数值计算方法复习题_精品文档.doc
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例1证明方程1－x－sinx＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？
证明令f（x）＝1－x－sinx，
∵f（0）=1>0，f
（1）=－sin1<0
∴f（x）=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又
f¢（x）=1－cosx>0（xÎ[0.1]）,故f（x）＝0在区间[0，1]内有唯一实根.
给定误差限e＝0.5×10－4，有
只要取n＝14.
例4选择填空题
1.设函数f（x）在区间[a,b]上连续，若满足，则方程f（x）=0在区间[a,b]一定有实根.
答案：
f（a）f（b）<0
解答：
因为f（x）在区间[a,b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f（c）=0，故f（x）=0一定有根.
2.用简单迭代法求方程f（x）=0的实根，把方程（x）=0表成x=j（x）,则f（x）=0的根是（）
（A）y=x与y=j（x）的交点（B）y=x与y=j（x）交点的横坐标
（C）y=x与x轴的交点的横坐标（D）y=j（x）与x轴交点的横坐标
答案：
（B）
解答：
把f（x）=0表成x=j（x）,满足x=j（x）的x是方程的解，它正是y=x与y=j（x）的交点的横坐标.
3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：
（A）
解答：
在（A）中故迭代发散.
在（B）中，故迭代收敛.
在（C）中，，故迭代收敛.
在（D）中，类似证明，迭代收敛.
例3填空选择题：
1.用高斯列主元消去法解线性方程组
作第1次消元后的第2，3个方程分别为。
解答1.选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：
2x1+2x2+3x3=3，消元得到
是应填写的内容。
一、解答下列问题：
1）数值计算中，最基础的五个误差概念（术语）是,,
,.
2）分别用2.718281，2.718282作数的近似值，它们的有效位数分别有
位，位;又取（三位有效数字），则
.
3）为减少乘除法运算次数，应将算式
改写成
4）为减少舍入误差的影响，应将算式改写成
5）递推公式
如果取作计算，则计算到时，误差有
这个计算公式数值稳定不稳定？
1）绝对误差，相对误差，有效数字，截断误差，舍入误差。
2）6，7，
3）;
3）
4）或
二、解答下列线性代数方程组问题：
1）解线性代数方程组（非奇异）的关键思想是首先把方程组
约化为和，然后分别通过过程
或过程很容易求得方程组的解.
2）用“列主元Gauss消元法”将下列方程组：
化为上三角方程组的两个步骤
再用“回代过程”可计算解：
1）上三角方程组，下三角方程组，回代，前推
2），
四、设一元方程，欲求其正根，试问：
1）方程的正根有几个？
（个）
2）方程的正根的有根区间是
3）给出在有根区间收敛的不动点迭代公式：
4）给出求有根区间上的Newton迭代公式：
1）12）[1,2]
3）,
4）,
五、，当满足条件时，可作分解；当满足
条件时，必有分解式，其中为对角线元素为正的下三角阵。
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．近似值的误差限为（）。
A．0.5B.0.05
C．0.005D.0.0005.
3.若实方阵A满足（）时，则存在唯一单位下三角阵和上三角阵，使。
A.B.某个
C.D.
例1.近似值的误差限为（）。
A0.5B0.05C0.005D0.0005.
解因，它为具有3位有效数字的近似数，
其误差限为。
或，其误差限为
所以答案为B.
例2..已知，求的误差限和相对误差限。
解：
（绝对）误差限：
所以（绝对）误差限为，也可以取。
一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取。
相对误差限：
所以，相对误差限
例3.已知求近似值的误差限，准确数字
或有效数字。
解由误差限为
因为，所以由定义知是具有4位有效数字的近似值，准确到位的近似数。
注意：
当只给出近似数时，则必为四舍五入得到的有效数，则可直接求出误差限和有效数字。
例4.已知近似数求的误差限和准确数位。
解因，
所以准确到位。
准确到位。
注意：
函数运算的误差概念，特别是其中的符号。
例1证明计算的切线法迭代公式为：
并用它求的近似值（求出即可）
解
（1）因计算等于求正根，，
代入切线法迭代公式得
（2）设，因
所以
在上
由，选
用上面导出的迭代公式计算得
例1用列主元消元法的方程组
注意：
每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。
解第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得，
第2列主，元为交换第2、3方程位置后消元得
回代解得
例2．将矩阵A进行三角分解（Doolittle分解,Crout分解,LDU分解）
其中
说明：
一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。
即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进行矩阵的三角分解（或代入公式求得相应元素）。
在分解时注意矩阵乘法、矩阵求逆等代数运算。
解：
则矩阵的Doolittle分解为
因为对角阵，则
所以矩阵的LDU分解为
矩阵的Crout分解为
例3用紧凑格式求解方程组
注意：
消元过程是解方程组，和回代过程是解方程组。
解：
（1）将矩阵进行三角分解，由上例得：
矩阵的三角分解为
（2）解方程组
（3）解方程组
所以
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．近似值的误差限为（）。
A．0.5B.0.05
C．0.005D.0.0005.
3.若实方阵A满足（）时，则存在唯一单位下三角阵和上三角阵，使。
A.B.某个
C.D.
1．B．3.C.
例4选择填空题
1.设函数f（x）在区间[a,b]上连续，若满足，则方程f（x）=0在区间[a,b]一定有实根.
答案：
f（a）f（b）<0
解答：
因为f（x）在区间[a,b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f（c）=0，故f（x）=0一定有根.
2.用简单迭代法求方程f（x）=0的实根，把方程（x）=0表成x=j（x）,则f（x）=0的根是（）
（A）y=x与y=j（x）的交点（B）y=x与y=j（x）交点的横坐标
（C）y=x与x轴的交点的横坐标（D）y=j（x）与x轴交点的横坐标
答案：
（B）
解答：
把f（x）=0表成x=j（x）,满足x=j（x）的x是方程的解，它正是y=x与y=j（x）的交点的横坐标.
3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：
（A）
解答：
在（A）中故迭代发散.
在（B）中，故迭代收敛.
在（C）中，，故迭代收敛.
在（D）中，类似证明，迭代收敛
例1用顺序消去法解线性方程组
解顺序消元
于是有同解方程组：
例3填空选择题：
1.用高斯列主元消去法解线性方程组
作第1次消元后的第2，3个方程分别为。
解答1.选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：
2x1+2x2+3x3=3，消元得到
是应填写的内容。
1）.设是真值的近似值，则有 位有效数字。
2）. 倍。
3）.求方程根的牛顿迭代格式是 。
1）3； 2）；3）
1、 解非线性方程f（x）=0的牛顿迭代法具有＿＿＿＿＿＿＿收敛
2、 迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是＿＿＿
3、 已知数e=2.718281828...,取近似值x=2.7182,那麽x具有的有效数字是＿＿＿
1、局部平方收敛2、<13、4
8、,为使A可分解为A=LLT,其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围
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