高考数学复习22解三角形应用举例文北师大版89.docx
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高考数学复习22解三角形应用举例文北师大版89
课时分层训练（二十二） 解三角形应用举例
A组 基础达标
（建议用时：
30分钟）
一、选择题
1．如图379所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ）【00090119】
图379
A．akm B．
akm
C．
akmD．2akm
B [在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，
∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，AB＝
A．]
2．如图3710，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（ ）
图3710
A．北偏东10°
B．北偏西10°
C．南偏东80°
D．南偏西80°
D [由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]
3．（2018·重庆模拟）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．10
海里B．10
海里
C．20
海里D．20
海里
A [如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得
＝
，
解得BC＝10
（海里）．]
4．（2018·赣州模拟）如图3711所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）【00090120】
图3711
A．20
海里B．40
海里
C．20（1＋
）海里D．40海里
A [连接AB，由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，
在△ACD中，由正弦定理得
＝
，∴AD＝20
，
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD＝
CD＝40
.
在△ABD中，由余弦定理得AB＝
＝20
.
故选A．
]
5．如图3712，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为（ ）
图3712
A．30°B．45°
C．60°D．75°
B [依题意可得AD＝20
（m），AC＝30
（m），
又CD＝50（m），所以在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD＝
＝
＝
＝
，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]
二、填空题
6．（2018·扬州模拟）如图3713，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得∠NAM＝60°，∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°；已知山高BC＝300米，则山高MN＝________米．
图3713
450 [在Rt△ABC中，∵BC＝300，∠CAB＝45°，
∴AC＝300
，
在△AMC中，∠AMC＝180°－75°－60°＝45°，
由正弦定理得：
＝
，
∴AM＝
＝
＝300
，
∴MN＝AM·sin∠MAN＝300
×
＝450.]
7．如图3714，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．
图3714
10
[在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
＝
，BC＝
＝10
.在Rt△ABC中，tan60°＝
，AB＝BCtan60°＝10
（米）．]
8．如图3715所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．【00090121】
图3715
[由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，
由正弦定理得
＝
，
所以AC＝
＝
＝10
，
所以海轮航行的速度为
＝
（海里/分钟）．]
三、解答题
9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：
在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．（答案可保留根号）
图3716
[解] 在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，
∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80
.3分
在△ABC中，
＝
，
∴BC＝
＝
＝40
.6分
在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos60°
＝（80
）2＋（40
）2－2×80
×40
×
＝9600.
∴DC＝40
，航模的速度v＝
＝2
米/秒.12分
10．如图3717，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
图3717
（1）求渔船甲的速度；
（2）求sinα的值．
[解]
（1）依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
3分
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为
＝14海里/小时.7分
（2）在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得
＝
，9分
即sinα＝
＝
＝
.12分
B组 能力提升
（建议用时：
15分钟）
1．（2018·六安模拟）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（ ）
A．50mB．100m
C．120mD．150m
A [设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝
h，根据余弦定理得，（
h）2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即（h－50）（h＋100）＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m．]
2．（2014·全国卷Ⅰ）如图3718，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.
图3718
150 [根据图示，AC＝100
m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得
＝
⇒AM＝100
m.
在△AMN中，
＝sin60°，
∴MN＝100
×
＝150（m）．]
3．（2018·大连模拟）如图3719，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°（∠BAC＝15°）方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为2
千米．
（1）船的航行速度是每小时多少千米？
（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？
图3719
[解]
（1）在△BCP中，tan∠PBC＝
⇒BC＝2.
在△ABC中，由正弦定理得：
＝
⇒
＝
，
所以AB＝2（
＋1），
船的航行速度是每小时6（
＋1）千米．
（2）在△BCD中，由余弦定理得：
CD＝
，
在△BCD中，由正弦定理得：
＝
⇒sin∠CDB＝
，
所以，山顶位于D处南偏东135°.
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