三余弦定理及其应用举例_精品文档.doc

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三余弦定理及其应用举例

一、三余弦定理（又叫最小角定理）

如图所示，设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影为AB，AC为面内的一条直线，那么∠OAC,∠OAB,∠BAC三角的余弦关系为：

（∠BAC和∠OAB只能是锐角）

不难验证：

cosθ=cosθ1×cosθ2．

特别地，当∠BAC为零角时，由于，

∴斜线与射影所成的角是斜线与平面内的任何直线所成的角中的最小的角．

二、应用练习

在中,,PA是面的斜线,．

（1）求PA与面ABC所成的角的大小；

（2）当PA的长度等于多少的时候，点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上？

图

（1）图

（2）图（3）

解：

（1）依题意，斜线PA在面ABC上的射影必在∠BAC的角平分线上，设垂足为O，连结AO,并延长AO∩BC=D,设,则即为斜线PA与面ABC所成的角,

因此,∴,即斜线PA与面ABC所成的角为；

∵直角三角形ABC的直角平分线长AD=，

∴当延长AP到时，AD成为斜线的射影，垂足D恰好落在边BC上，

∴，

即当PA的长度等于的时候，点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上．

辅助例题.求证:

如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影必在这个角的平分线上．

已知：

，

求证：

．

证明：

连OA、OE、OF，

∵，

∴≌，故OE=OF；

由≌，故AE=AF；

由≌，故．

说明：

此结论可以作为定理来用．

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