北京中考专题复习几何综合.docx

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北京中考专题复习几何综合

知识框架

几何综合题型一般以基本图形（正方形、特殊平行四边形、等边、等腰、直角三角形等）为载体，考查运用图形变换（平移、旋转、轴对称）分析图形中基本量之间的数量关系的探究过程。

涉及初中数学九大几何模型：

1、中点类辅助线

2、角平分线、垂直平分线类辅助线

3、相似模型

4、旋转之手拉手模型

5、旋转之对角互补模型

6、旋转之半角模型

7、旋转之构造等边三角形

8、旋转之费马点模型

9、最短距离问题

解题思路：

从复杂的图形中“抽"出简单图形，在简单图形中进行逻辑推导，应用相关几何模型，找到解题思路。

知识梳理

中点类辅助线

见中点—-—倍长中线：

凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

在△ABC中,AD是BC边中线。

方式1：

直接倍长，（图1）：

延长AD到E,使DE=AD，连接BE

例:

已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F，求证：

AF=EF

方式2:

间接倍长

1）（图2）作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延长线于E，连接BE

2）（图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD

例：

如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF,D是中点，试比较BE+CF与EF的大小。

方式3：

平行线间线段有中点

如图：

AD∥BE，F为DE中点.可构造8字全等△ADF≌△HEF。

例：

如图,在矩形ABCD中，BD=BE，F为DE中点。

试探究AF与CF之间的位置关系。

例：

如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,M为AD中点,CE⊥AB。

求证：

∠EMD=3∠MEA.

见多个中点————构造中位线：

已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线；

已知一边中点,可以在另一边上取中点，连接构造中位线;

已知一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形.

例：

如图，在四边形ABCD中,AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。

求证：

∠BGE=∠CHE。

见等腰三角形底边中点--——连接顶点与中点,构造三线合一

直角三角形斜边中线：

直角三角形中,有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线

如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则得CD=AD=BD，从而构造出等腰三角形.

角平分线、垂直平分线类辅助线

角平分线:

a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的题目辅助线的作法，一般有四种。

1由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线,利用角平分线性质。

2以角的平分线为轴,将图形翻折,在角的平分线两侧构造全等三角形。

3当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交,构成等腰三角形,利用等腰三角形的“三线合一” 

4过角的一边上的点，作另一边的平行线,构成等腰三角形——“角平分线+平行，必出等腰”

例：

如下图,在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于点D，且AB=AD，CM⊥AD交AD的延长线于点M.

垂直平分线：

a、对称性；b、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

例：

如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,作AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G,交AC于点H

（1）依题意补全图形

（2）求证：

∠BAD=∠BFG

（3）试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明

相似模型

平行A字型、8字型:

斜交A字型、8字型：

共享型（母子型）:

双共享型:

双A字型：

一线三等角型:

旋转之手拉手模型

手拉手全等

特点:

由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点

结论：

（1）△ABC≌△AB'C’

（2）∠BOB’=∠BAB’（3）OA平分∠BOC’

例：

如图在直线的同一侧作两个等边三角形与，连结与，证明：

（1）

（2）

（3）与之间的夹角为

（4）

（5）

（6）平分

（7）

手拉手相似

特点:

由两个相似三角形所组成，并且一组等角的顶点为公共顶点

结论：

（1）△AOC∽△BOD

（2）∠AEB=∠AOB

例：

如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结CE、AG,二者相交于点H.

求：

（1）AG=CE

（2）AG与CE之间的夹角为多少度？

（3）HD平分∠AHE

旋转之对角互补模型

对角互补，邻边相等。

（全等型-90°）

【条件】:

①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB

【结论】：

①CD=CE；②OD+OE=OC;③

※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时：

以上三个结论：

①CD=CE；②OE-OD=OC；③

（全等型-120°）（全等型—任意角）

【条件】:

①∠AOB=2∠DCE=120°;②OC平分∠AOB

【结论】：

①CD=CE；②OD+OE=OC；③

对角互补模型总结：

①常见初始条件：

四边形对角互补，注意两点：

四点共圆有直角三角形斜边中线;

②初始条件“角平分线"与“两边相等"的区别；

③注意OC平分∠AOB时，

∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？

旋转之半角模型

角含半角要旋转：

构造两次全等

【条件】:

①正方形ABCD；②∠EAF=45°；

【结论】：

①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；

也可以这样：

【条件】：

①正方形ABCD；②EF=DF+BE；

【结论】：

①∠EAF=45°；

【条件】:

①正方形ABCD；②∠EAF=45°；

【结论】：

①EF=DF—BE；

【条件】：

①Rt△ABC；②∠DAE=45°；

【结论】:

；

若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论仍然成立

旋转之构造等边三角形

等边三角形是一个具有丰富性质的完美图形,这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据,所以寻找、发现等边三角形是解一些几何题的关键。

例:

在四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC，∠ADC=30°

证明:

。

分析:

待证结论让我们联想到勾股定理,需要通过添加辅助线将AD、CD（作为直角边）和BD（作为斜边）集中到一个直角三角形中。

例:

如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD=CE，连接BD，AE相交于点F

（1）∠BFE的度数是

（2）如果,那么

（3）如果时，请用含n的式子表示AF,BF的数量关系，并证明

例：

如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60°,得到线段CE，连接DE，AE，BD交于点F

（1）求∠AFB的度数

（2）求证:

BF=EF

（3）连接CF，直接用等式表示线段

AB,CF，EF的数量关系

旋转之费马点模型

“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。

若给定一个三角形△ABC的话,从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。

这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.

问题：

如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？

图文解析:

如图1,把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．

则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，

∴PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′．

∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得到的定点，BA′为定长。

∴当B、P、P′、A′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小。

∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°—60°=120°，

∠BPC=180°—∠P′PC=180°-60°=120°，

∠APC=360°—∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.

因此,当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．

费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．

例：

四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转600得到BN,连接EN、AM、CM。

（1）求证：

△AMB≌△ENB；

（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

最短距离问题

三角形——--两边之和大于第三边型

1。

直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

2。

直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小.

3。

点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B.使△PAB的周长最小。

两点之间的距离--——线段最短型

4.点P,Q为∠MON内的两点,分别在OM，ON上作点A，B.使四边形PAQB的周长最小。

点到直线的距离-—--垂线段最短型

5..如图，点A是∠MON内的一点,在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小。

典例精讲

【2018西城期末】如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°,∠OAB=30°,点C在线段OB上，OC=2BC，AO边上的一点D满足∠OCD=30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°〈α〈180°）得到△，C，D两点的对应点分别为点，，连接，,取的中点M，连接OM．

（1）如图2,当∥AB时，α=________°，此时OM和之间的位置关系为________；

（2）画图探究线段OM和之间的位置关系和数量关系,并加以证明．

【2018海淀期末】在△ABC中，∠A90°,ABAC．

（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q,请判断“”是否正确：

________（填“是”或“否”）；

（2）点P是△ABC所在平面内的一点,连接PA，PB，且PBPA．

①如图2,点P在△ABC内，∠ABP30°，求∠PAB的大小；

②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APCα,∠BPCβ，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．

图1图2图3

【2018昌平期末】已知，△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D为BC边上的一点.

（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；

（2）延长AD交BE于点F，求证：

AF⊥BE；

（3）若AC=，BF=1，连接CF，则CF的长度为.

【2018丰台期末】如图,∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F,连接AC。

（1）在∠FCE旋转的过程中,当∠FCA=∠ECA时，如图1，求证：

AE=AF；

（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时,如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系,并证明.

【2018门头沟期末】如图27-1有两条长度相等的相交线段AB、