求二次函数的解析式及二次函数的应用.docx
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求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式及二次函数的应用2014.6.8
1、求二次函数的解析式：
最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
二、二次函数的应用：
（1）应用二次函数解决实际问题的一般思路：
理解题意；
建立数学模型；
解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
三、二次函数的三种表达形式：
1、一般式：
y=ax2+bx+c（a≠0,a、b、c为常数），顶点坐标为[
]
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
2、顶点式：
y=a（x-h）2+k（a≠0,a、h、k为常数），顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：
已知二次函数y的顶点（1,2）和另一任意点（3,10），求y的解析式。
解：
设y=a（x-1）2+2，把（3,10）代入上式，解得y=2（x-1）2+2。
注意：
与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：
当h>0时，y=a（x-h）2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
当h<0时，y=a（x-h）2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
当h>0，k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）2+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）2+k的图象；
当h<0，k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）2+k的图象。
3、交点式：
y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0].
已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a（x-x1）（x-x2）,然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤：
二次函数
∵x1+x2=
，x1*x2=
（由韦达定理得）,
∴y=ax2+bx+c
=a（x2+
x+
）
=a[x2-（x1+x2）x+x1*x2]
=a（x-x1）（x-x2）.
重要概念：
a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。
a>0时，开口方向向上；
a<0时，开口方向向下。
a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；
四、二次函数解释式的求法：
就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a，b，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a，b，c的方程，联立求解，再把求出的a，b，c的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：
知识归纳：
二次函数交点式：
y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。
典型例题一：
告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。
例：
已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。
点拨：
解：
设函数的解析式为y＝a（x－x1）（x－x2），
已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1，∴y＝a（x+2）（x-1），
∵过点（2，8），
∴8＝a（2+2）（2-1）。
解得a=2，
∴抛物线的解析式为：
y＝2（x+2）（x-1），
即y＝2x2+2x-4。
典型例题二：
告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。
例：
已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。
点拨：
在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。
此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：
顶点式y=a（x－h）2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。
当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。
在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。
在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．
典型例题一：
告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。
例：
已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。
点拨：
解∵顶点坐标为（-1，-2），
故设二次函数解析式为y=a（x+1）2-2（a≠0）。
把点（1，10）代入上式，得10=a·（1+1）2-2。
∴a=3。
∴二次函数的解析式为y=3（x+1）2-2，即y=3x2+6x+1。
典型例题二：
告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。
如果a>0，那么当
时，y有最小值且y最小=
；
如果a<0，那么，当
时，y有最大值，且y最大=
。
例：
已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
点拨：
析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。
由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。
∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。
故可设函数解析式为y＝a（x－4）2－3。
将（1，0）代入得0＝a（1－4）2－3,解得a＝13．
∴y＝13（x－4）2-3，即y＝13x2－83x＋73。
典型例题三：
告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。
例如：
已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.
已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.
已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.
二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．
典型例题四：
利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。
例：
把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图像的解析式是y=x2-3x+5,则函数的解析式为_______。
点拨：
解：
先将y=x2-3x+5化为y=（x-
）2+5-
即y=（x-
）2+
。
∵它是由抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3个单位,再向下平移2个单位得到的，
∴原抛物线的解析式是y=（x-
+3）2+
+2=（x+
）2+
=x2+3x+7。
作业典型题2014.6.8
1、如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：
这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？
如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树．
分析：
（1）由三角形ABC的面积可求出AB边上的高；
（2）由相似三角形对应高的比等于相似比，可用含x的代数式表示GF，得到水池的面积y关于x的二次函数，由二次函数的性质，可求面积最大时x的值；
（3）根据相似形可算出BE小于1.85，大树在最大水池的边上，为了避开，以C为点在三边上各去一点．矩形二边与三角形二直角边重合．
答：
解：
如图，
（1）过点C作CI⊥AB，交GF于H，在△ABC中用勾股定理得：
AB=10，
∵S△ABC=
AC•BC=
AB•CI，
∴
×6×8=
×10×CI，
∴CI=4.8；
∴△ABC中AB边上的高h=4.8．
（2）∵水池是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∵CH，CI分别是△CGF和△CAB对应边上的高，
∴CH/CI=GF/AB，
∴
=
，
∴GF=10-
，
∵10-
＞0，
∴0＜x＜
，
设水池的面积为y，则
y=x（10-
）=-
x2+10x，
当x=-
=2.4时，水池的面积最大；
（3）∵FE⊥AB，CI⊥AB，
∴FE∥CI，
∴△BFE∽△BCI，
∴FE：
CI=BE：
BI，
又∵FE=2.4，CI=4.8，
在Rt△BCI中用勾股定理可得BI=3.6，
∴BE=
=
=1.8，
∵BE=1.8＜1.85，
∴这棵大树在最大水池的边上．
为了保护这棵大树，设计方案如图：
2、
如图，二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B．C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？
试证明你的结论．
（4）求出当x为何值时P有最大值？
分析：
（1）由顶点坐标（0，2）可直接代入y=-mx2+4m，
求得m=1/2，即可求得抛物线的解析式；
（2）由图及四边形ABCD为矩形可知AD∥x轴，长为2x的据对值，AB的长为A点的总坐标，由x与y的关系，可求得p关于自变量x的解析式，因为矩形ABCD在抛物线里面，所以x小于0，大于抛物线与x负半轴的交点；
（3）由
（2）得到的p关于x的解析式，可令p=9，求x的方程，看x是否有解，有解则存在，无解则不存在，显然不存在这样的p．
（4）此题就是将p关于x的解析式看成抛物线的解析式，求其顶点即可．
解答：
解：
（1）∵二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为（0，2），
∴4m=2，
即m=1/2，
∴抛物线的解析式为：
y=-
x2+2；
（2）∵A点在x轴的负方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上，
∴AD∥x轴，
又由抛物线关于y轴对称，
所以D、C点关于y轴分别与A、B对称．
∵A在x轴的负半轴上，
∴x＜0，
所以AD的长为-2x，AB长为y，
所以周长p=2y+（-4x）=2（-
x2+2）-4x=-（x+2）2+8．
∵四边形ABCD为矩形，
∴y＞0，
即x＞-2．
所以p=-（x+2）2+8，其中-2＜x＜0．
（3）不存在，
证明：
假设存在这样的p，即：
9=-（x+2）2+8，
解此方程得：
x无解，所以不存在这样的p．
（4）
由p=-（x+2）2+8，且-2＜x＜0．
故p没有最大值．
3、如图，一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=
x2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；
（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N，问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？
如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由。
解：
（1）对于一次函数y=-4x-4，
令x=0，得y=-4，
故点C的坐标为（0，-4），
令y=0，得x=-1，
故点A的坐标为（-1，0），
把A、C两点坐标代入y=
x2+bx+c得
∴
解得
∴y=
x2-
-4；
（2）∵
∴顶点为D（1，-
），
∵A、B两点关于对称轴x=1对称，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线DC交x轴于点E，如图1，
由D（1，-
）C（0，-4），图1
易求直线CD的解析式为y=-
x-4易求E（-3，0），
S四边形ABDC=S△EDB-S△ECA=12；
（3）存在，
∵MN∥x轴，
∴△CMN∽△CAB，
∴
（a）当MP=MN或NP=MN时，
设MN=a，
如图2
即
，
∴a=2，
①当∠PMN=90°时，
∵MP∥OC，
∴△AMP∽△ACO
∴
，
即
，
∴OP=0.5，
∴P1的坐标为（-0.5，0），
②当∠PNM=90°时，
∵NP∥OC，
∴△BNP∽△BCO，
∴
，
即
，
∴OP=1.5，
∴P2的坐标为（1.5，0）
（b）当∠MPN=90°，PM=PN时，
如图3，
过点P作PQ⊥MN，垂足为Q，
则PQ=QM=QN，
设PQ=d，则QM=QN=d，MN=2d
则=
（已证）即
d=
，
过点N作NG⊥x轴，垂足为G，
则PQ=GN=QN=PG=
∴NG∥OC，
∴△BNG∽△BCO
∴
，
即
，
∴BG=1，
∴OP=OB-BG-PG=3-1-
，
∴P3的坐标为（
，0），
综上（a）、（b），存在满足条件的点P有3个，坐标分别是P1（-0.5，0）、P2（1.5，0）、P3（
，0）。
4、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？
最大值是多少？
解：
（1）由题意得：
y=60-
（2）z=（200+x）（60-
）=-
x2+40x+12000（3分）
（3）w=（200+x）（60-
）-20×（60-
）（2分）
=-
x2+42x+10800
=-
（x-210）2+15210
当x=210时，w有最大值．
此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．
5、枇杷是莆田名果之一，某果园有100棵枇杷树．每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：
增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？
最多总产量是多少千克？
注：
抛物线
的顶点坐标是
解：
设增种x棵树，果园的总产量为y千克，
依题意得：
y=（100+x）（40-0.25x）
=4000-25x+40x-0.25x2
=-0.25x2+15x+4000
因为a=-0.25<0，
所以当
，y有最大值
答:
最多总产量是4225千克
5、经调查研究，某工厂生产的一种产品的总利润y（元）与销售价格x（元/件）的关系式为y=-4x2+1360x-93200，其中100≤x＜245
（1）销售价格x是为多少元时，可以使总利润达到22400元？
（2）总利润可不可能达到22500元？
解：
（1）由题意，
把y=22400代入y=-4x2+1360x-93200，
方程为写成：
x2-340x+28900=0，
解得x1=x2=170；
（2）把y=22500代入y=-4x2+1360x-93200得，
x2-340x+28925=0，
∵a=1，b=-340，c=28925，
∴b2-4ac=（-340）2-4×1×28925=-100＜0，
∴方程没有实数根
故总利润可不可能达到22500元．
6、某电器商场将进价为2000元的彩电以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：
这种彩电的售价每降低50元，平均每天可多售出4台
（1）假设每台彩电降价x元，商场每天销售这种彩电的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）每台彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高？
最高利润是多少？
解：
（1）根据题意，得y=（2400-2000-x）（8+4×
），即y=-
x2+24x+3200；
（2）对于y=-
x2+24x+3200，
当x=-=15
时，
y最大值=（2400-2000-150）（8+4×
）=250×20=5000；
所以，每台彩电降价150元时，商场每天销售这种彩电的利润最大，最大利润是5000元．
7、某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y甲（万元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y甲=0.3x；乙种水果的销售利润y乙（万元）与进货量x（吨）近似满足函数关系：
y乙=-0.1x2+bx（其中b为常数），且进货量x为1吨时，销售利润y乙为1.4万元
（1）若求y乙（万元）与x（吨）之间的函数关系式．并计算说明：
乙种水果进货多少的时候销售利润y乙（万元）才能最大？
最大利润是多少？
（2）甲种水果的销售利润y甲（万元）要达到乙种水果最大的销售利润y乙（万元），需要进货多少吨？
（3）如果该批发市场准备进甲、乙两种水果共10吨，请你通过计算说明如何进货（这两种水果各进多少吨）才能获得销售利润之和最大，最大利润是多少？
解：
（1）由题意得：
进货量x为1吨时，销售利润y乙为1.4万元，
-1+b=1.4，
解得：
b=2.4，
∴y乙=-0.1x2+2.4x=-0.1（x2-24x）=-0.1（x-12）2+14.4；
（2）当甲种水果的销售利润y甲（万元）要达到乙种水果最大的销售利润y乙（万元），
则0.3x=14.4，
解得：
x=28，
答：
需要进货28吨；
（3）W=y甲+y乙=0.3（10-x）+（-0.1x2+2.4x），
∴W=-0.1x2+2.1x+3，
W=-0.1（t-10.5）2+6.6．
∴t=6时，W有最大值为：
6.6．
∴10-6=4（吨）．
答：
甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是6.6万元．
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