求解。

通常，有限元法的求解过程可归纳如下：

（1）将求解域划分成若干三角形或者四边形单元；

（2）按变分原理写出所求解方程的泛函；

（3）建立插值函数，即以单元各节点上的变量数值表出单元内任意点的数值；

（4）根据驻定值条件建立在单元内节点未知量的代数方程组；

（5）用叠加方法建立总体节点未知量的代数方程组；

（6）求解代数方程组。

2边界元法boundaryelementmethodboundaryelementmethod基本特点通过数学方法建立求解域内未知量与边界上未知量之间的关系，这样，只需要将边界划分成若干个单元，求解边界上未知量，进而推算求解域内未知量。

所以，边界元法的主要优点是代数方程数很少，同时显著地减少了数据量，尤其是在求解二维和三维问题时更加突出。

边界元法的计算流量精度要高于有限元法，并且可以方便地计算混合问题。

然而，建立边界元法的计算方程在数学上十分困难。

如图9.6所示的阶梯滑块，依润滑膜厚度不同可分为1、2两部分。

每一部分油膜的压力p所遵循的Reynolds方程为（9.22）图9.6阶梯滑块根据对称性只需分析滑块的一半，即OBCE部分。

其总边界s可分成s1和s2两类，s=s1+s2。

边界条件分别为：

在s1边界上p=p0=0；

在s2边界上。

引入一个能满足基本方程（9.20）的权函数P，根据加权余量方法可得其中，经过数学分析，求得本问题的权函数为求解域中任意点的未知量pi与边界上积分的关系为（9.23）同样，边界上任意点的未知量pi与边界上积分的关系为（9.24）以上r为i点至各点的距离，因而P和Q均为已知量。

这样，由式（9.24）求得边界上各点未知量后，利用式（9.21）即可计算域内各点未知量。

对于点接触弹流问题，如果假定是边界平面上单位面积内的载荷密度，则在该单位面积上有相当于作用了一集中载荷x,y,zr这时载荷作用点到半无限体表面上一点的距离r为即：

弹流润滑区域中的弹性变形量为：

则i点的Z方向上的位移为式中1、2分别为接触区表面1和表面2的泊松比，E1、E2分别为接触区表面1和表面2的弹性模量。

33FFTFFT法法FastFourierTransformmethodFastFourierTransformmethod式中D（idx,jdy）=称为影响函数。

xy计算网格的划分dxdyNM而对于下图所示的网格划分情况下，对于任意一个矩形单元内施加单位均布载荷时，接触表面的弹性变形则可写为：

式中a=xi-dx/2、b=xi+dx/2、c=yj-dy/2、d=yj+dy/2，E为等效弹性模量。

如果采用数值积分技术则积分式可转换为离散函数的求和式：

对于点接触稳态弹流问题，通常采用有限元法等数值计算方法求出接触表面的弹性变形量。

正如前面所述，当有限元法用于计算区域的网格和节点划分的比较多时，就会使计算时间变得过长，同时也占用了更多地计算资源。

因此，许多研究人员在有限元法计算方法和改变计算区域的网格划分上做了许多工作，以期减少计算量并提高计算精度，例如自动网格划分技术和无网格计算技术等。

但是这些方法并未能从根本上改变有限元法的基本弱点。

为了适应点接触弹流润滑分析的需要，采用信号处理的方法可以快速求解这类弹流润滑问题。

数字信号处理技术数字信号处理技术信号系统分析的主要工作就是在给定系统结构与输入激励的条件下求得系统的输出响应。

信号系统的分类时变信号非时变信号时间关系线性信号系统非线性信号系统确定信号随机信号系统特性信号类型信号类型建立信号系统数学模型的方法可分为输入输出描述法和状态空间描述法两种，而所用的求解方法则有时间域分析法和变换域分析法。

输入输出描述法着眼于系统的外部特性，一般不考虑系统的内部变量，直接建立系统输入与输出之间的函数关系。

状态空间描述法着眼于系统的内部特性，建立系统内部变量之间以及内部变量与输出变量之间的函数关系。

时间域分析法是以时间t或kT（T为周期）为变量，直接求解定常系数的线性微分方程式、差分方程式或状态方程式。

变换域分析法是应用数学的映射理论，使系统的方程式退化为代数方程式，从而简化了计算。

而在各种系统中，线性非时变系统的分析具有非常主要的地位。

这不仅是因为实际中的大多数系统都属于或可近似看作线性非时变系统，而且线性非时变系统的分析方法已有了完善的理论。

对于随机信号的分析主要采用概率模型的统计方法，即根据输入随机信号的统计特性求得输出随机信号的统计特性。

而对于确定信号的分析则主要采用数学模型的解析方法，即建立系统的动态方程式，最后求得系统输出响应的解析描述式。

由于摩擦学系统的信号一般都是确定信号，因此就可以采用后一种方法建立和求解摩擦学系统的数学模型。

对于任意一个函数（信号）f（t），可以在区间（T/2,T/2）内用正弦函数集表示，即式中，T为任意正整数。

系数a0,an与bn为上式就是任意函数f（t）的傅立叶级数展开表达式。

如果f（t）满足Dirichlet条件，则可以保证存在有f（t）的傅立叶级数展开表达式，并且在区间（T/2,T/2）内收敛于原函数。

傅立叶级数展开表达式通常还可以写成指数形式。

式中上式为周期信号的富立叶级数指数展开表达式，当信号周期T趋于无穷时，Fn将趋近于无穷小，同时02/Td，n0nd，积分区间也扩展为（，）。

即变为：

上式称为非周期信号的频谱密度函数，即频谱函数，它为非周期信号的频域表达式。

同样，当T趋于无穷时，周期信号变成非周期信号，即上述两式分别被称为富里叶变换和富里叶逆变换因此，为了使接触表面的弹性变形公式化成为离散卷积，则需要首先将和分别补零，使其长度变成，然后再作周期性（2M-1）（2N-1）-MN延拓得到p（x,y）（2M-1）（2N-1）和D（x,y）（2M-1）（2N-1），再求p（x,y）（2M-1）（2N-1）和D（x,y）（2M-1）（2N-1）周期卷积取其中的一个周期即可。

即将其写成卷积式：

（i=0,1,2.N-1;

j=0,1,2.M-1）可以看出，求解接触表面的弹性变形的与线性系统的随机函数的富立叶级数指数展开表达式具有相似形式。

比较接触表面的弹性变形公式和富立叶级数指数展开表达式y（n）x（n）h（n）对于离散信号则有离散卷积这种线性卷积在弹性流体润滑计算中可以处理为圆卷积。

因此，快速傅立叶变换法（FFT）可用于计算离散后的线性系统中。

这种方法在信号处理中常称为FFT的数字滤波法或快速卷积计算。

通常FFT是与频率或周期相关联的，但上式中的变量并不要求是周期函数。

离散变量卷积方程要首先通过滤波方法消除其边界效应，然后对式两边进行快速傅立叶变换，则可以将上式写成频域中的各点乘积方程。

最后采用快速傅立叶逆变换，可得出时域中的弹性变形量式中各变数均通过FFT变换得出，即（i=0,1,2.M-1;

j=0,1,2.N-1）（i=0,1,2.M-1;

j=0,1,2.N-1）采用数字信号处理的方法对接触问题的弹性变形和压力分布求解的一个关键问题是信号源与噪音的处理。

正如前面所介绍的那样，由于接触变形和压力分布是非周期信号，因此必须对它作周期性延拓，然后进行快速傅立叶变换和快速傅立叶反变换的信号处理，最后截取有效的区域数值。

在快速傅立叶反变换中将充零区域中的无关量舍去后，就可得到原来润滑区域中的实际变形量，由于FFT（快速傅立叶变换）和IFFT（快速傅立叶反变换）的运算次数仅是NLogN次的量级，（N为所划分的节点总数）。

而用有限元法的运算次数是N2的量级。

因此用FFT和IFFT求解弹流润滑可比其它数值算法，如有限元法和有限差分法快得多。

9.1.49.1.4数值解法的其它问题数值解法的其它问题otherproblemsotherproblemsofnumericalmethodofnumericalmethod1参数变换parametertransformationparametertransformation当径向轴承的偏心率较大（例如0.8），或者楔形滑块具有较大的倾斜角时，使得最小油膜厚度hmin值很小，而在hmin附近膜厚的变化率dh/dx数值很高。

这就造成在hmin附近很窄的区间内油膜压力急剧地变化。

此时，除非采用非常细密的网格，否则计算结果严重失真，而很密的网格又将使计算工作量增加。

为