小学奥数比例法行程问题.docx
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小学奥数比例法行程问题
小升初之行程问题的解法---比例法
根据近千套各类奥数竞赛和"小升初"数学考试试题的分析,平均每套试卷按12道题,满分100分计算,就有1.8道试题为行程问题(即每120道试题中有18道是行程问题),分值为21分。
行程问题占一套试卷分值的1/5左右,所以行程问题不论在奥数竞赛中还是在"小升初"的升学考试中,都拥有非常显赫的地位,都是命题者偏爱的题型之一。
小学生"行程问题"普遍是弱项,有几下几个原因:
一、行程分类较细,变化较多。
行程跟工程不一样,工程抓住工作效率和比例关系就可以解决绝大部分问题,但是行程则没有关键点可以抓住,因为每一个类型关键点都不一样。
二、要求对动态过程进行演绎和推理。
行程问题的题目语言叙述本身就很长,加上所描绘的是一个动态过程,一般很难从复杂的语言叙述中提炼出过程中量的变化关系。
三、行程是一个壳,可以将各类知识往里面加。
很多题目看似行程问题,但是本质不是行程问题。
因为行程的复杂,所以学习行程一定要循序渐进,掌握各类行程问题的解题关键点。
下面举例讲解用比例法求解一类行程问题。
方法指导:
复杂行程问题经常运用到比例知识:
速度一定,时间和路程成正比;
时间一定,速度和路程成正比;
路程一定,速度和时间成反比。
分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析,以此作为突破口,一步一步求得结果。
也可以从题意的叙述中找出等量关系,从而得出所需的数量之比,再根据比与分数的关系求解。
能用比例法解决的行程问题的特点:
能直接或间接地求出速度比或同一时间内的路程比
例1:
甲、乙两车的速度比是4:
7,两车同时从两地相对出发,在距中点15千米处相遇,两地相距多少千米?
边讲边练:
1、甲、乙两车同时从AB两地相对而行,甲、乙两车速度比7:
5,相遇时距中点12千米,AB两地相距多少千米?
例2:
两列火车同时从两个城市相对开出,6.5小时相遇。
相遇时甲车比乙车多行52千米,乙车的速度是甲车的
。
求两城之间的距离。
边讲边练:
1、甲、乙两车分别从AB两地同时相向而行,3小时相遇。
已知甲车行1小时距B地340千米,乙车行1小时距A地360千米。
AB两地相距多少千米?
(420)
2、客车由甲城到乙城需行10小时,货车从乙城到甲城需行15小时,两车同时相向开出,相遇时客车距离乙城还有192千米,求两城间的距离。
例3:
甲、乙两车同时从AB两地相对而行,5小时相遇,已知甲、乙两车速度的比是2:
3,甲车行完全程需多少小时?
边讲边练:
甲、乙两车同时从AB两地相对而行,4小时相遇,已知甲、乙两车速度的比是3:
5,乙车行完全程需多少小时?
例4:
客车和货车同时从AB两地相对开出,客车每小时行60千米,货车每小时行全程的
,相遇时客车和货车所行路程的比是5:
4。
AB两地相距多少千米?
边讲边练:
1、客车和货车同时从甲、乙两地相对开出,客车每小时行全程的
,货车每小时行50千米。
相遇时客车和货车所行的路程的比是3:
2。
甲、乙两地相距多少千米?
2、甲、乙两个城市相距若干千米,一列客车与一列货车同时从两个城市相对开出,3小时后相遇,相遇时客车比货车多行60千米,货车与客车速度比是9:
11。
货车平均每小时行多少千米?
3、甲、乙两车同时相对而行,甲车行全长需8小时,乙车每小时56千米,相遇时,甲、乙两车所行路程的比是3:
4,这时乙车行了多少千米?
例5:
甲、乙两车同时从AB两地相向而行,4小时后相遇,相遇后甲又行了3小时到达B地,这时乙车离A地70千米,AB两地相距多少千米?
边讲边练:
小强和小军分别从AB两地同时相对而行,8分钟相遇,相遇后又行6分钟小军到达A地,这时小强离B地160米,AB两地相距多少米?
例6:
甲、乙两车同时从AB两地相向而行,当甲到达B地时,乙车距A地30千米,当乙车到达A地时,甲车超过B地40千米,AB两地相距多少千米?
边讲边练:
快车从A地,慢车从B地同时出发相向而行,经过4小时相遇,相遇后两车仍按原速度继续前进,又经过5小时慢车到达A地,这时快车已超过B地90千米。
AB两地路程是多少千米?
(360)
摩托车和轻骑两车同时从甲、乙两地相向而行,当摩托车到达乙地时,轻骑离甲地还有35千米;当轻骑到达甲地时,摩托车超过乙地40千米。
甲、乙两地相距多少千米?
甲、乙两人各加工同样多的零件。
同时开工,当甲完成任务时,乙还有150个没有完成,当乙完成任务时,甲可以超额完成250个,这批零件总数共多少个?
例7:
甲、乙两车从相距180千米A地去B地,甲车比乙车晚1.5小时出发,结果两车同时到达,甲、乙两车速度的比是4:
3,甲车每小时行多少千米?
边讲边练:
甲、乙两人从相距2500米的A地去B地,甲比乙晚5分钟出发,结果两人同时到达,甲、乙两人行走速度比是3:
2,求甲的速度。
姐妹两人骑车从相距10千米的甲地去乙地,妹妹比姐姐早出发10分钟,结果两人同时到达,姐妹两人骑车速度比是5:
4,求姐姐甲地去乙地用了多少时间?
例8:
一辆汽车运一批货从江城到海乡,又从海乡运一批货返回江城,往返共用了13.5小时。
去时用的时间是回来时用的时间的1.25倍,去时的速度比返回时的速度每小时慢6千米。
这辆汽车往返共行了多少千米?
边讲边练:
、小张爬山,下山按原路返回,往返共用了1.5小时。
上山时间是下山时间的1.5倍,上山速度比下山速度每分钟慢50米。
小张上下山共行了多少米?
一辆汽车往返于甲、乙两地。
去时的速度是返回速度的
,去时比返回时多用了1小时,已知返回速度是每小时60千米,求甲、乙两地相距多少千米?
、
例9:
甲乙两人分别从AB两地同时出发,相向而行,乙车的速度是甲的
,两人相遇后继续前行,甲到达B地,乙到达A地后立即返回,已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点20千米,那么AB两地相距多少千米?
例10:
从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段,各段路程之比是1:
2:
3,某人走这三段路所用的时间之比是4:
5:
6。
已知他上坡时的速度为每小时2.5千米,路程全长为20千米。
此人从甲地走到乙地需要多长时间?
(5小时)东分
边讲边练:
1、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段,各段路程之比是2:
3:
5,小亮走这三段路所用的时间之比是6:
5:
4。
已知小亮走平路时的速度为每小时4.5千米,他从甲地到乙地共用了5小时。
问:
甲乙两地相距多少千米?
2、青青从家到学校正好要翻一座小山,她上坡每分钟行50米,下坡速度比上坡速度快40%,从家到学校的路程为2800米,上学要用50分钟。
从学校回家要用多少时间?
例11:
甲乙两人分别从A,B两地出发,相向而行,出发时他们的速度比是3:
2,他们第一次相遇后,甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30%,这、样当甲到达B地时,乙离A地还有14千米。
那么A,B两地间的距离是多少千米?
边讲边练:
1、甲乙两人步行的速度比为13:
11,他们分别由A,B两地同时出发相向而行,0.5小时后相遇。
如果他们同向而行,那么甲追上乙需要几小时?
2、从学校到少年宫,小明要2小时,东东要1小时40分钟。
若小明从A地出发8分钟后,东东学校出发追小明。
东东出发多久能追上小明?
3、甲乙两车分别从AB两地出发,相向而行。
出发时,甲乙的速度比为5:
4,相遇后,甲的速度减少了20%,乙的速度增加了20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米。
那么AB两地相距多少千米?
例12:
一辆汽车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,可以比原定时间提前1小时到达;如果按照原速行驶120千米后,再将速度提高25%,则可提前40分钟到达。
那么甲乙两地相距多少千米?
边讲边练:
1、一辆汽车从甲地开往乙地,如果把车速提高25%,那么可以比原定时间提前24分钟到达,如果以原速行驶80千米后,再将速度提高
,那么可以提前10分钟到达乙地,甲乙两地相距多少千米?
2、一个正方形的一边减少20%,另一边增加2米,得到一个长方形,这个长方形的面积与原来正方形的面积相等,原正方形面积是多少?
3、客货两车同时从甲乙两地相对开出,相遇时客货两车所行驶的路程比为5:
4,相遇后货车每小时比相遇前夺走27千米,客车仍按原速行驶,结果两车同时到达对方的出发站,已知客车一共行了10小时,甲乙两地相距多少千米?
例13、甲乙两班学生到离校24千米的飞机场参观学习,一辆汽车一次只能坐一个班的学生,为了尽快到达机场,两个班商定由甲班先坐车,乙班步行,同时出发,甲班学生在中途下车步行去机场,汽车立即返回接途中步行的乙班同学。
已知两班学生步行的速度相同,汽车的速度是不行的7倍,问汽车应在距机场多少千米处返回接乙班学生?
(学生上下车以及汽车换向时间不计算在内)
边讲边练:
1、红星小学有80名学生租了一辆40座的汽车去海边观看日出,未乘上车的学生步行和汽车同时出发,由汽车往返接送。
学校离海边48千米,汽车的速度是步行的9倍。
汽车应该在距离海边多少千米处返回接第二批学生,才能使学生同时到达海边?
2、一辆汽车把货物从甲地运往乙地只用了5小时去时所用时间是回来的
倍,去时每小时比回来时慢17千米,汽车往返共行了多少千米?
3、甲乙两人以同样的速度同时从AB两地相向出发,相遇后甲的速度提高了
,用
小时到达B地。
乙的速度减少了
,再用多少小时可以到达A地?
课后作业:
1、一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行驶50千米,返回时每小时行60千米,已知去时用6小时,那么返回时用几小时?
2、一辆汽车从甲地到乙地,去时每小时行驶45千米,返回时每小时行50千米,问这辆汽车去时和返回时所用的时间比。
3、一辆汽车从甲地到乙地,每小时行40千米,返回时每小时行50千米,已知去时比返回时多用1
小时,那么去时用了多少时间?
甲、乙两地相距多少千米?
(两种方法)
4、包子去登山,上午6点出发,走了一段平坦的路,爬上了一座山,在山顶停了1小时后按照原路返回,下午11点回到家。
已知他走平路时的速度为每小时4千米,上坡速度为每小时3千米,下坡速度为每小时6千米。
问:
包子一共走了多少千米?
5、一辆汽车从甲地到乙地,每小时行60千米,返回时速度减小了
,已知去时比返回时多用1
小时,那么去时用了多少时间?
甲、乙两地相距多少千米?
(两种方法)
6、甲、乙两辆汽车从A、B两地相向而行,当甲车行了全程的
时,乙车行了全程的
,当乙车行完全程时,甲车距终点还有20千米。
问A、B两地相距多少千米?
7、客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶,3小时后,客车到达甲城,货车离乙城还有30千米.已知货车的速度是客车的3/甲、乙两城相距多少千米?
(240)
8、小明跑步速度是步行速度的3倍,他每天从家到学校都是步行。
有一天由于晚出发10分钟,他不得不跑步行了一半路程,另一半路程步行,这样与平时到达学校的时间一样。
那么小明每天步行上学需要时间多少分钟?
【解】后一半路程和原来的时间相等,这样前面一半的路程中和平时的速度比=3:
1,所以时间比=1:
3,也就是节省了2份时间就是10分钟,所以后一半路程走路的时间就是10÷2×3=15分钟,全部路程原来需要30分钟。
9、甲、乙两车同时从A,B两地相向而行,它们相遇时距A,B两地中心处8千米,已知甲车速度是乙车的1.2倍,求A,B两地的距离。
(176)
10、上午8时8分,小明骑自行车从家里出发,8分后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上了他,然后爸爸立刻回家.到家后又立刻回头去追小明,再追上他的时候,离家恰好是8千米,问这时是12时几分?
11、客车3小时所行的路程是汽车4小时所行路程的60%,客车与小汽车的
速度比为:
()
A、4:
3B、4:
5C、5:
4D、3:
4
12、甲、乙两辆船同时从A地开往B地,乙船的速度是甲船的1.2倍,经过12小时,乙船到达B地,此时甲船离B地还有54千米,求A、B两地的路程。
13、客车和货车同时从两地相对开出,9小时相遇,相遇时客车正好行了
全程的60%,客车每小时比货车快15千米,两地的距离是多少千米?
14、菠萝从家到学校正好要翻越一座小山,她上坡每分钟行50米,下坡速度比上坡快40%,从家到学校的路程为2800米,上学要用50分钟。
从学校回家要用多少时间?