1、fuxiti例1 证明方程1xsinx0在区间0,1内有一个根,使用二分法求误差不超过0.5104的根要迭代多少次?证明 令f(x)1xsinx, f(0)=10,f(1)=sin10(x0.1),故f(x)0在区间0,1内有唯一实根.给定误差限e0.5104,有 只要取n14.例4 选择填空题1. 设函数f(x)在区间a,b上连续,若满足 ,则方程f(x)=0在区间a,b一定有实根.答案:f(a)f(b)0解答:因为f(x)在区间a,b上连续,在两端点函数值异号,由连续函数的介值定理,必存在c,使得f(c)=0,故f(x)=0一定有根.2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程(x)
2、=0表成x=j(x),则f(x)=0的根是( )(A)y=x与y=j(x)的交点 (B) y=x与y=j(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=j(x)与x轴交点的横坐标答案:(B)解答:把f(x)=0表成x=j(x), 满足x=j(x)的x是方程的解,它正是y=x与y=j(x)的交点的横坐标.3.为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是( )(A) (B) (C) (D) 答案:(A)解答:在(A)中 故迭代发散.在(B)中 ,故迭代收敛. 在(C)中, ,故迭代收敛.在(D)中,类似证明
3、,迭代收敛.例3 填空选择题:1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2,3个方程分别为 。解答 1. 选a21=2为主元,作行互换,第1个方程变为:2x1+2x2+3x3=3,消元得到是应填写的内容。一、解答下列问题:1) 数值计算中,最基础的五个误差概念(术语)是 , , , , .2) 分别用 2.718281, 2.718282 作数 的近似值 ,它们的有效位数分别有 位, 位; 又取 (三位有效数字),则 .3)为减少乘除法运算次数,应将算式 改写成 4)为减少舍入误差的影响,应将算式 改写成 5)递推公式 如果取作计算,则计算到时,误差有 这个计算公式数值稳定不稳定
4、 ? 1) 绝对误差 , 相对误差 , 有效数字 , 截断误差 , 舍入误差 。 2) 6 , 7 , 3) ; 3)4) 或 二、解答下列线性代数方程组问题:1) 解线性代数方程组(非奇异)的关键思想是首先把方程组 约化为 和 ,然后分别通过 过程 或 过程很容易求得方程组的解. 2)用“列主元Gauss消元法”将下列方程组: 化为上三角方程组的两个步骤 再用“回代过程”可计算解: 1) 上三角方程组, 下三角方程组, 回代, 前推2) , 四、设一元方程,欲求其正根,试问: 1) 方程的正根有几个? (个) 2) 方程的正根的有根区间是 3) 给出在有根区间收敛的不动点迭代公式: 4) 给
5、出求有根区间上的Newton迭代公式: 1) 1 2) 1, 2 3) , 4) , 五、,当满足条件 时,可作分解;当满足条件 时,必有分解式,其中为对角线元素为正的下三角阵。一、 单项选择题(每小题3分,共15分)1近似值的误差限为( )。A 0.5 B. 0.05 C 0.005 D. 0.0005.3. 若实方阵A满足( )时,则存在唯一单位下三角阵和上三角阵,使。 A. B. 某个 C. D. 例1. 近似值的误差限为( )。A 0.5 B 0.05 C 0.005 D 0.0005.解 因 ,它为具有3位有效数字的近似数,其误差限为 。或,其误差限为 所以 答案为B.例2. 已知,
6、求的误差限和相对误差限。解:(绝对)误差限: 所以(绝对)误差限为,也可以取。一般地,我们取误差限为某位数的半个单位,即取 。相对误差限: 所以,相对误差限例3.已知 求近似值的误差限,准确数字或有效数字。解 由 误差限为 因为,所以由定义知是具有4位有效数字的近似值,准确到位的近似数。注意:当只给出近似数时,则必为四舍五入得到的有效数,则可直接求出误差限和有效数字。例4. 已知近似数求的误差限和准确数位。解 因, 所以 准确到 位。准确到位。注意:函数运算的误差概念,特别是其中的符号。例1 证明计算的切线法迭代公式为:并用它求的近似值(求出即可)解 (1)因计算等于求正根,代入切线法迭代公式
7、得 (2) 设,因 所以 在上 由 ,选用上面导出的迭代公式计算得 例1 用列主元消元法的方程组 注意:每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。解 第1列主元为3,交换第1、2方程位置后消元得, 第2列主,元为交换第2、3方程位置后消元得 回代解得 例2将矩阵A进行三角分解(Doolittle分解,Crout分解,LDU分解) 其中说明:一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进行矩阵的三角分解(或代入公式求得相应元素)。在分解时注意矩阵乘法、矩阵求逆等代数运算。 解: 则矩阵的Doolittle分解为 因为对角阵,则所以矩阵的LDU分解为 矩阵的Crout分解为例3
8、用紧凑格式求解方程组 注意:消元过程是解方程组,和回代过程是解方程组。解:(1)将矩阵进行三角分解,由上例得: 矩阵的三角分解为 (2)解方程组(3)解方程组 所以 一、 单项选择题(每小题3分,共15分)1近似值的误差限为( )。A 0.5 B. 0.05 C 0.005 D. 0.0005.3. 若实方阵A满足( )时,则存在唯一单位下三角阵和上三角阵,使。 A. B. 某个 C. D. 1B 3. C. 例4 选择填空题1. 设函数f(x)在区间a,b上连续,若满足 ,则方程f(x)=0在区间a,b一定有实根.答案:f(a)f(b)0解答:因为f(x)在区间a,b上连续,在两端点函数值异
9、号,由连续函数的介值定理,必存在c,使得f(c)=0,故f(x)=0一定有根.2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程(x)=0表成x=j(x),则f(x)=0的根是( )(A)y=x与y=j(x)的交点 (B) y=x与y=j(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=j(x)与x轴交点的横坐标答案:(B)解答:把f(x)=0表成x=j(x), 满足x=j(x)的x是方程的解,它正是y=x与y=j(x)的交点的横坐标.3.为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是( )(A) (B)
10、(C) (D) 答案:(A)解答:在(A)中 故迭代发散.在(B)中 ,故迭代收敛. 在(C)中, ,故迭代收敛.在(D)中,类似证明,迭代收敛例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组: 例3 填空选择题:1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2,3个方程分别为 。解答 1. 选a21=2为主元,作行互换,第1个方程变为:2x1+2x2+3x3=3,消元得到是应填写的内容。1). 设是真值的近似值,则有 位有效数字。2). 倍。3). 求方程根的牛顿迭代格式是 。1)3; 2);3)1、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 收敛 2、 迭代过程 (k=1,2,)收敛的充要条件是 3、 已知数 e=2.718281828.,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是 1、局部平方收敛 2、 1 3、 4 8、 ,为使A可分解为A=LLT, 其中L为对角线元素为正的下三角形,a的取值范围
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